专题01 圆中垂径定理的应用4种压轴题型全攻略（解析版）

专题01圆中垂径定理的应用4种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用圆周（心）角性质求角的计算】 1【考点二利用圆的性质求锐角三角比的计算】 2【考点三利用垂径定理求线段的长度的计算】 2【考点四利用圆的性质求图形的面积的计算】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一利用圆周（心）角性质的计算】【例题1】如图，是的外接圆，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据圆周角定理可得，然后利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理进行计算，即可解答．【详解】解：连接，

∵，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1】如图，在中，点是的中点，点在上，连接、、、．若，则的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，再根据“弧，弦，圆心角的关系”求出，然后根据圆周角定理得出答案．【详解】解：连接，

∵点B是的中点，∴．∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，圆周角定理等，理解定理是解题的关键．即圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．【变式2】如图，是的两条直径，点是弧的中点，连接，若，则的度数（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，根据圆周角定理可得，结合点是弧的中点，可得，再结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．【详解】解：连接，如图所示，

∵，∴，∵点是弧的中点，∴，∵，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．【变式3】如图，四边形是圆内接四边形，连接、，，，则（）．

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆周角定理可得，再根据平行线的性质即可作答．【详解】∵，∴，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及平行线的性质等知识，掌握圆周角定理，是解答本题的关键．【考点二利用圆的性质求锐角三角比的计算】【例题2】以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据切线长定理得，，，设，，在中根据勾股定理可列方程，从而用含的代数式表示出和，根据正切三角函数的定义即可求出结论．【详解】解：以正方形的边为直径作半圆，，，，是的切线，是的切线，根据切线长定理得，，．设，，则在中，，，．根据勾股定理可得：，，，，，故选：．【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、求一个角的正切．熟记相关几何结论进行几何推理是解题关键．【变式1】如图，的半径于点，连接并延长交于点，连接．若，，则为()

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，过作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据勾股定理求出的半径，求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，再解直角三角形求出答案即可．【详解】解：连接，过作于，设的半径为，

，过，，，由勾股定理得：，即，解得：，即，为的直径，，，，，，解得：，由勾股定理得：，，，故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点，能求出CE的长度是解此题的关键．【变式2】如图，直线与相交于，两点，且与半径垂直，垂足为，已知，，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】设令，，利用勾股定理求得，根据垂径定理求得，据此即可求解．【详解】解：，，，令，，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．【变式3】如图，是的直径，点P是延长线上的一点，是的切线，C为切点．若，，则．

【答案】【分析】连接，根据切线的性质得到，根据正切的定义以及勾股定理进行计算，得到答案．【详解】解：连接，

∵是的切线，∴，在中，，设，则，，在中，根据勾股定理得，，，解得：，（舍），∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是切线的性质、正切的定义、勾股定理等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．【考点三利用垂径定理求线段长度的计算】【例题3】如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】连接，由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长．【详解】解：如图，连接，

直径，，，，，．故选：A．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式1】如图，是以为底边的等腰三角形，点O为的外心，连接交于点M．若，则的长为（）

A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】连接，由外接圆知，进一步证得为等边三角形，于是；由垂径定理相关知识得，在中，由三角函数知，所以．【详解】解：连接，∵O为的外心，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∵，∴，在中，，∴．故选：A．

【点睛】本题考查垂径定理，三角形外接圆，等边三角形的判定和性质，解直角三角形；运用垂径定理相关知识得出垂直从而运用解直角三角形知识是解题的关键．【变式2】如图，的弦垂直半径，垂足为，若半径长为5，，则的长为（）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】首先根据题意得到，然后利用勾股定理得到，然后利用垂径定理求解即可．【详解】解：如图，连接，

∵半径长为5，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，解题关键在于利用垂径定理和勾股定理求解．【变式3】如图，圆的直径垂直于弦，垂足是，，，则的长为．

【答案】【分析】根据圆周角定理得，由于圆的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算．【详解】解：∵，∴，∵圆的直径垂直于弦，∴，则为等腰直角三角形，∵∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．【考点四利用圆的性质求图形面积的计算】【例题4】如图，中，，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．【答案】【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形与扇形的面积之和与的面积之差．【详解】解：中，，，，，，阴影部分的面积，故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算、含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1】已知点C在以为直径的半圆上，连接，，阴影部分的面积为_____．

【答案】【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积，根据，，可以求得，的长，再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算．【详解】解：为直径，，，设，，即，解得：，，．故答案为：．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．【变式2】平行四边形中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接．再以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，若，且平分，，则图中阴影部分面积为_____．（结果不取近似值）【答案】/【分析】连接，由平行四边形的性质推出是等边三角形，是等腰三角形，由直角三角形的性质求出的长，得到的长，求出扇形的面积，扇形的面积，的面积，的面积，即可求出阴影的面积．【详解】解：连接，

∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，，，，∴阴影的面积．故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，平行四边形的性质，直角三角形的性质，关键是证明是等边三角形，是等腰三角形；明白阴影的面积．【变式3】如图，沿弦折叠扇形纸片，圆心O恰好落在上的点C处，，则四边形的面积为______．【答案】【分析】由折叠可得四边形是菱形，得出四边形是菱形，根据直角三角形的边角关系求出，进而得出半径，由菱形的面积公式可求答案．【详解】解：如图，连接交于点D，由折叠可知，，，而，∴，∴四边形是菱形；∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴菱形的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查圆的基本性质，折叠的性质，锐角三角函数的应用，掌握折叠的性质、以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．【过关检测】1．如图，线段为的直径，点C，D都在上，与相切于点D，若，，则可表示为（

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A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和定理得到，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．【详解】解：∵线段为的直径，∴，∵，∴，∵与相切于点D，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．2．如图，四边形是⊙O的内接四边形，是⊙O的直径，连接，，若，且，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接、，可得四边形是平行四边形，根据，可得是菱形，进而得到为等边三角形，结合直径所对圆周角是直角，可以求出，结合圆内接四边形的性质即可求出；【详解】解：如图，连接、，∵，且，∴四边形是平行四边形，又∵，∴是菱形，∴，，即为等边三角形，∴，，∵是⊙O的直径，∴，，，∵四边形是⊙O的内接四边形，∴，∴故选：D【点睛】本题考查平行四边形、菱形、等边三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，准确作出辅助线是解决本题的关键．3．如图，已知是的直径，点，在上，若，则的大小为（

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A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆周角的性质可得，求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出结果．【详解】解：是直径，，，，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．4．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．π【答案】A【分析】连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：连接，，∵为的直径，∴，∵，∴，即点E是的中点，∵点O是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，熟练的证明是解本题的关键．5．如图，是的直径，点C、D在上，连接，若，则的度数是（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直径所对的的圆周角是直角得到，进而求得，再圆内接四边形的两个对角互补求解即可．【详解】解：连接，如图所示：

∵是的直径，∴，∵，∴，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理、直角三角形的两锐角互余、圆内接四边形，熟知直径所对的的圆周角是直角，以及圆内接四边形的两个对角互补是解答的关键．6．如图，在中，弦相交于点，若，，则等于（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形的内角和定理可求出的度数，根据与所对弧相同，即可求解．【详解】解：在中，，，∴，∵与所对弧相同，∴，故选：．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，同弧或等弧所对圆周角相等的知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．7．如图，四边形内接于，是的直径，与相切于点，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，，据此即可求得答案．【详解】∵四边形内接于，∴．∴．∵与相切于点，∴．∴．故选：B．【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质和圆的切线的性质，牢记圆内接四边形的性质（圆内接四边形的对角互补）和圆的切线的性质（圆的切线垂直于过切点的半径）是解题的关键．8．如图，在中，弦，若，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由，可得，由，可得．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．二、填空题9．如图，直线与相切于点A，过圆上一点C作的垂线，垂足为B，垂线段交于另一点D，已知半径为3，，则弦的长为_____．

【答案】【分析】作于点H，连接，，由切线的性质和垂直的定义推出四边形是矩形，得到，由勾股定理求出的长，由垂径定理即可求出的长．【详解】解：如图，作于点H，连接，，

，，直线与相切于点A，，又，四边形是矩形，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形．10．如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于_____．【答案】8【分析】根据圆的性质可得，再根据进而可求；【详解】解：∵为的直径，弦，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：8．【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．11．如图，是的外接圆，为的直径，，点为半径上一点，延长与交于点，过点作，交延长线于点若为中点，则_____．

【答案】【分析】根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．【详解】解：为的直径，，，，，为中点，，，，，，，，，∽，，，，，，，，故答案为：【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．12．如图，是的外接圆，为的直径，连接，若，，则的长为_____cm．

【答案】6【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵是的外接圆，为的直径，∴，∵，，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答的关键．13．如图，在平行四边形中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，求：阴影部分的面积_____（结果保留）．

【答案】【分析】过点作于点．可求和的高，观察图形可知阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积，计算即可求解．【详解】解：过点作于点，

，，，，，阴影部分的面积：，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积．14．如图，为半圆O的直径，且，点C为半圆O上一点，连接，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为_____．

【答案】【分析】连接，，过点作于点，利用圆周角定理和含30度的直角三角形的性质，求出，的长度，利用阴影部分的面积等于的面积加上扇形的面积减去扇形的面积进行求解即可．【详解】解：连接，，过点作于点，

则：，，∵，∴，∴，∵阴影部分的面积等于的面积加上扇形的面积减去扇形的面积，∴阴影部分的面积；故答案为：【点睛】本题考查求阴影部分的面积，解题的关键是掌握割补法求面积，扇形的面积公式以及垂径定理．15．如图，以点O为圆心，为直径的半圆经过点C．若，则图中阴影部分的面积为．

【答案】/【分析】根据圆周角定理的推论可知，利用勾股定理可求出直径，再根据圆周角定理结合图形可知，即可求出．【详解】解：∵为直径，∴，∴在中，．∴的半径为，∵，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查求不规则图形的面积、圆周角定理和其推论．理解是解答本题的关键．16．如图，是半圆O的直径，点P在的延长线上，切半圆O于点C，连接．若，则_____．

【答案】27【分析】连接，由切线的性质可知是直角三角形，由可得，最后根据圆周角定理即可解答．【详解】解：连接，∵切于点C，

∴，∴是直角三角形，∵，∴，∴．故答案为27．【点睛】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、直角三角形的性质等知识点，作辅助线连接圆心和切点、垂直构造直角三角形是解答本题的关键．17．如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为_____．

【答案】【分析】连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算即可；【详解】如图，连接，

∵是的切线，∴，即，又，的半径为3，∴，∴．故答案是．【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为，与交于点C，，则圆中阴影部分的面积为_____．

【答案】/【分析】连接，从图中明确，然后根据公式计算即可．【详解】解：连接，

∵，∴是直径，根据同弧对的圆周角相等得：，∵点B坐标为，∴，∴

，，即圆的半径为2，∴．故答案为：．【