5.1 函数的图像和概念-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

5.1函数的图像和概念【考点梳理】考点一：函数的有关概念函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法y＝f(x)，x∈A定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(fx|x∈A))叫做函数的值域考点二：同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．考点三：区间1．区间概念(a，b为实数，且a<b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.其他区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}区间(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)【题型归纳】题型一：函数定义的判断1．下列说法中正确的是（

）A．函数的定义域和值域一定是无限集B．函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应C．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素2．给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是（

）A． B．C． D．3．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（

）A．B．C．D．题型二：具体函数的定义域4．函数的定义域为（

）A． B． C． D．5．函数的定义域为（

）A． B．C． D．6．已知函数的定义域为，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．题型三：抽象函数的定义域7．已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为，则函数的定义域（

）A． B．C． D．9．已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．题型四：求函数的值域10．函数f(x)=1-的值域为（

）A． B． C． D．11．函数值域是（

）A． B． C． D．12．函数的值域为（

）A． B． C． D．题型五：复杂（根式、分式）函数的值域13．函数的值域为（

）A． B． C． D．14．已知函数的值域为，则函数的值域为（

）A． B．C． D．15．函数的值域是（

）A． B． C． D．题型六：函数值域求参数范围16．若函数的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．17．已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．18．若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型七：抽象函数的值域19．已知函数的定义域为R，值域为，则函数的值域为（

）A． B． C． D．20．若函数的值域是，则函数的值域是()A． B． C． D．21．若函数的值域为，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【双基达标】一、单选题22．下列各组函数是同一函数的是（

）①与；②与③与；④与A．①② B．②④ C．①③ D．③④23．下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．24．设集合，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数图象的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．425．函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．26．已知函数(1)求函数的定义域(2)分别求27．（1）求函数的定义域；（2）求下列函数的值域：①；②.【高分突破】一：单选题28．若函数定义域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．29．若函数的定义域为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．或30．若函数的值域是，则函数的值域为（

）A． B． C． D．31．若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B．C． D．32．给出下列说法：①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定都是无限集；③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；④对于任意的一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；⑤表示当时，函数的值，这是一个常量．其中说法正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．433．如果函数对任意满足，且，则（

）A．2022 B．2024 C．2020 D．2021二、多选题34．下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．35．下列对应关系是从集合到集合的函数的是（

）A．，，对应关系对集合中的元素取绝对值与中元素对应B．，，对应关系C．，，对应关系中的数开方D．，，对应关系36．下面结论正确的是（

）A．若，则的最大值是B．函数的最小值是2C．函数（）的值域是D．，且，则的最小值是337．已知函数的定义域为，若存在区间，使得，则称区间为函数的“和谐区间”.下列说法正确的是（

）A．是函数的一个“和谐区间”B．是函数的一个“和谐区间”C．是函数的一个“和谐区间”D．是函数的一个“和谐区间”三、填空题38．函数的定义域为______．39．已知的定义域为，则的定义域为__________.40．若函数的定义域为，则的值为_________．41．函数，，若存在，，使得，则a的取值范围是__________．四、解答题42．已知函数.(1)若函数定义域为R，求a的取值范围；(2)若函数值域为，求a的取值范围.43．已知．(1)若时，求的值域；(2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围．44．已知函数，(1)求的值.(2)求证：是定值(3)求的值.【答案详解】1．D【分析】根据函数的定义以及值域、定义域的定义，可得答案.【详解】函数的定义域和值域也可以是有限集，A错误．对于定义域中的每一个数x，在值域中都有唯一的数y和它对应，反之则不然，故B错误，D正确，C显然错误．故选：D.2．D【分析】根据函数的概念，依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，对于的实数，都有，即有两个与之对应，故不满足函数的概念；对于B选项，方程表示两个点，即对于，有与之对应，故不满足函数的概念；对于C选项，满足的的解集为，故不满足函数研究的范围非空数集，故错误；对于D选项，对于，有唯一的与对应，满足函数概念，故正确；故选：D3．A【分析】根据题意和函数的概念，结合图象逐个分析判断.【详解】对于A，从图可知表示的是函数图象，函数的定义域为，值域为，所以A符合题意，对于B，从图可知表示的是函数图象，函数的定义域和值域均为，所以B不符合题意，对于C，从图可知表示的是函数图象，函数的定义域为，值域不是，所以C不符合题意，对于D，由图可知一个自变量对应2个值，所以此图表示的不是函数，所以D不符合题意，故选：A4．C【分析】利用二次根式被开方数非负可求得原函数的定义域.【详解】对于函数，有，即，解得.所以，函数的定义域为.故选：C.5．C【分析】由零次幂的底数不为零，二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，列不等式组可求得结果.【详解】由题意得，解得，且，所以函数的定义域为，故选：C6．B【分析】根据题意得在R上恒成立，考虑，与两种情况，结合根的判别式进行求解.【详解】因为函数定义域为R，所以在R上恒成立，当时，满足要求，当时，要满足，解得：，综上：.故选：B7．D【分析】根据复合函数的定义域，先求出的定义域即可．【详解】因为函数的定义域是，所以，即．所以函数的定义域为，．要使有意义，需满足：，解得，即的定义域为．故选：D．8．C【分析】因为的定义域为，则若要求的定义域，则是函数的值域，通过解不等式，即可求出的定义域，而对于来说，分母不能为0，从而得出答案.【详解】因为的定义域为，则，解得，即的定义域为，而为.故选：C9．D【分析】根据给定复合函数求出的定义域，再列式求解作答.【详解】因函数的定义域是，即中，则，因此，有意义，必有，解得，所以的定义域是.故选：D10．A【分析】利用反比例型函数值域求法求解.【详解】解：函数f(x)=1-的定义域为，所以，则，所以函数f(x)=1-的值域为，故选：A11．D【分析】根据反比例函数的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，故选：D12．D【分析】先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解．【详解】解：令，当时，，又，所以，，即所以，故选：D．13．A【分析】换元设，可得，再结合与二次函数的范围求解即可.【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为.故选：A．14．B【分析】令，结合换元法和二次函数性质即可求解.【详解】设．则．∵，∴．则．∵图象的对称轴为直线．当时，取得最大值1；当时，取得最小值，函数的值域是，故选：B．15．C【分析】令，转化为二次函数在定区间的值域，即得解【详解】由题意，函数的定义域为令故由于为开口向下的二次函数，对称轴为故当时，，无最小值故函数的值域是故选：C16．C【分析】当时易知满足题意；当时，根据的值域包含，结合二次函数性质可得结果.【详解】当时，，即值域为，满足题意；若，设，则需的值域包含，，解得：；综上所述：的取值范围为.故选：C.17．B【分析】根据二次函数的图象和性质，结合定义域与值域的概念可以得到实数m的取值范围.【详解】函数在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，时时，函数的部分图象及在上的的图象如图所示.所以为使函数在上的值域为，实数m的取值范围是，故选：B.18．A【解析】由，然后分和判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出的取值范围【详解】解：，当时，在上单调递增，所以，此时，当时，由，当且仅当，即时取等号，因为在上单调递增，若的值域为，则有，即，则，综上，，所以实数的取值范围为故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查函数值域的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是对函数变形为，然后分和讨论函数的单调性，求出函数的值域，考查转化思想和计算能力，属于中档题19．C【分析】利用函数图象的平移判断即可.【详解】函数的定义域为R，值域为，因为函数是由向右平移2个单位得到的，平移不改变函数的值域，所以函数的值域

故选：C.20．A【详解】试题分析：根据题意，由于函数的值域是[1,3]那么对于函数是先左移3个单位，然后纵坐标都扩大为原来的2倍，然后根据关于x轴的对称变换，再向上平移一个单位得到，可知其值域的范围为，选A考点：函数的值域点评：主要是考查了平移函数的的值域的求解属于基础题．21．B【解析】根据函数与函数的关系，即可求得值域．【详解】因为的值域是［1，2］，而与函数定义不同，值域相同，所以的值域是［1，2］，所以的值域为.故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的变换及其特征，函数的值域，属于基础题．22．B【分析】运用同一函数的定义，从定义域、值域和解析式进行判定，即可得到结果.【详解】的定义域为，的定义域为，但，故①错误；，故，②正确；由，解得：，故的定义域为，由，解得：或，故的定义域为，所以与不是同一函数，③错误；与的定义域和对应关系相同，为同一函数，④正确.故选：B23．B【分析】依次判断各个选项中函数的值域即可得到结果.【详解】对于A，，则其值域为，A错误；对于B，，则其值域为，B正确；对于C，，则其值域为，C错误；对于D，，则其值域为，D错误.故选：B.24．A【分析】根据函数的定义，结合图象判断即可.【详解】解：对图(1)，由图知:，不符合函数的定义域，故图(1)错误；对图(2)，由图知:，图象符合函数的定义，故图(2)正确.对图(3)，由图知:，不符合函数的值域，故图(3)错误；对图(4)，不符合函数定义，不是函数图象，故图(4)错误.故选：A.25．A【分析】根据抽象函数的定义域的求法，列出不等式组，即可求解.【详解】由的定义域为，可知的定义域为，即，则函数满足，即，解得，所以函数的定义域为.故选：A．26．(1)；(2).【分析】（1）根据二次根式和分式的性质进行求解即可；（2）利用代入法进行求解即可.（1）由二次根式和分式的性质可得：，且，所以函数的定义域为；（2）因为，所以.27．(1)且；(2).【分析】(1)根据、分式和二次根式的意义即可求出函数的定义域；(2)利用分离常量法即可解①；利用换元法和二次函数的性质即可解②.【详解】(1)要使函数有意义，需满足，即，解得且.所以函数的定义域为且.(2)①：，因为，所以，即，得，即函数的值域为；②：，由，得，所以函数的定义域为，令，则，，所以，又函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数取得最小值，最小值为，故函数的值域为.28．A【分析】根据题意可得出，不等式的解集为，从而讨论，当时，，满足题意；当时，，解出的范围即可．【详解】解：的定义域为，不等式的解集为，①当时，恒成立，满足题意；②当时，，解得，实数的取值范围为．故选：A．29．A【分析】依题意恒成立，分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为函数的定义域为，所以恒成立，当时显然恒成立，当，则，解得，综上可得；故选：A30．A【分析】由可推导得到的范围，即为所求值域.【详解】的值域为，，，即的值域为.故选：A.31．B【分析】L利用抽象函数求得定义域，再求解函数的定义域即可.【详解】解：函数的定义域是，即，则所以函数的定义域是则函数的定义域满足：，解得：且故的定义域是,,，故选：B．32．B【分析】利用函数的定义域和值域定义判断①②③的真假，利用函数值的定义判断④⑤的真假.【详解】解：函数值域中的每一个数都有定义域中的一个或多个数与之对应，故①不正确；函数的定义域和值域不一定都是无限集，故②不正确；根据函数的定义，可知③正确；对于任意一个函数，如果x不同，那么y的值可能相同，也可能不同，故④不正确；由函数值的定义，可知⑤正确.故选：B．33．A【分析】根据题目规律，先求出，进而求得答案.【详解】根据题意，令，则，所以，因为2,4,6，…，2022共有个数，所以.故选：A.34．AD【分析】利用基本不等式分别求解即可求出值域，得出结果.【详解】对A，因为，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的值域为，故A正确；对B，（），当时，，当且仅当，即等号成立，当时，，当且仅当，即时等号成立，所以的值域为，故B错误；故C，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，又，所以等号不成立，故C错误；对D，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的值域为，故D正确.、故选：AD.35．BD【分析】根据函数的概念判断每个选项.【详解】选项A，对于中的元素，由对应关系的作用下得，但不属于，即中的元素在中没有元素与之对应，不是函数；选项B，对于中的元素，在对应关系的作用下与中的元素对应；对于中的元素，在对应关系的作用下与中的元素对应.所以满足中任意元素与中唯一元素对应，是“多对一”的对应，所以是函数；选项C，对于中的元素，由对应关系的作用下与中元素对应，不满足中任意元素与中唯一元素对应，不是函数；选项D，对于中的任意元素，在对应关系的作用下，中都有唯一元素与之对应，所以是函数.故选：BD36．ACD【分析】利用基本不等式求最值判断ABD，结合二次函数的性质判断C．【详解】时，．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，从而的最大值是，A正确；，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B错；时，，，因为，所以时，，时，，时，．所以值域是，C正确；，且，，，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，D正确．故选：ACD．37．BC【分析】利用“和谐区间”的定义，逐一判断即可.【详解】对于A选项：，当时，，不满足题意，错误；对于B选项：，当时，，满足题意，正确；对于C选项：，当时，，满足题意，正确；对于D选项：，当时，，不满足题意，错误.故选：BC.38．【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不为0得不等式组，解之可得．【详解】解：由题意得：，解得：且，所以函数的定义域为．故答案为：．39