（圆梦高考数学）专题9.6 直线与圆锥曲线（含答案及解析）

专题9.6直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系题型二弦长问题题型三三角形（四边形）问题题型四中点弦问题题型五求参数范围及最值问题题型六定点问题题型七定值问题题型八定直线问题题型九圆锥曲线的切线问题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例2．（2023春·上海浦东新·高三统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定练习1．（2022秋·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）直线：与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交练习2．（2023秋·高二课时练习）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条D．1条、2条或3条练习3．（2021秋·高三单元测试）讨论直线与双曲线的公共点的个数．练习4．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为______．练习5．（2023·全国·高三对口高考）已知实数x，y满足：，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．5题型二 弦长问题例3．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4例4．（2023·全国·高三对口高考）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3练习6．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_________．练习7．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则_____________．练习8．（2023春·广东·高三统考开学考试）设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．练习9．（2023·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条练习10．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知焦点在y轴上的椭圆C，过点，离心率直线l:被椭圆C所截得的弦长为，(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值.题型三 三角形（四边形）问题例5．（2023秋·高二课时练习）正方形ABCD的边AB在直线上，C、D两点在抛物线上，则正方形ABCD的面积为__________．例6．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．练习11．（2023秋·高二课时练习）已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积．练习12．（2023·全国·模拟预测）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，，，四点.若，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．练习13．（2023·全国·模拟预测）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，且的延长线交轴于点，且，的内切圆半径为4，的面积为9，则（

）

A．18 B．32 C．50 D．14练习14．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是______________.练习15．（2023秋·高二单元测试）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于P，Q两点，O为坐标原点，则的面积等于__________．题型四 中点弦问题例7．（2023·全国·高三对口高考）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为_________．例8．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．练习16．（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（

）A． B． C． D．练习17．（2022秋·高三课时练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于（）A． B． C． D．练习18．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线与交于两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为，则的取值范围为______．练习19．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为_________.练习20．（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为_________．题型五 求参数范围及最值问题例9．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为左准线上动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．例10．（2023秋·高三课时练习）已知抛物线上三点A，B，C，且当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（

）A． B． C． D．练习21．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考期中）已知抛物线C的焦点为F，点A，B在抛物线上，过线段AB的中点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，以AB为直径的圆过点F，则的最大值为________．练习22．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知是平面向量，，若非零向量满足，向量满足，则的轨迹方程为__________；的最小值为__________.练习23．（2023秋·重庆·高三校联考期末）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，.若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为__________.练习24．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设、是椭圆的左、右焦点，点P是直线上一点，则的最大值是（

）A． B． C． D．练习25．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，曲线按照伸缩变换后得到曲线方程(1)求曲线的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于相异的两点，且，求实数的取值范围题型六 定点问题例11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为坐标原点，，，和交点为.(1)求点的轨迹；(2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由.例12．（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若所在直线l的方程为．(1)求抛物线S的方程；(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线S上两动点，且满足．试说明动直线是否过定点．练习26．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标中，设，，以线段为直径的圆经过原点O．(1)求动点P的轨迹W的方程；(2)过点作直线l与轨迹W交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为，试判断直线是否恒过定点．练习27．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.练习28．（2023·安徽淮南·统考二模）双曲线的离心率为，分别是的左，右顶点，是上异于的一动点，直线分别与轴交于点，请写出所有满足条件的定点的坐标______________.练习29．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为_____________.练习30．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线和分别与直线交于点M，N,问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．题型七 定值问题例13．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）椭圆的焦距为为椭圆右焦点，.

(1)求椭圆的方程与离心率；(2)设为原点，为椭圆上一点，的中点为.直线与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点.求证：.例14．（安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高二下学期春季联赛数学试题）已知双曲线的标准方程为，其中点为右焦点，过点作垂直于轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，若，.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点作的平行线，在直线上任取一点，连接与双曲线相交于点，求证点到直线的距离是定值.练习31．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在椭圆：上，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，，若直线，的斜率分别为，，且．(1)求圆的半径；(2)探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．练习32．（2023秋·高三课时练习）如图，已知椭圆的右焦点为，上顶点为，右顶点为．

(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P是椭圆C上异于的一点，且直线PA、PB分别与y轴和x轴交于点，求证：为定值．练习33．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值.练习34．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.

(1)当时，求双曲线的标准方程；(2)过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.练习35．（2023·全国·高三对口高考）已知是抛物线上一点，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线分别交直线于点M，N．(1)求抛物线方程及其焦点坐标；(2)已知O为原点，求证：为定值．题型八 定直线问题例15．（2023·广西·统考一模）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切．(1)求p的值：(2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．例16．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由练习36．（2022·高三课时练习）如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．练习37．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，(1)求E的标准方程：(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．练习38．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．(1)求Γ的方程；(2)若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．练习39．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．练习40．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．题型九 圆锥曲线的切线问题例17．（2023秋·四川凉山·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为且.(1)求抛物线的方程；(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，设切点分别为，，求点到直线的距离的最大值.例18．（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值．练习41．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知A，B为抛物线上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，过点A，B的直线斜率为，若点P的横坐标为，则______.练习42．（2023秋·山东济南·高三统考期末）已知在平面直角坐标系中,动点到点的距离与它到直线的距离之比为2.记的轨迹为曲线.(1)求的方程;(2)若是曲线上一点,且点不在轴上.作于点,证明:曲线在点处的切线过的外心.练习43．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与它到直线的距离之比为2.记M的轨迹为曲线E.(1)求E的方程；(2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处的切线过△PQA的外心.练习44．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）椭圆的左､右焦点分别为，过点作椭圆的切线，切点为，若点在线段上，且满足，则点的坐标为__________.练习45．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8

专题9.6直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系题型二弦长问题题型三三角形（四边形）问题题型四中点弦问题题型五求参数范围及最值问题题型六定点问题题型七定值问题题型八定直线问题题型九圆锥曲线的切线问题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去，利用判别式研究即可.【详解】联立，消去得，当时，方程有解，即直线与双曲线有公共点；当时，，解得或.故选：C.例2．（2023春·上海浦东新·高三统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果.【详解】对于直线，整理得，令，解得，故直线过定点.∵，则点在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选：A.练习1．（2022秋·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）直线：与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交【答案】A【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系；方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系.【详解】方法1：∵，即：，∴直线l恒过定点，又∵椭圆∴，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交.方法2：∴恒成立，∴直线l与椭圆相交.故选：A.练习2．（2023秋·高二课时练习）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条D．1条、2条或3条【答案】C【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可.【详解】联立直线和抛物线方程可得，整理可得，直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根，当时，方程为仅有一解，符合题意；当时，一元二次方程仅有一解，即，解得，所以满足题意得直线有三条，即，和.故选：C练习3．（2021秋·高三单元测试）讨论直线与双曲线的公共点的个数．【答案】答案见解析【分析】联立方程组得到，结合一元二次方程的性质，分类讨论，即可求解.【详解】联立方程组，整理得，当时，即时，具体为：当时，；当时，；此时直线与双曲线有一个交点；当时，即时，可得，由，即，可得且，此时直线与双曲线有两个交点；由，即，可得，此时直线与双曲线只有一个交点；由，即，可得或，此时直线与双曲线没有交点；综上可得：当时，直线与双曲线有两个公共点；当或时，直线与双曲线有一个公共点；当时，直线与双曲线没有公共点.练习4．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为______．【答案】【详解】

设双曲线的半焦距为，，根据题意得．又，∴．在中，由余弦定理得，，即，解得，则．设，，则，，两式相减可得，所以．设，因为是线段的中点，所以，，又，所以．故答案为：.练习5．（2023·全国·高三对口高考）已知实数x，y满足：，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．5【答案】B【分析】令，问题化为与有交点情况下，直线在x轴上截距最大，联立方程求相切情况下m值，即可得最大值.【详解】令，则直线与有交点情况下，直线在x轴上截距最大，假设直线与椭圆相切，则，即，所以，可得，即，要使在x轴上截距最大，即.故选：B.题型二 弦长问题例3．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】如图所示，由题得，利用抛物线的定义化简即得解.【详解】如图所示，由题得，抛物线的准线方程为.所以.故选：C

例4．（2023·全国·高三对口高考）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可.【详解】左焦点为，若直线垂直x轴，则直线为，代入椭圆方程得，可得，此时通径长，所以，由椭圆性质知：的直线有仅只有一条.故选：B练习6．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_________．【答案】【分析】设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的值.【详解】在椭圆中，，，则，故点，设点、，由题意可知，直线的方程为，即，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，.故答案为：.练习7．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则_____________．【答案】【分析】根据抛物线定义有，结合已知即可求参数p的值.【详解】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即，所以，即.故答案为：练习8．（2023春·广东·高三统考开学考试）设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】根据抛物线焦点弦的性质得，进而根据基本不等式即可求解最值.【详解】因为直线过焦点，设直线为，设,联立，则，故所以，所以，当且仅当时，等号成立．故选：A练习9．（2023·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【分析】设直线方程与双曲线联立，利用弦长公式解方程判断根的个数即可.【详解】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为；故可设，与双曲线联立可得，，由弦长公式知，则或.故存在四条直线满足条件.故选：D练习10．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知焦点在y轴上的椭圆C，过点，离心率直线l:被椭圆C所截得的弦长为，(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆C的长短半轴长即可作答.（2）联立直线l与椭圆C的方程，利用弦长公式求解作答.【详解】（1）因为椭圆C的焦点在y轴上，且过点，则椭圆C的短半轴长为2，设其长半轴长为，由离心率得：，解得，所以椭圆C的标准方程是.（2）由消去y并整理得：，有，即，设直线l被椭圆C所截弦的端点，于是，，解得，满足条件，所以.题型三 三角形（四边形）问题例5．（2023秋·高二课时练习）正方形ABCD的边AB在直线上，C、D两点在抛物线上，则正方形ABCD的面积为__________．【答案】18或50【分析】设出点的坐标，由正方形的特征建立等量关系求解即可.【详解】如图：

设，，不妨设，因为，，所以，化为①.由正方形可得，所以②，①②联立化为.解得或或（舍）或（舍）.当时，，所以此时正方形的面积为18.当时，，所以此时正方形的面积为50.故答案为：18或50.例6．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C.练习11．（2023秋·高二课时练习）已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积．【答案】的周长为，面积为．【分析】利用椭圆定义和焦点三角形性质即可求得的周长为，写出直线的方程并与椭圆联立利用韦达定理，写出面积表达式即可求得面积为.【详解】如下图所示：

由椭圆方程可知，根据椭圆定义可知，所以的周长为，即的周长为；易知，又直线的倾斜角为，则，所以直线的方程为，设联立整理可得，由韦达定理可知；由图可知的面积为；所以的周长为，面积为练习12．（2023·全国·模拟预测）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，，，四点.若，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件得出，在直角中，利用几何条件得出，再结合条件得出，再联立圆的方程和渐近线方程求出四个交点的坐标，从而求出结果.【详解】如图，因为以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，，，四点，则，又因为，所以，，又为的中点，所以在直角中，，所以，所以渐近线，即，又，所以，故以为直径的圆的方程为，联立，解得或，即，同理可得，由双曲线的对称性，易知四边形为矩形，所以四边形的面积为.故选：A.练习13．（2023·全国·模拟预测）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，且的延长线交轴于点，且，的内切圆半径为4，的面积为9，则（

）

A．18 B．32 C．50 D．14【答案】C【分析】由双曲线的定义，结合直角三角形内切圆半径的求法及相似三角形对应线段成比练习求解即可.【详解】因为，所以，所以为直角三角形，所以，因为，所以．因为的面积为9，所以，因为，所以，所以．易知，所以，所以．故选：C.练习14．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是______________.【答案】128【分析】由题意可得，直线的斜率存在且不为0，设直线：，联立抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式求出，由于直线，互相垂直，可得，用同样的方法求出，根据四边形的面积公式和均值不等式，即可求其最小值.【详解】由题意可得，直线的斜率存在且不为0，

设直线：，，，由于直线，互相垂直，则，联立，整理得，则，，从而，同理可得，四边形的面积，当且仅当，即时，等号成立，即四边形ADBE面积的最小值是128，故答案为：128.练习15．（2023秋·高二单元测试）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于P，Q两点，O为坐标原点，则的面积等于__________．【答案】【分析】先根据题意求得的方程，再联立抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而求得，再结合即可得解.【详解】依题意，设，则，

因为抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，故，则为：，即，联立，消去得，即，易得，则，所以，.故答案为：.题型四 中点弦问题例7．（2023·全国·高三对口高考）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为_________．【答案】/【分析】根据题意利用点差法分析运算即可.【详解】设线与椭圆的交点坐标为，则，可得，因为在椭圆上，则，两式相减得，整理得，即所以.故答案为：.例8．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.练习16．（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可.【详解】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点，所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为，设，联立，整理得，所以所以，因为线段中点的横坐标为，所以，所以，所以，故选：B.练习17．（2022秋·高三课时练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由点差法计算即可.【详解】设，M、N中点为D，则，由题意得：因为M、N在椭圆上，则，两式相减整理得，∴.故选：B.练习18．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线与交于两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为，则的取值范围为______．【答案】【分析】先求出双曲线方程，然后联立直线和双曲线方程表示出，然后判断出直线和双曲线一定交于两支后进行计算.【详解】由题知，解得，即双曲线的方程为：.直线的斜率若不存在，则垂直于轴，由于双曲线顶点为，斜率不存在的直线和双曲线有交点，则两个交点横坐标相等且均大于，与点的横坐标为1矛盾；直线的斜率也不会为，否则根据对称性可知，的横坐标为，矛盾.故直线斜率存在且非零.设直线方程为，联立，得到，由.设，由题意，，即，的纵坐标为，即.根据双曲线的范围可知，若直线和双曲线交于同一支，则交点横坐标均大于或小于，与的横坐标为矛盾，故直线和双曲线交于两支.由，得到，显然满足判别式条件：.由，于是故答案为：练习19．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为_________.【答案】【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得.【详解】设，则，两式相减得，即，即，所以，因为是AB垂直平分线，有，所以，即，化简得，故，则.故答案为：练习20．（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为_________．【答案】【分析】求出及其表达式，求出弦的中点坐标和的值，即可求出椭圆的方程.【详解】由题意，在椭圆中，一个焦点为，设椭圆的方程为,∴，设直线与椭圆的交点为,弦中点为∵直线截得弦的中点的横坐标为，∴，，∴即∴.∴，解得：∴椭圆的方程为：，故答案为：.故答案为：.

题型五 求参数范围及最值问题例9．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为左准线上动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦定理表达出，结合不等式即可求解最值.【详解】由题意可知：，左准线方程为，故设，则,当在轴上，此时为0，时当不在轴时，在中，由余弦定理得，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，由于,故最大为，故选：B例10．（2023秋·高三课时练习）已知抛物线上三点A，B，C，且当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据题意分析可得，换元，结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可设：，因为，因为，则，且，则，可得，整理得，令，则，当时，，当且仅当，即时，等号成立，则；当时，，当且仅当，即时，等号成立，则；综上所述：点C的横坐标m的取值范围是.故选：A.练习21．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考期中）已知抛物线C的焦点为F，点A，B在抛物线上，过线段AB的中点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，以AB为直径的圆过点F，则的最大值为________．【答案】/【分析】由题设可得且，再结合基本不等式求的最大值，注意取值条件.【详解】假设抛物线如下图示，由题设：，则，，，即，以AB为直径的圆过F，所以，所以，仅当时等号成立，故的最大值为.故答案为：练习22．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知是平面向量，，若非零向量满足，向量满足，则的轨迹方程为__________；的最小值为__________.【答案】【分析】第一空，建立坐标系，利用向量的坐标表示计算即可；第二空利用动点到直线的距离公式计算求最值即可.【详解】根据题意不妨设，，则，，由可得；而，由题意得，如图所示，设则，问题式即求抛物线上一点到直线距离最小值，由对称性不妨求到直线距离最小值即.即的最小值为.

练习23．（2023秋·重庆·高三校联考期末）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，.若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为__________.【答案】【分析】由题意可得，结合点P在双曲线上，可得，利用双曲线的x的范围可推出，再结合，即得答案.【详解】设双曲线上的点满足，即，即，又，，即，，且，，则，，又，实数b的取值范围是，故答案为：.练习24．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设、是椭圆的左、右焦点，点P是直线上一点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意方程求得，设，利用倾斜角的概念以及两角差的正切公式，基本不等式，正切函数的性质即可求解.【详解】由题意得：，则，所以.因为点P是直线上一点，不妨设,设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，于是，当且仅当时等号成立，因为在上单调递增，所以的最大值是.故选:A.练习25．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，曲线按照伸缩变换后得到曲线方程(1)求曲线的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于相异的两点，且，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）根据伸缩变换的规律可知将代入曲线中，即可得曲线的方程；（2）设出两点坐标为，，再利用即可得出，将代入椭圆方程联立可解得，再由椭圆性质即可求得实数的取值范围为.【详解】（1）由伸缩变换可知；将代入得，即曲线的方程为．（2）如下图所示：

设，，由得，从而，，即，因为点A在椭圆上，故，即，又在椭圆上，即，解得，由椭圆定义知，故，解得，又由题设知，故，所以实数的取值范围是．题型六 定点问题例11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为坐标原点，，，和交点为.(1)求点的轨迹；(2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由.【答案】(1)(2)存在定点坐标为或【分析】（1）利用已知条件表示出点坐标，进而表示出直线，的方程，联立即可得出点轨迹方程.（2）假设存在定点，设点坐标为，，联立方程组，得出，，由整理得出，对恒成立，即可得出结论.【详解】（1）设点，，，即，点坐标为，，即，点坐标为，根据两点坐标可得，直线方程为：，直线方程为：，两式移项相乘得：，整理得，点的轨迹为以为焦点，长轴长为的椭圆，即其方程为.（2）假设存在定点，设点坐标为，，联立方程组消得，直线与椭圆交于两点，即，，，，，，整理得：，，对恒成立，，得，，所以存在定点坐标为或.例12．（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若所在直线l的方程为．(1)求抛物线S的方程；(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线S上两动点，且满足．试说明动直线是否过定点．【答案】(1)(2)过定点【分析】（1）设抛物线的方程为，联立方程组，设，则，和，再设，由重心的性质，求得，代入抛物线方程求得的值，即可求解；（2）当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为，因为，设，得到，联立方程组，结合韦达定理求得，得到直线恒过定点；当动直线的斜率不存在时，由，得到为等腰直角三角形，求得的坐标，进而得出结论.【详解】（1）解：设抛物线的方程为，联立方程组，可得，由，可得或，设，则，所以，设，由的重心为，则，所以，因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）解：当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为，显然，因为，所以，设，所以，所以，联立方程组，整理得，所以，则，所以，因为，所以，所以动直线的方程为，此时动直线恒过定点.当动直线的斜率不存在时，显然轴，因为，所以为等腰直角三角形，由和，得到，此时直线也过定点，综上可得，动直线恒过定点.练习26．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标中，设，，以线段为直径的圆经过原点O．(1)求动点P的轨迹W的方程；(2)过点作直线l与轨迹W交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为，试判断直线是否恒过定点．【答案】(1)(2)直线恒过定点【分析】（1）直接求动点P的轨迹W的方程即可；（2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设出直线l的方程与抛物线方程联立求解即可.【详解】（1）由题意可得，，因为以线段为直径的圆经过原点O．所以,即，所以.即，即动点P的轨迹W的方程为：.（2）如图：

由题意可知直线l的斜率一定存在，故设直线l的方程为，，，则.由联立得，，则或则，.直线的方程为：，所以，所以，所以，所以，即所以，直线恒过定点.练习27．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点M到点的距离等于它到直线l：的距离，结合抛物线的定义得出抛物线E的标准方程；（2）设，由结合抛物线方程得出是方程的两根，设直线AB的方程为，并与抛物线方程联立结合韦达定理得出点P坐标.【详解】（1）因为点M到点的距离比它到直线l：的距离小，所以点M到点的距离等于它到直线l：的距离，则点M的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，则曲线E的方程为.（2）设，由得：，且，得，即，所以，代入抛物线方程，得，整理得，同理可得故是方程的两根，，由韦达定理可得①，由题意，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得，易得，由韦达定理可得②，由①②可得，故在x轴的正半轴上存在一点满足条件.

练习28．（2023·安徽淮南·统考二模）双曲线的离心率为，分别是的左，右顶点，是上异于的一动点，直线分别与轴交于点，请写出所有满足条件的定点的坐标______________.【答案】或【分析】根据离心率可确定双曲线方程和坐标，设，根据直线方程可求得坐标；设，由向量数量积坐标运算和双曲线方程可得，根据等式恒成立可构造方程组求得点坐标.【详解】双曲线的离心率，，即双曲线，，，设，则，，直线，，，，设，则，，，又，，，解得：，定点或.故答案为：或.【点睛】思路点睛：本题考查双曲线中的定点问题的求解，解题的基本思路是根据已知中的等量关系构造出关于所求点的方程，根据方程恒成立，可让变量的系数为零，从而构造方程组求得定点坐标.练习29．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为_____________.【答案】【分析】先根据渐近线的倾斜角算出，然后联立直线和双曲线，结合题目条件和韦达定理找到的关系，从而得到定点.【详解】因为双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为.所以，解得，所以双曲线方程为.设，，联立得，.由韦达定理得，.因为，所以.所以，由题意知，此时.所以直线方程为，恒经过的定点为.故答案为：练习30．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线和分别与直线交于点M，N,问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）设出点P的坐标，利用已知条件列出关系式，化简后即可得出动点P的轨迹方程；（2）先假设存在点P，由面积公式得出关系式，根据角相等消去三角函数得比练习式，整理得出方程式，解方程即得.【详解】（1）因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为.设点P的坐标为，则由直线与的斜率之积等于，得，化简得，故动点P的轨迹方程为.（2）若存在点P使得与的面积相等，设点P的坐标为，则，因为，所以，即.作直线，作于，于，则，所以，同理，所以可得，整理得，解得；因为，所以.故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为.

题型七 定值问题例13．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）椭圆的焦距为为椭圆右焦点，.

(1)求椭圆的方程与离心率；(2)设为原点，为椭圆上一点，的中点为.直线与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点.求证：.【答案】(1)，.(2)证明见解析.【分析】（1）由题知,,求得,再由,即可求椭圆的方程与离心率.（2）设的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标，求得坐标，求得直线的方程，分别取得，点坐标，则，，在和中和都与互余，所以.【详解】（1）椭圆的焦距为，所以，，又，所以，椭圆的方程是，离心率为.（2）由（1）得.设的中点为，.设直线的方程为:，将其代入椭圆方程，整理得，所以，所以，，即，所以直线的斜率是，所以直线的方程是，令得，直线的方程是，令得，由，得直线的斜率是，所以，记垂足为;因为直线的斜率是，所以，记垂足为.在和中，和都与互余，所以.

例14．（安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高二下学期春季联赛数学试题）已知双曲线的标准方程为，其中点为右焦点，过点作垂直于轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，若，.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点作的平行线，在直线上任取一点，连接与双曲线相交于点，求证点到直线的距离是定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离为，列出方程求得，再由，求得，即可求得双曲线的方程；（2）设点，得到直线的方程，设直线的方程为，点，根据，取得，得到直线的方程为，设，根据共线，求得，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】（1）解：由双曲线，可得焦点，其中一条渐近线方程为，则点到渐近线的距离为，解得，又由，可得，解得，故双曲线的标准方程为.（2）解：由双曲线，可得，设点，则直线的方程为，即，由题意，设直线的方程为，由点在直线上，可设点，又由，可得，解得，即直线的方程为，设，由点共线，可得，即，得，即点，则点到直线的距离为.即点到直线的距离为定值.

练习31．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在椭圆：上，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，，若直线，的斜率分别为，，且．(1)求圆的半径；(2)探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）设过原点作圆的切线，利用圆心到直线的距离等于半径得到，利用韦达定理及得到，结合点在椭圆上，即可求出半径；（2）设，，由，可得，再由点在椭圆上得到，，即可得到，从而求出的值.【详解】（1）设直线，的方程分别为，，过原点作圆的切线，则，即，即，所以，即，所以.（2）是定值，且，理由如下：设，，因为，所以，即①，又、在椭圆上，所以，，所以，，代入①可得，化简得，所以，所以.练习32．（2023秋·高三课时练习）如图，已知椭圆的右焦点为，上顶点为，右顶点为．

(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P是椭圆C上异于的一点，且直线PA、PB分别与y轴和x轴交于点，求证：为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据焦点和顶点坐标即可得，代入可得椭圆C的标准方程；（2）设，利用三点共线斜率相等即可求得点得的坐标，进而可表示出的表达式，结合化简可得.【详解】（1）由右焦点，上顶点可得，，所以；即椭圆C的标准方程为；（2）易知，由点P是异于的一点，设，则；设，由三点共线得，即，可得所以；由三点共线得，即，得，所以．故．因为点P在椭圆C上，所以，代入即得为定值．练习33．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解；（2）依题意可设PQ：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证.【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，又，所以.将点的坐标代入C的方程得，解得，所以，所以C的方程为.（2）依题意可设PQ：，由，得,

设，，，则.，，则，而，所以，所以是定值.练习34．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.

(1)当时，求双曲线的标准方程；(2)过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.【答案】(1)(2)是定值，定值为【分析】（1）延长与交于，根据，得到，再设，利用双曲线的定义求解；（2）设，利用双曲线的定义得到两渐近线所在直线方程，设直线方程为，联立求得即可.【详解】（1）解：如图所示：

延长与交于，因为，所以，设，则，即，，故方程为；（2）设，则，，两渐近线所在直线方程为：，设直线方程为，将渐近线两侧平方与直线联立，则可得，则，则，故.练习35．（2023·全国·高三对口高考）已知是抛物线上一点，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线分别交直线于点M，N．(1)求抛物线方程及其焦点坐标；(2)已知O为原点，求证：为定值．【答案】(1)，焦点坐标为(2)证明见解析【分析】（1）由于在抛物线上，代入求解即可；（2）设出直线的方程联立抛物线的方程，表示出点M，N的坐标，由，求证为定值即可.【详解】（1）因为是抛物线上一点，所以，即，所以抛物线方程为：，其焦点坐标为：.（2）证明：如图：

设，，，,设直线l方程为，直线l方程与抛物线方程联立得消去，整理得：，恒成立.则，，又直线的方程为：，即.令，得，则，同理可得，则，.所以.所以，即，为定值.题型八 定直线问题例15．（2023·广西·统考一模）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切．(1)求p的值：(2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．【答案】(1)；(2)证明见解析，定直线方程为.【分析】（1）设直线l1的方程为，再根据直线和圆相切求出的值得解；（2）依题意设，求出切线l2的方程和B点坐标，求出，，即得证.【详解】（1）由题得抛物线的焦点坐标为，设直线l1的方程为，由已知得圆的圆心，半径，因为直线l1与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，解得或（舍去）．所以.（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，所以，所以，设A，），则以A为切点的切线l2的斜率为所以切线l2的方程为．令，即l2交y轴于B点坐标为，所以，∴，∴．设N点坐标为（x，y），则，所以点N在定直线上．

例16．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由【答案】(1)1(2)是在定直线上，定直线【分析】（1）根据题意列出方程组得到，设，，，利用点差法即可求解；（2）根据（1）的结论得出，，设直线l：，，设，，联立直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线与直线的方程得出，进而得证.【详解】（1）由题意得，所以，设，，，则，作差得，又MN的斜率，，所以.（2）∵，∴，，，直线l：，，设，，联立得，所以，所以，设直线AN：，BM：，所以，所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．练习36．（2022·高三课时练习）如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．【答案】(1)4；(2)证明见解析.【分析】（1）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，设点A，B坐标，利用韦达定理计算作答.（2）利用（1）中信息，求出直线MN，CD的方程，并求出交点坐标即可推理作答.【详解】（1）抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：，由消去x并整理得，，设点，，则，，矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，所以．（2）由（1）得，，，，于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：，由消去y并整理得：，而，因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上.所以线MN与直线CD交点在定直线上.【点睛】方法点睛：涉及用过定点的直线l解决问题，若直线l不垂直于x轴，可设其方程为：；若直线l不垂直于y轴，可设其方程为：.练习37．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，(1)求E的标准方程：(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据直线的点斜式方程写出直线方程，与抛物线联立方程，利用弦长公式，求出的值，从而求出抛物线的标准方程；（2）设直线方程为或，与抛物线联立方程，由韦达定理得出，，求出直线方程和直线方程，求出交点的横坐标，然后进行化简，可以证明结论.【详解】（1）当的斜率为时，得方程为，由,消元得，，，；由弦长公式得，即，解得或（舍去），满足，从而的标准方程为.（2）法一：因为l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在设直线的方程为，设，由，消去得，则.设直线的方程为，同理，消去得可得．直线方程为，即，化简得，同理，直线方程为，因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．由消去，因为直线与相交，所以，解得，所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．法二：设直线方程为，由消去得，设，则．设直线的方程为，同理可得．直线方程为，即，化简得，同理，直线方程为，．因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．由消去，因为直线与相交，所以，解得，所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．【点睛】关键点点睛：本题中的证明问题的关键是：设出直线的横截距或者纵截距方程，联立抛物线，结合韦达定理，把目标逐步化简，得出待证明的结论.练习38．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．(1)求Γ的方程；(2)若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．【答案】(1)；(2)详见解析.【分析】（1）由题可知，根据条件列出方程组，进而即得；（2）设直线MN的方程为，联立双曲线方程求得，再由直线和的方程，求得交点的横坐标，即可求解．【详解】（1）由题意得，又为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为，所以，解得，所以双曲线Γ的标准方程为；（2）设直线MN的方程为，由，可得，则，，设，，，，，所以，直线：，：，联立两方程，可得：，解得，当直线与x轴重合时，则，：，：，联立可得，综上，直线ME与NF的交点在定直线上.练习39．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)点M在定直线上【分析】（1）根据左右顶点及点在椭圆上列式求解写书椭圆方程即可；（2）先设直线方程再联立方程组求韦达定理，再求两个直线的交点，确定交点横坐标即得.【详解】（1）设椭圆E的方程为．则，解得，故椭圆E的方程为．（2）依题可设直线l的方程为，，，．联立方程组，整理得，则，直线AP的方程为，直线BQ的方程为，联立方程组，得由，得，得．所以.故点M在定直线上．练习40．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)在定直线上，理由见详解.【分析】（1）由椭圆的标准方程计算即可；（2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线MN与椭圆联立消，设直线AN、BM的方程解出G纵坐标，结合韦达定理化简计算即可.【详解】（1）因为曲线C是椭圆，所以，解得；.（2）是在定直线上，理由如下：当时，此时椭圆，设点与直线l联立得，，且，所以易知，则，两式作商得是定值，故G在定直线上.

题型九 圆锥曲线的切线问题例17．（2023秋·四川凉山·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为且.(1)求抛物线的方程；(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，设切点分别为，，求点到直线的距离的最大值.【答案】(1)(2)最大值为5【分析】（1）根据抛物线的定义和可求方程；（2）联立方程，根据相切可求切线方程，进而得到的方程，利用点到直线的距离公式可求答案.【详解】（1）抛物线的准线方程为：，由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：.（2）记，，则可设直线，由消去并整理得，则由题意得，又得，所以直线的方程为，同理，直线的方程为，若设，则，所以直线的方程为，即，所以点到直线的距离，即，当，即时，；当时，因为则即，所以且；综上，.所以点到直线的距离的最大值为5.例18．（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭