人教A版高中数学必修一-等式性质与不等式性质、基本不等式(知识精讲)(解析版)

等式性质与不等式性质、基本不等式知识精讲一知识结构图内容考点关注点不等式的性质基本不等式不等式性质不等式两边同乘负数，不等号改方向。基本不等式求最值一正二定三相等二.学法指导1.作差法比较两个实数大小的基本步骤：作差、变形、定号、结论。2.运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.3．利用不等式的性质证明不等式注意事项1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.4.求含字母的数（或式子）的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.5.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2eq\r(ab)成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.三.知识点贯通知识点1比较两数（式）的大小a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.例1.已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．【解析】3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.知识点二利用不等式性质判断命题真假及不等式性质的应用1.不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．例题2：对于实数a，b，c下列命题中的真命题是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，则eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＞0，b＜0【答案】D【解析】法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)⇒eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B为假命题；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0⇒－a＞－b＞0))⇒eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C为假命题；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b⇒b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．法二：特殊值排除法．取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．取a＝2，b＝1，则eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1.有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B错．取a＝－2，b＝－1，则eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C错．例题3.已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与eq\f(a,b)的取值范围．【解析】因为1＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因为eq\f(1,8)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜2.知识点三利用基本不等式比较大小1.重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2.基本不等式当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．例题4.(1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是()A．a＋b≥2eq\r(ab) B.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2C.eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq\r(ab) D.eq\f(2ab,a＋b)≥eq\r(ab)(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．【答案】(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac【解析】(1)由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)得a＋b＝2eq\r(ab)，∴A成立；∵eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，∴B成立；∵eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥eq\f(2ab,\r(ab))＝2eq\r(ab)，∴C成立；∵eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab)，∴D不一定成立．(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]知识点四利用基本不等式证明不等式1.当a，b是任意正实数时，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．例题5．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>9.【证明】∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时取等号，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>9.知识点五利用基本不等式求最值1.已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq\f(S2,4).(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq\r(p).上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．例题6.(1)已知x>0，求函数y＝eq\f(x2＋5x＋4,x)的最小值；(2)已知0<x<eq\f(1,2)，求y＝eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值．【解析】(1)∵y＝eq\f(x2＋5x＋4,x)＝x＋eq\f(4,x)＋5≥2eq\r(4)＋5＝9，当且仅当x＝eq\f(4,x)即x＝2时等号成立．故y＝eq\f(x2＋5x＋4,x)(x>0)的最小值为9.(2)∵0<x<eq\f(1,2)，∴1－2x>0，∴y＝eq\f(1,4)×2x(1－2x)≤eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16).∴当且仅当2x＝1－2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，即x＝eq\f(1,4)时，ymax＝eq\f(1,16).五易错点分析易错一不等式的性质的应用例题7.判断对错。(1)若a>b，则ac>bc一定成立．()(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.()【答案】(1)×(2)×【解析】(1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.误区警示

比较大小、证明不等式应熟记、记准不等式的性质。易错二利用基本不等式求最值例题8.已知x<eq\f(5,4)，求y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值；【解析】∵x<eq\f(5,4)