导数压轴专题突破-第29讲 三次函数问题（含答案及解析）

第29讲三次函数问题【典型例题】例1．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称，为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则A． B． C．8084 D．8088例2．设是的导函数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，，其中满足．（1）函数的对称中心为；（2）现已知当直线和的图象交于，，，，，三点时，的图象在点，点处的切线总平行，则过点可作的条切线．例3．已知函数．（1）求在区间，上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围．例4．已知函数，其中，为常数．（1）当时，若函数在，上的最小值为，求的值；（2）讨论函数在区间上的单调性；（3）若曲线上存在一点，使得曲线在点处的切线与经过点的另一条切线互相垂直，求的取值范围．例5．已知函数，．（1）若，且在内有且只有一个零点，求的值；（2）若，且有三个不同的零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若，，试讨论是否存在，，，使得．【同步练习】一．选择题1．已知直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为A． B． C． D．2．已知函数，若，且和的零点均在集合，1，中，则函数的极小值为A．0 B．0或 C． D．32二．填空题3．对于三次函数给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算．三．解答题4．设函数，，，，为的导函数．（1）若，（4），求的值；（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，，，且的极大值为，求证：．5．已知函数，，．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）若函数存在极值点，且，其中，求证：；（3）用，表示，中的最小值，记函数，，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数的取值范围．6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设有两个极值点，，若过两点，，，的直线与轴的交点在曲线上，求的值．7．已知函数．（1）当时，求的极值；（2）讨论的单调性；（3）设有两个极值点，，若过两点，，，的直线与轴的交点在曲线上，求的值．8．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．9．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）是否存在，，使得在区间，上的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由．10．已知函数且．（1）讨论的单调性；（2）是否存在，，使得在区间，上的最小值为，最大值为0，若存在，试求出实数，，若不存在，说明理由．11．在上定义运算：、是常数），已知，，．①如果函数在处有极值，试确定、的值；②求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；③记的最大值为，若对任意的、恒成立，试求的取值范围．（参考公式：12．在上定义运算、为实常数）．记，，．令．（Ⅰ）如果函数在处有极值，试确定、的值；（Ⅱ）求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；（Ⅲ）记的最大值为．若对任意的、恒成立，试求的最大值．13．已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和．（Ⅰ）函数的单调递减区间为，，极大值点为；（Ⅱ）求实数，的值；（Ⅲ）若恰有两个零点，请直接写出的值．14．已知函数．（1）求的极大值点；（2）当，时，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围．15．已知，，函数．（1）若函数的图象过点，且在点处的切线斜率是3，求，的值；（2）若是函数的极大值点，且，时，的最小值为，求的值．16．已知函数，，．（1）若，①当时，求函数的极值（用表示）；②若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线，的斜率分别为，，且，求，满足的关系式．17．设函数，其中（Ⅰ）当曲线在点，（1）处的切线斜率（Ⅱ）已知函数有三个互不相同的零点0，，，且．若对任意的，，（1）恒成立，求的取值范围．18．已知函数．（1）若函数有三个零点分别为，，，且，，求函数的单调区间；（2）若，，证明：函数在区间内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．19．设函数．（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求的取值范围．20．设函数．（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求的取值范围；（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件．

第29讲三次函数问题【典型例题】例1．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称，为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则A． B． C．8084 D．8088【解析】解：因为函数，则，，令，解得，且（1），由题意可知，的拐点为，故的对称中心为，所以，所以．故选：．例2．设是的导函数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，，其中满足．（1）函数的对称中心为；（2）现已知当直线和的图象交于，，，，，三点时，的图象在点，点处的切线总平行，则过点可作的条切线．【解析】解：（1）的导数为，，由，可得，，可得的对称中心为；（2）曲线在点，点处的切线总是平行的，，两点关于的对称中心对称，故而为的对称中心，又直线横过点，的对称中心为，即，．①由可得，令可得，②由①②可得，．曲线的方程为：，，曲线在点，的切线方程为，把代入上式，整理得，即，有两解，即过点的切线有2条．故答案为：，2．例3．已知函数．（1）求在区间，上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围．【解析】解：（1）由得．令，得或．因为，，，（1），所以在区间，上的最大值为．（2）设过点的直线与曲线相切于点，，则，且切线斜率为，所以切线方程为，因此．整理得．设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”．，与的情况如下：0100所以，是的极大值，（1）是的极小值．当，即时，此时在区间，和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点．当（1），即时，此时在区间和，上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点．当且（1），即时，因为，（2），所以分别在区间，，，和，上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和，上恰有1个零点．综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是．例4．已知函数，其中，为常数．（1）当时，若函数在，上的最小值为，求的值；（2）讨论函数在区间上的单调性；（3）若曲线上存在一点，使得曲线在点处的切线与经过点的另一条切线互相垂直，求的取值范围．【解析】解：（1）当时，，所以函数在，上单调递减，（2分）由（1），即，解得．（4分）（2）的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为，因为△，有两个不等实根，（5分）①当方程在区间上无实根时，有解得．（6分）②当方程在区间，与上各有一个实根时，有：（a），或，解得．（8分）③当方程在区间上有两个实根时，有，解得．综上：当时，在区间上是单调增函数；当时，在区间上是单调减函数，在区间，上是单调增函数当时，在区间，，上是单调增函数，在区间，上是单调减函数．（3）设，，则点处的切线斜率，又设过点的切线与曲线相切于点，，，则点处的切线方程为，所以，化简，得．（12分）因为两条切线相互垂直，所以，即．令，则关于的方程在，上有解，（14分）所以（当且仅当时取等号），解得，故的取值范围是．（16分）例5．已知函数，．（1）若，且在内有且只有一个零点，求的值；（2）若，且有三个不同的零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若，，试讨论是否存在，，，使得．【解析】解：（1），函数，，令，可得或，因为时，，由三次函数的图象可知，，在内没有零点，所以，在内有且只有一个零点，可得，可得，解得．（2），当时，，此时不存在三个相异零点；当时，函数，，△，有两个根，，要使有三个不同零点，极大值与极小值乘积小于0，，不妨设的三个零点为，，，且，则，，①，②，③②①得，，，④同理，⑤⑤④得，，，又，，，，即，即，，，因为函数的极小值为：．存在这样实数满足条件．（3）．若存在，，，使得，即，则关于的方程在，，，内必有实数解．，△，方程的两根为，即，，，依题意有，且，即，且，，且，得，且．当，，时，存在唯一的，，，使得．成立；当，，时，不存在，，，使得．成立．【同步练习】一．选择题1．已知直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为A． B． C． D．【解析】解：直线与曲线相交，交点依次为，，，且，可知直线经过曲线的对称中心，，可得，，令，解得，所以曲线的对称中心，显然满足或，排除选项、．不妨直线方程为：与曲线，联立消去，可得：，化为，可得另2个解：，或，对应点分别为，，此时满足，所以则直线的方程为：．故选：．2．已知函数，若，且和的零点均在集合，1，中，则函数的极小值为A．0 B．0或 C． D．32【解析】解：因为，所以，令，解得：或，令，解得：或；因为，，都在集合，1，中；所以，，，所以，，当，即时，有极小值为（1），故选：．二．填空题3．对于三次函数给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算．【解析】解：，令得，（1），所以的对称中心为，所以，则，所以．故答案为：4038．三．解答题4．设函数，，，，为的导函数．（1）若，（4），求的值；（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，，，且的极大值为，求证：．【解析】解：（1），，（4），，，解得．（2），，设．令，解得，或．．令，解得，或．和的零点均在集合，1，中，若：，，则，舍去．，，则，舍去．，，则，舍去．．，，则，舍去．，，则，舍去．，，则，因此，，，可得：．．可得时，函数取得极小值，（1）．（3）证明：，，，．．△．令．解得：，．，，，可得时，取得极大值为，，令，可得：．，．令，，函数在上单调递减，．．．函数在上单调递增，．5．已知函数，，．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）若函数存在极值点，且，其中，求证：；（3）用，表示，中的最小值，记函数，，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数的取值范围．【解析】解：（1）当时，，，，令得，，函数的单调递减区间为；（2），，函数存在极值点，，令得，，不妨设，，，其中，，即，又，，即，分解因式得：，又，；（3）①当时，，，，故函数在时无零点，②当时，（1），（1），若，则（1），（1），故是函数的一个零点，若，则（1），，故不是函数的一个零点，③当时，，因此只需考虑在内的零点个数即可，，令得，当时，，在上单调递增，而，在上恒成立，函数在内无零点，当时，，在上单调递减，而，（1），函数在上有1个零点，当时，函数在上单调递减，在，上单调递增，，若，即时，在内无零点，若，即时，在内有唯一零点，若，即时，由，（1），当时，在内有2个零点，当时，在内有1个零点，综上所述，当时，函数有3个零点．6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设有两个极值点，，若过两点，，，的直线与轴的交点在曲线上，求的值．【解析】解：（1）．①当时，，且仅当，时，，所以是上的增函数；②当时，，有两个根，，，当时，，是增函数．当时，，是减函数．当时，，是增函数．（2）由题意，，是方程的两个根，故有，，，因此，同理．因此直线的方程为：．设与轴的交点为，得，，由题设知，点，在曲线上，故，解得，或或7．已知函数．（1）当时，求的极值；（2）讨论的单调性；（3）设有两个极值点，，若过两点，，，的直线与轴的交点在曲线上，求的值．【解析】解：（1）当时，，则；令得，或；100增9减增当时，的极大值为9，当时，的极小值为．（2）；①当时，，是上的增函数，②当时，有两个根，，；当，时，；故的单调增区间为，，；当时，；故的单调减区间为，；（3）由题设知，，是的两个根，，且，；，同理，，则直线的解析式为；设直线与轴的交点为，，则，解得，；代入得，；，在轴上，，解得，或或．8．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）．令，解得，或．①时，，函数在上单调递增．②时，函数在，，上单调递增，在上单调递减．③时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．（2）由（1）可得：①时，函数在，上单调递增．则，（1），解得，，满足条件．②时，函数在，上单调递减．，即时，函数在，上单调递减．则，（1），解得，，满足条件．③，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．则最小值，化为：．而，（1），最大值为或．若：，，解得，矛盾，舍去．若：，，解得，或0，矛盾，舍去．综上可得：存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1．，的所有值为：，或．9．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）是否存在，，使得在区间，上的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1），当时，令，得或，令，得，故函数在，上单调递减，在，上单调递增，当时，在上单调递增，当时，同理得，函数在上单调递减，在，，上单调递增，（2）假设存在满足条件的，，①当时，在，上单调递增，在，上单调递减，所以，若，则，（舍，若，则（舍，②当时，由（1）知，在，上单调递减，故当时函数取得最大值，当时，函数取得最小值，所以，，③当时，由（1）知，在，上单调递增，故当时函数取得最小值，当时，函数取得最小值，所以，，综上，，或，10．已知函数且．（1）讨论的单调性；（2）是否存在，，使得在区间，上的最小值为，最大值为0，若存在，试求出实数，，若不存在，说明理由．【解析】解：（1），由得或，由．得．当时，在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．当时，在上为减函数．当时，在上为减函数，在上为增函数，上为减函数．综上，时，在上为减函数，在上为增函数，上为减函数；时，在上为减函数；时，在上为减函数，在上为增函数，上为减函数；（2）由（1）知，当时，函数在，单调递增，，无解；当时，，函数在上单调递增，在单调递减，又，结合题设，则有，即，令，则，则有时，单调递减．时单调递减，，在上无零点，方程组无解；当时，由（1）可知在，单调递减，，，解得，，综上，．11．在上定义运算：、是常数），已知，，．①如果函数在处有极值，试确定、的值；②求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；③记的最大值为，若对任意的、恒成立，试求的取值范围．（参考公式：【解析】解：①依题意，解得或．若，，，在上单调递减，在处无极值；若，，，直接讨论知，在处有极大值，所以为所求．②解得或，切点分别为、，相应的切线为或．解得或；解即得或．综合可知，时，斜率为的切线只有一条，与曲线的公共点只有，时，斜率为的切线有两条，与曲线的公共点分别为、和、．③．若，则在，是单调函数，，（1），，因为（1）与之差的绝对值（1），所以．若，在，取极值，则，（1），（b），（b）．若，（1）；若，（1）（b），，（b）．当，时，在，上的最大值．所以，的取值范围是．12．在上定义运算、为实常数）．记，，．令．（Ⅰ）如果函数在处有极值，试确定、的值；（Ⅱ）求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；（Ⅲ）记的最大值为．若对任意的、恒成立，试求的最大值．【解析】解：依题意：已知，，．得，解得或．若得，，，在上单调递减，在处无极值；若，，，直接讨论知，在处有极大值，所以即为所求；（Ⅱ）得或，切点分别为、，相应的切线为或．解，得或；解，即得或．综合可知，时，斜率为的切线只有一条，与曲线的公共点只有，时，斜率为的切线有两条，与曲线的公共点分别为、和、（Ⅲ）．若，则在，是单调函数，因为，所以函数的对称轴位于区间，之外，所以在，上的最值在两端点处取得．故应是（1）和中较大的一个．假设，则，（1），将上述两式相加得：，导致矛盾，所以．若，在，取极值，则，（1），（b），（b）；若，（1）（b）则（1），（b）（1）（b）若，（1）（b），，（b）（b）当，时，在，上的最大值．所以，的取值范围是，．的最大值为．13．已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和．（Ⅰ）函数的单调递减区间为，，极大值点为；（Ⅱ）求实数，的值；（Ⅲ）若恰有两个零点，请直接写出的值．【解析】解：（Ⅰ）导函数的图象如图所示，过点和．可得：时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增．函数的单调递减区间为，极大值点为．故答案为：，．（Ⅱ），由题意知，即解得（Ⅲ）由可得：，由可得：为极大值点，1为极小值点．恰有两个零点，，或（1），或0．14．已知函数．（1）求的极大值点；（2）当，时，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围．【解析】解：（1），令，得或，若，则当时，；当时，，故在，上单调递增，在上单调递减，此时的极大值点为；若，则当时，；当时，，故在，上单调递增，在上单调递减，此时的极大值点为；若，在上单调递增，无极值．（2）设过点的直线与曲线相切于点，，则，且切线斜率，所以切线方程为，因此，整理得，构造函数，则“若过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有三个不同的零点”，，与的关系如下表：100极大值极小值所以的极大值为，极小值为（1），要使有三个解，即且（1），解得，因此，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是．15．已知，，函数．（1）若函数的图象过点，且在点处的切线斜率是3，求，的值；（2）若是函数的极大值点，且，时，的最小值为，求的值．【解析】解：（1），由题意可得，解得，，；（2），由题知，即有，由韦达定理得另一极值点为，故，解得．在内递增，在内递减，在内递增，①当，即时，在，上单调递减，（2），得，舍去．②当，即时，，得，或（舍去）综上，．16．已知函数，，．（1）若，①当时，求函数的极值（用表示）；②若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线，的斜率分别为，，且，求，满足的关系式．【解析】解：（1）①函数，，．，，，令，解得，或．由知，，，单调递增，，，单调递减，，，，单调递增，的极大值为，的极小值为．②当时，，此时不存在三个相异零点；当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为．要使有三个不同零点，则必须有，即或．不妨设的三个零点为，，，且，则，，①，②，③②①得，，，④同理，⑤⑤④得，，，又，．，即，即，存在这样实数满足条件．（2）设，，，，则，，又，由此可得，化简得，，，．17．设函数，其中（Ⅰ）当曲线在点，（1）处的切线斜率（Ⅱ）已知函数有三个互不相同的零点0，，，且．若对任意的，，（1）恒成立，求的取值范围．【解析】解：时，，，（1）．当曲线在点，（1）处的切线斜率．由题设，，方程有两个相异的实根，，故，且△，，解得，，，故．①当时，（1），而，不符合题意，②当时，对任意的，，都有，，，则，又，所以在，上的最小值为0，于是对任意的，，（1）恒成立的充要条件是（1），解得，，即有的取值范围是．18．已知函数．（1）若函数有三个零点分别为，，，且，，求函数的单调区间；（2）若，，证明：函数在区间内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数的两个极值点之间的