【抽屉原理思维方式的应用探究7200字（论文）】

抽屉原理思维方式的应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u153681.绪论 181081.1研究背景 1323071.2研究意义 1190621.3研究价值 2249872.相关概念的界定 2199872.1数学思维 2168702.2数学思维方式 235642.3抽屉原理思维方式 2311803.抽屉原理思维方式的应用 3130593.1在存在性问题中抽屉原理思维的应用 327633.2在不等式证明中抽屉原理思维的应用 10192874.总结 11摘要：抽屉原理思维方式在数学中的应用是非常广泛的，不仅在数论、组合论以及集合论等领域中有着广泛的应用，在高等数学的其它几门学科领域中也是解决问题的有效方法.我们也可以在现实生活中运用抽屉原理的思维来解决一些难以计算的问题，其道理并无深奥之处，且正确性也很明显,但若能灵活运用，便可能得到一些意想不到的结果.它常用于解决存在性和必然性问题,抽屉原理这一简单的思维方式在解题过程中可以演变出很多奇妙的变化，和颇具匠心的运用.在解决存在性问题时，抽屉原理思维常结合反证法思维运用，可谓异曲同工，相映成趣.关键词：抽屉原理；思维方式；应用1.绪论1.1研究背景抽屉原理首先是由德国数学家狄利克雷在19世纪初期发现的，他最早运用抽屉原理去解决数论中的问题．19世纪中叶德国数学家闵可夫斯基运用抽屉原理得到许多重要结论．直到20世纪初期杜尔首次利用抽屉原理去解决不定方程的有理数解的问题．并且发表的12篇论文都用到了该原理.同时西根利用杜尔的结果发现了西根引理，并且将抽屉原理作为最基本的工具研究超越数.[5.参考文献[]吴大山.浅谈初等数学中对抽屉原理教学的认识[J].数学学习与研究,2019(12):55-56+58.]中国古代数学对抽屉原理也是有过一些自己的表述，其中《晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事.这个故事就包含抽屉原理这个重要的原理.另外，在宋代费衮的《梁溪漫志》中，就曾运用抽屉原理来批驳“算命”一类迷信活动的谬论.[NOTEREF_Ref25449\h1]但是令人非常遗憾的是:我国学者虽然很早就会用抽屉原理来分析具体问题,但是在古代文献中并没有发现关于抽屉原理的概括性文字,没有人将它抽象为一条普遍的原理，最后还不得不将这一原理冠以数百年后西方学者狄里克雷的名字.[[]欧阳维诚.话说抽屉原理[J].书屋,2005(07):79-80.]5.参考文献[]吴大山.浅谈初等数学中对抽屉原理教学的认识[J].数学学习与研究,2019(12):55-56+58.[]欧阳维诚.话说抽屉原理[J].书屋,2005(07):79-80.1.2研究意义关于运用抽屉原理思维方式解决问题，在数学界研究颇多.随着时代的进步和科技的发展，在我国数学领域已经越来越开始走发展的道路.其中抽屉原理思维在数学中的应用是非常广泛的，不仅在数论、组合论以及集合论等领域中有着广泛的应用，在高等数学的其它几门学科领域中也是解决问题的有效方法.它是解决存在性和必然性问题的有力工具，抽屉原理这一简单的思维方式在解题过程中可以演变出很多奇妙的变化，和颇具匠心的运用.不仅如此，抽屉原理的思维方式还可以追随的我们的现实生活中，为我们在现实生活中提供极大的便利.我们可以利用抽屉原理思维更加简单而精确的解决我们在数学中所遇到的难题.[[]李娜娜.新形势下抽屉原理及其应用分析[J].科技展望,2016,26(34):124.][]李娜娜.新形势下抽屉原理及其应用分析[J].科技展望,2016,26(34):124.1.3研究价值许多学者对运用抽屉原理进行了研究，主要是围绕抽屉原理的应用、抽屉原理的表现形式及其如何构造抽屉来说，并且文字性概述不多，大都用例题来进行说明.而对抽屉原理的思维方式及其应用研究不多.我们知道抽屉原理思维方式概念非常简单，很容易理解，它是常用于解决存在性的问题，并且结合反证法思维运用，这是关键的地方.但是很多学者提及很少或者几乎没有提及到，所以在前人研究的基础上，首先我将交代清楚抽屉原理思维方式的概念，其次简单阐述运用抽屉原理思维时的步骤及其要注意的地方，最后讲述抽屉原理思维方式在存在性问题中、在不等式证明中的应用，以及反证法思维结合抽屉原理思维的应用.2.相关概念的界定2.1数学思维一般地说，数学思维就是数学活动中的思维.更确切的说，数学思维是人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反应.数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的.我们可以这样理解，数学思维是思维的一种，即受到所采用的一般思维方式的制约，包含一般思维所具有的本质，表现出自己的特性，这种特性是由数学科学本身的特点以及数学用以认识现实世界的方法所决定的.当然解决问题也是数学思维要达到的目的.[[]王宪昌.数学思维方法[M].—北京：人民教育出版社，2002.][]王宪昌.数学思维方法[M].—北京：人民教育出版社，2002.2.2数学思维方式数学思维方式是学习者在数学活动中学习的数学知识和掌握数学思维方法结合起来的多级系统，是数学知识与主体的认识长期相互作用的结果，是随着知识的学习在头脑中逐步建立，并在学习过程中不断发展的.数学思维方式不仅有重要的方法、工具价值，而且其中的一些也是近代数学思维的反映.[NOTEREF_Ref28293\h4]2.3抽屉原理思维方式抽屉原理思维方式简单的说，是学习者在数学活动中学习的抽屉原理知识和掌握的抽屉原理思维方法结合起来的多级系统，是抽屉原理知识与主体的认识长期相互作用的结果，是随着抽屉原理知识的学习在头脑中逐步建立，并在学习中不断发展的.运用抽屉原理思维方式解决存在问题时要根据不同问题的自身特点，洞察问题本质，把所要讨论的问题利用抽屉原理缩小范围，使之在一定的小范围内考虑问题，从而使问题变得简单明确.在使用抽屉原理思维方式解决问题时性，实质是对“至多”“至少”问题的一种处理方式，实际应用中,抽屉原理思维常常与反证法思维结合在一起.抽屉原理思维方式的应用运用抽屉原理思维方式证明数学问题或解决问题时，它的正确性简单而显然，但具体应用并不容易，困难之处在于怎样设置抽屉以及把它转化为抽屉原理的存在性问题.所以我们运用抽屉原理思维方式解决问题时，首先要判断该问题是否是存在性问题或者能否转化为存在性问题；其次当用直接证明法去解决问题时如果十分复杂或者解不出来，那么我们要学会用逆向思维去解决问题，即用反证法思维去证明.并且在不等式证明中也常运用抽屉原理思维方式去证明.这一简单的思维方式，在解题过程中演变出许多奇妙的变化和颇具匠心的精彩画面，值得我们去欣赏体会.同时在应用抽屉原理思维方式解决问题时知道步骤和要注意的地方是非常关键的.Ⅰ应用抽屉原理思维方式解决问题的步骤:（1）分析题意.分清什么是物体，什么是抽屉；（2）制造抽屉.这是比较关键的一步，根据题目条件和结论，结合有关数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及个数，为适用抽屉铺平道路；（3）运用抽屉原.观察题设条件，结合第二步，恰当地应用各个原则或综合运用几个原则，以求解决问题.[[][]邬玫张同君主编、李霞主编.小学数学解题研究[M].—武汉:华中师范大学出版社，2006.8.Ⅱ理解抽屉原理的思维方式要注意的地方：（1）抽屉原理是讨论元素与抽屉的关系，要求元素个数比抽屉数以及抽屉数的倍数多，至于多多少，这没有影响；（2）“任意放”的意思是不固定把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不固定每个抽屉放物品的个数；（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了；（4）将件物品放入个抽屉中，如果，其中是自然数，那么由抽屉原理就可得到，至少有一个抽屉中物品数不少于.[[]谢德芳著.数学推理和数学运算专项突破.—北京：企业管理出版社，2007.8（公务员录用考突破系列）][]谢德芳著.数学推理和数学运算专项突破.—北京：企业管理出版社，2007.8（公务员录用考突破系列）3.1在存在性问题中抽屉原理思维的应用我们可以把抽屉原理简单的分成两个：把5个苹果放到4个抽屉中，必有一个抽屉中至少一2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释，一般地我们将它表述为：第一抽屉原理：把个物体放入个抽屉，其中必有一个抽屉中至有个物体.若把5个苹果放到6个抽屉中，则必然有一个抽屉空着，这种情况的一般表述为：第二抽屉原理：把个物体放入个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有个物体.[NOTEREF_Ref30775\h6]通过以上两个抽屉原理我们可以看出，运用抽屉原理思维方式处理的问题明显具有“存在性”这一特征题目中常含有“至多”、“至少”等词语，且结论只要求存在不必确定.对于这类问题不论用什么方法，只要找出一个，就说明存在.[[]赵泽福.竞赛数学中“存在性”问题的一种解法[J].赤峰学院学报(自然科学版),2015,31(20):7-9.]处理此类问题，多数时候是根据问题的性质特征，以抽屉原理为理论基础，使研究的数学对象及其特征的存在性得以肯定即可.另外，由于抽屉则的证明使用的是反证法，因此广义上说，凡是能由抽屉原理思维方式来解决的问题，一定可以用反证法的思维来解决.[[]陈传理、张同君主编.竞赛数学教程[M].3版.北京：高等教育出2013.9(2017.6重印)]运用抽屉原理思维解决问题的基本思路是根据问题的自身特点，弄清楚对那些元素进行分类，找出规律，从而构造合适的抽屉.[NOTEREF_Ref32329\h7][]赵泽福.竞赛数学中“存在性”问题的一种解法[J].赤峰学院学报(自然科学版),2015,31(20):7-9.[]陈传理、张同君主编.竞赛数学教程[M].3版.北京：高等教育出2013.9(2017.6重印)3.1.1问题中出现“至少”时的应用“至少”表示最小限度，言其数量多、范围广.其中抽屉原理的三种表现形式的结论中都含有“至少”这个词，最基本的形式称为简单形式：件物品放入到个抽屉里，则不管怎样放，总有一个抽屉里至少有两个物品；由简单形式又可以得出，一般形式：件物品放入到个抽屉里,则不管怎样放，总有一个抽屉里至少有件物品；由简单形式可以推出，加强形式：件物品，放入个抽屉里，则不管怎样放，下述个事件总有一个成立：第1个抽屉里至少有件，第2个抽屉里至少有件，……，第个抽屉里至少有件.在抽屉原理的这三形式中，我们可以看出抽屉原理只判定了这种抽屉的存在性，只肯定了至少有，却不能确切地指出那个抽屉里存在多少物体.在具体运用抽屉原理时，首先要解决所讨论的问题中什么是抽屉，怎样“制造抽屉”.比如要证明香港有两个头发根数相同的人，我们可以想象知道全部居民的头发根数，把全部有0根头发的人放在0号房，把全部有1根头发的人数放在1号房，把全部2根头发的人放在2号房，依次类推.根据常识，人的头发根数不超过20万，但香港居民数目达到600万，远超出20万了；把这么多人分放在20个房间里，其中必有一个房间里至少有两个人.这两个人就有同样根数的头发.证毕.这个例子就是用了抽屉原理思维方式才得以轻松解决.我们再来看看比较明显的一个例子.[[][]萧文强著.数学证明[M].2版.大连：大连理工大学出版社.2016.1.例1有位代表参加会议，若每位代表至少认识另一个代表，则会议至少有两人认识的人数相同.要证明这个问题，我们可以设某代表认识的人数为个，则（视为个抽屉）.而会议上有个代表，故每位代表认识的人数共为个数（视为个物品）.那么，由抽屉原理得，结论成立.运用抽屉原理思维解决此类问题时会隐藏着“存在性”的已知条件，“至少”这并不是简单随意增加已知条件，而是客观存在的.因此我们对所研究的问题要敏锐洞察善于挖掘,从而得到其精髓所在.[NOTEREF_Ref32329\h7]3.1.2问题中出现“至多”时的应用“至多”表示最大限度，言其数量少、范围小.在运用抽屉原理思维解决存在性问题时，也常常出现“至多”这个词，由于问题的结论没有确定，而且综合性强，涉及的知识面广，对知识的迁移能力，灵活能力和分析问题能力的要求较高.所以在解决问题时复杂程度可想而知，但是只要找对方法技巧问题就会引刃而解.我们知道抽屉原理是解决存在性问题的有力工具，所以在存在性问题中出现“至多”二字理时运用抽屉原理的思维方式去解决再好不过.当然必要的情况下我们可以把“至多”转化为“至少”来解决，这需要根据具体问题具体分析.例2设是由的所有约数组成的集合，是的一个子集，其中没有一个数时另一个数的倍数，则最多含有多少元素？（2004，加拿大数学奥林匹克）分析与解注意到，则对于，，有所以，含有个元素下面证明：中没有一个数是另一个数的倍数假设是倍数，则，，,即，故中没有一个数时另一个数的倍数.再用反证法证明：满足条件的最多含有个元素设是的一个超过个互异的，所以，由抽屉原理知必有两个元素.使得.于是时，是的倍数；当时，满足是的倍数.由此，子集不满足条件，所以，最多含有个元素.此例题中问题中出现“最多”的关键词，也就是“至多”的意思，通过关键词我们能判断出此例是“存在性”问题，使用抽屉原理思维方式去解决既准确又简单.当然，在问题中出现“至多”时，有必要时可以结合反证法使用，还需要具体问题具体分析.3.1.3问题中没有关键词时的应用在存在性问题中运用抽屉原理思维解决问题时，有些问题明显能用抽屉原理思维去解决，但对于较复杂的问题则需要经过一番剖析转化才能用抽屉原思维去解决，当题目中常出现“至多”、“至少”、“一定有”、“存在”、“必然”等词语，看到这些关键词我们很快就能判断出是存在性问题，就会想着运用抽屉原理思维方式去解决问题.但是有些存在性问题中没有这些关键词，使难度增大了许多，这需要有扎实的基础知识和思维敏捷、推理严密、联想丰富等素质，当然认真审题也是非常关键的.下面我将例举一个例子来说明，在存在性问题中没有关键词时怎样运用抽屉原理思维去解决问题.例3已知各项均为整数的无穷数列满足：证明：对于任意大于1的正整数，存在无穷多个正整数，使得（改编自2013年美国数学奥林匹克题）简证考虑数列模的余数列，用数列的项作四元数列由分步计数原理，知用中的数至多可以作成个彼此不同的四元素数组，故上述四元素组至少有两个相等，记为①其中，，由已知得再结合①得而（补充定义）因此，数列是周期为的周期数列，命题成立.在有些存在性问题中结论没有出现“至多”、“至少”等关键词时，我们不太好判断是否是存在性问题.这需要经过一番剖析转化才能运用抽屉原思维去解决，有扎实的基础知识和思维敏捷、推理严密、联想丰富等素质是非常重要的.3.3.4结合反证法思维的应用我们在解决数学的问题时，有很多具体的解题方法.但如果只用一种方法是不可能解决所有的证明题的，反证法亦是如此，并不是所有的问题都能用反证法去解决的.有些证明题用反证法会很容易，但是有些问题用反证法证明就会很复杂甚至得不出结论.我们把反证法的适用题型从大方向来分类成六大类，其中反证法就适用于“存在性命题”中，[[]张萌.浅谈中学数学中的反证法[J].科学咨询(教育科研),2019(12):54-55]而抽屉原理只能解决存在性问题，又因为凡是能由抽屉原理思维方式来解决的问题，一定可以用反证法的思维来解决.所以在存在性问题中抽屉原理思维常结合反证法思维应用.[[[]张萌.浅谈中学数学中的反证法[J].科学咨询(教育科研),2019(12):54-55[]李玉萍.浅议数学中反证法的应用[J].科技创新导报,2015,12(23):219-22在存在性问题中反证法思维结合抽屉原理思维解决运用，实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”结论不成立就会出问题，这个问题是通过与已知条件矛盾.推理没有错误，已知条件也没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假设.即“结论成立”与“结论不成立”中必然有一个正确，而“结论不成立”是错误的一方，由此可知，结论必然成立.并且反证法思维与抽屉原理思维常结合应用，原则上来讲，其目的是缩短解题时间，让解题思路变得巧妙，解题步骤变得方便.在存在性问题中，结论若是“至少存在”其反面是“必定不存在”，由此推出矛盾，从而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”.我们运用反证法思维结合抽屉原理思维来来解决存在性问题能收到很好的效果，可谓异曲同工，相映成趣.例4求证：在有40个不同的正整数所组成的等差数列中，至少有一项不能表示成的形式(2009,中国国家队选拔赛考试)分析与证明用反证法,首先要找出问题的否定形式,即否命题.本题结论的反面是:存在一个各项不同且均能表示的形式的40项差.设这个等差数列为其中，设，其中，表示不超过实数的最大整数，则.接下来研究这个数列中最大的14项.首先证明中至少有一个不能表示成或的形式.若中的某一个不能示成或的形式，由假设知一定存在非负整数，使得不能表示成或的形式.所以.若，则与矛盾.若，则与矛盾.因此，只有故中至多存在一个不能表示成或的形式.所以，至少有13个能表示成或的形式.由抽屉原理知，至少有7个能或的形式.(1)有7个能表示成的形式，设，其中.则是某个公差为的14项等差数列中的7项所以，，显然故，矛盾.(2)有7个能表示成的形式.设，其中，则是某个公差为的14项等差数列中的7项.而，矛盾.综上，本题结论的反面不成立，故命题得证.在运用反证法思维结合抽屉原理思维解决存在性问题时，不仅要处理好反证法思维和抽屉原理思维的关系，还要注意的是运用反证法思维时要对结论作全面的否定，否定结论后推理要步步有据，在推理过程中必须要用到“已知条件”，否则证明将会出错.并且推理要正确无误，因为推理本身的错误而产生矛盾，不能作为用反证法的依据.总之，在直接知之甚少、较抽象、较困难，而其反面知之较多、较具体、较容易时，我们可以贯彻正难则反、舍直接求间接的原则.3.2在不等式证明中抽屉原理思维的应用不等式证明灵活多变方法众多，在问题解决的过程中通常各种方法彼此交叉使用，但有时效果并不理想，因为有些问题蕴涵着新的思想并不是强攻就能见效的，更何况在解决问题的过程中有个好的想法是极其重要的，像抽屉原理的思维方式一般运用在组合数论等一些离散数学中，如果我们将它运用到某些不等式的证明中有时却会产生意想不到的效果.下面这个关键要点就是在不等式证明中适合运用抽屉原理思维满足的条件.[[]沈虎跃.不等式证明的新方法[J].中学数学研究,2008(02):39-41[]沈虎跃.不等式证明的新方法[J].中学数学研究,2008(02):39-41一个关于字母的不等式，并且这些字母作为不等式的研究对象是平等的，如果把任何两个字母及对调位置，都不改变这个不等式，则称此不等式关于是对称的.例如，不等式②关于是对称的（此不等式是美国第3届数学竞赛题）.