苏教版七年级数学上册学习讲义(附习题答案)

苏教版七年级数学上册学习讲义（附习题答案）第2章有理数2.1正数与负数知识点1正数和负数1.比0大的数是正数，比0小的数是负数.0既不是正数也不是负数.2.“+”读作“正”，如“+2”读作“正2”，正号通常省略不写；“-”读作“负”，如“-2”读作“负2”，负数前面的“-”号不能省略.3.“+”与加号表示方法相同，“-”与减号表示方法相同，但它们表示的意义完全不同，前者表示数的正负，后者表示的是运算符号.4.目前学习的数可分为三类:正数、负数和0，正数都大于0，负数都小于0.例1（2020·武威凉州区校级月考）已知下列各数:-8，2.89，0，35-0.25，123，-314.其中负数有A.3个 B.4个 C.5个 D.6个练习1（2020·洛阳西工区校级月考）以下各数中，正数有；负数有.−1.06、20112012，368 -12，-100，知识点2用正、负数表示具有相反意义的量1.把属性相同，但表示的意义相反的量叫做具有相反意义的量.具有相反意义的量必须具备两个条件:（1）同一属性；（2）意义相反.2.具有相反意义的量是成对出现的，如规定向东行为正，则向西行为负.单独一个量不能称为具有相反意义的量.3.与一个量成相反意义的量不止一个.例如与上升3米成相反意义的量就有下降0.2米，下降1米等很多量.4.具有相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义相反；二是都具有数量.例2（2020·山西定襄县校级月考）下列各对量中，具有相反意义的量的是（）A.则进50斤苹果与库存200斤苹果 B.高于海平面786m与低于海平面230mC.东走9m和北走10m D.飞机上升100m与前进100m练习2（2020·西藏南木林县校级月考）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上8℃，记为8℃，则-2℃表示气温为.2.零下2℃知识点3整数和分数1.正整数、0、负整数统称为整数.正分数、负分数统称为分数.2.有限小数、无限循环小数都可以写成分数的形式，都是分数.3.引入负数后，奇数和偶数的范围也扩大了.奇数包括正奇数和负奇数，偶数包括正偶数、0和负偶数.但质数和合数的范围没有变化，1既不是质数也不是合数，2是最小的质数.负数没有质数、合数之说.4.正数、0统称为非负数；0、负数统称为非正数.5.正整数、0统称为非负整数；0、负整数统称为非正整数.6.数的集合是指把一些具有相同特征的数放在一起组成一个集合.例3（2020·重庆北碚区校级月考）在-2.4，0，-2，2这四个数中，是负整数的是（）A.-2.4 B.-2 C.0 D.2练习3（2020·成都武侯区校级月考）在12，−2，+3.5,0，−0.7,5，−1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.B[提示:在12.-2，+3.5，0，-0.7，5，-13中，负分数有-0.7，-13——题型总结——题型1根据正负数确定范围例1（2020·西安啤林区校级月考）一种零件的长度在图纸上标为20±0.01（单位:mm）表示这种零件的长度应是20mm，加工要求最大不超过_________、最小不小于_________.练习1（2020·畅州章贡区月考）某种零件，标明加工要求是φ（20±0.02）mn（φ表示直径，单位：毫米）经检查，一个零件的直径是19.7mm，该零件1.不合格题型2时差的计算例2（2020·沈阳沈河区校级月考）悉尼、洛杉矶与北京的时差如下表:（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）现在是北京10月8日18时，想要与两地的亲人通话，适合的是_________.（填“悉尼”或“洛杉矶”）练习2（2020·盐城校级期中）纽约与北京的时差为一13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数），若北京时间19：30，则此时纽约的时间是_______.2、6:30题型3探究正负数的规律例3（2020·武汉江岸区校级月考）观察下面一列数:-1，2，-3，4，-5，6，-7，…，将这列数排成如图2-1所示的形式.按照图中描述的规律排下去:（1）第10行从左边数第9个数是多少?（2）从左边数，数2020应排在第几行第几个数?练习3观察下列数：−1，2，−3，4，−5，6，−7，8，−9……（1）请写出这一列数中的第100个数和第2018个数.（2）在前2019个数中，正数和负数分别有多少个？（3）2020和一2020这两个数，哪一个在这一列中？请说明理由.3.解:（1）第100个数是100；第2018个数是2018.（2）在前2019个数中，正数有1009个，负数有1010个.（3）因为奇数均为负数，偶数均为正数，所以-2020不在这一列数中.题型4正数与负数在实际问题中的应用例4（2020·成都武候区校级月考）某股民上周买进甲公司股票1000股，每股20元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位:元）:相当于前一天的收盘价而言.（1）星期三收盘时，每股是多少元?（2）本周内最高价是每股多少元?最低价是每股多少元?（3）该股这五天的平均股价为每股多少元?练习4（2020·长沙开福区校级月考）某自行车厂计划一周生产自行车2100辆，平均每天计划生产300辆，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况.（超过每天计划生产数记为正，不足每天计划生产数记为负）（1）该厂星期四实际生产自行车辆（2）该厂本周实际每天平均生产多少辆自行车？4.解:（1）300+13=313（辆）.300+5=305（辆），星期二生产自行车为300-2=298（辆），星期三生产自行车为300-5=295（辆），星期四生产自行车为300+13=313（辆），星期五生产自行车为300-10=290（辆），星期六生产自行车为300-12=288（辆），星期日生产自行车为300-3=297（辆），本周实际每天平均生产自行车17×（305+298+295+313+290+288+297）=298（辆）.答:该厂本周实际每天平均生产298

——能力培优训练——能力通关1.（2020·西藏南木林县校级月考）在-1，+7.5，0，-23，-0.9，15中，负分数共有（A.1个 B.2个 C.3个 D.4个1.B2.（2020·宣城宣州区校级月考）先向南走5m，再向南走-4m的意义是A.先向南走5m，再向南走4m B.先向南走5m，再向北走-4mC.先向北走-5m，再向南走4m D.先向南走5m，再向北走4m2.D3.（2020·呼和浩特月考）六（1）班数学成绩的平均分是88分，王莉考了95分，记为+7分，刘乐乐考了80分，应记为_____分，李晓梅的成绩记为-5分，她考了_____分.3.-883[提示:选88分为标准，记为0分，超过部分为正，不足部分为负，计算可得.]4.（2020·洛阳润西区校级月考）观察下面一列数，根据规律在横线上填上第7个数:-14，28，-316，432-4.-75.（2020·长沙雨花区校级月考）把下列各数填入相应的大括号里:-3，0.2，3.14，8，0，-2，20，14，-6.5，17%，-182，517负数集: …；正分数集: …；自然数集: …；非正整数集: …；5.解:负数集:|-3，-2，-6.5，-182，…|；正分数集:0.2.3.14，17%.517…；自然数集:18，0，20，14…1；非正整数集:|-3，0，-2，-182巅峰训练6.（2020·龙岩上杭县校级月考）小明同学为参加秋季运动会的百米短跑项目，进行了五次训练，以13秒为标准，比标准慢的记为负数，比标准快的记为正数，统计成绩如下表:（1）这五次训练中最好成绩是多少秒?（2）第一次训练的成绩比第五次训练的成绩慢多少秒?（3）这五次训练的平均成绩是多少秒?6.解:（1）这五次训练中成绩最好的是第五次，为13-0.1=12.9（秒）；第一次训练的成绩比第五次训练的成绩慢0.1+0.2=0.3（秒）.（3）这五次训练的平均成绩是15×（13.13.1+13+13.3+12.9）=13.1（秒）.7.（2020·沈阳沈河区校级月考）下表是今年某水库一周内的水位变化情况（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降），该水库的警戒水位是34m.（上周末的水位正好达到警戒水位）（1）本周星期______水库的水位最高，水位是______m，本周星期_____水库的水位最低，水位是______m；（2）与上周末相比，本周末河流水位上升了还是下降了?变化了多少米?7.（1）二35.03-34.22（2）本周末水位为34.63m，因为34.63m>34m，34.63-34=0.63（m）.答:本周末河流水位是上升了.变化了0.63m.素养提升8.（聊城中考）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）:当北京6月15日23时，悉尼、纽约的时间分别是（）A.6月16日1时；6月15日10时B.6月16日1时；6月14日10时C.6月15日21时；6月15日10时D.6月15日21时；6月16日12时8.A[提示:悉尼的时间是6月15日23时+2小时=6月16日1时，纽约时间是6月15日23时-13小时=6月15日10时.]2.2有理数与无理数知识点1有理数的概念我们把能写成分数形式mn（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数.如:5=51，−4=−41，0=01。即我们学过的整数（正整数、负整数、零）都是有理数。如:0.3=310，−3.11=−311例1（曲阜校级月考）①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数；③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的.以上说法正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4练习1（2020·沈阳朝阳校级月考）在下列数中:−13，11.1111，−111，95.57，0，0.+2004-13.11.1111.95.57.0.+2004.-21.1212212222222，-111

知识点2有理数的分类根据有理数的概念，有理数可以进行如下的分类:1.按整数、分数的关系分类2.按正数、0、负数的关系分类例2（德州市德城区校级月考）①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称:③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零。以上说法正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个练习2下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤−π2不仅是有理数，而且是分数；⑥237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数。A.7个 B.6个 C.5个 D.4个2.B[提示:①没有最小的整数，故错误:②有理数包括正数、0和负数，故错误:③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故错误:④非负数就是正数和0，故错误:（3）-π2是无理数，故错误:⑥237是无限循环小数.所以是有理数.故错误:⑦无限小数包括无限循环小数、无限不循环小数，所以无限小数不都是有理数，故正确:⑧正数中没有最小的数.负数中没有最大的数，故正确.故其中错误的说法有知识点3无理数的概念（难点；掌握）1.无理数的概念无限不循环小数叫做无理数.如小学学过的圆周率π，它是无限不循环小数，不能写成分数形式mn2.目前我们学习过的无理数类型（1）含有π的；（2）小数形式无规律的；（3）小数形式有规律但不循环的.随着知识的增加，我们还会接触其他类型的无理数.如面积为2的正方形的边长就是一个无理数.例3（江阴校级月考）下列各数:0.3333…，0，100，−1.5，π2，−0.121221222中，无理数的个数是（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个练习3（2020·南京鼓楼区期末）在3.14，227，0，A.1 B.2 C.3 D.43.A[提示:只有π为无理数，共1个.]——题型总结——题型1识别有理数和无理数例1把下列各数分别填入相应的大括号内.-5，0.05，-34-1.212212221…，-π2正有理数集合: …；负分数集合: …；非正整数集合: …；无理数集合: …；练习1把下列各数填入相应的大括号内:-3，5，-13，-3.14，-0.4，0，-1.2121121112…，2.5，34，4正数集合: …；整数集合: …；分数集合: …；无理数集合: …；题型2理清两个集合交叉部分的集合问题例2（2020·南京建邺区校级月考）如图2-2所示，两个圈分别表示负数集合和分数集合，请将3，0，12，-313，-5，3.练习2（2020·珠海香洲区校级月考）把下列有理数填入相应的集合内.34，1，…1.5，45，0，12，-8，-7，0.38，-2.2整数集合: …；负数集合: …；分数集合: …；题型3对无理数进行估值例3（2020·厦门集美区期中）一个正方形的面积是7，估计它的边长大小（）A.在2~3之间 B.在3~4之间 C.在4~5之间 D.在5~6之间练习3（2020·兴化校级月考）写出一个比5大的无理数:。3.2π（答案不唯一）——能力培优训练——能力通关1.在下列六个数中:0，π2，-227，0.101001，-10%，5213，分数的个数是（BA.2 B.3 C.4 D.52.（2020·厦门思明区校级月考）对于-3.14，下列说法正确的是（C）A.是负数不是分数 B.是分数不是有理数C.是负数也是分数 D.不是分数是有理数3.（2020·徐州泉山区校级月考）在1120.16166166616666，3.1415926，1000π四个数中无理数有（AA.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.在-13，337，0，-1，0.4，π，2，-3，-6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m-n-k的值为（AA.3 B.2 C.1 D.45.若a是一个无理数，且3<a<4，写出任意一个符合条件的值:___π___.6.（2020·扬州邗江区校级月考）观察下列各数据，按规律在横线上填出下一个适当的数:12，-25，310-417，57.（2020·西安碑林区校级月考）在5，，14，0，-13，0.5，7，-116，102，-178.（六盘水中考）定义:A={b，c，a}，B={c}，AB={a，b，c}，若M={-1}，N={0，1，-1}，则MN={1，0，-1}.9.（2020·龙岩长汀县校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号内:-7，3.5，-3.1415，π，0，1317，0.03，-312，10，-0.23，自然数集合:0、10 …；整数集合: -7.0.10.-42 …；正分数集合: 3.5.1317，0.03 …；非正数集合: -7.-3.1415.0.-312.-0.23.-42 有理数集合:-7，3.5，-3.1415，0，1317，0.03，-312，10，-0.23，-巅峰训练10.观察下列数:-1，12，-13，14，-1（1）请你推测第2019个数是__−1（2）如果这一列数无限排列下去，与哪个数会越来越接近?（2）这一列数无限排列下去，越来越接近0素养提升11.已知有A，B，C三个数的“家族”.A:{-1，3.1，-4，6，2.1}，B:{-4.2，2.1，-1，10，-18C:{2.1，-4.2，8，6}.（1）请把每个“家族”中所含的数填入图2-5中的相应部分.（2）把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上:_______________.（3）有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数?若有，是什么?（1）如图6所示.（2）-1.-4.-4.2.-18（3）有2.12.3数轴知识点1数轴及其画法1.定义规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.2.数轴的定义包含三层含义（1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；（2）数轴有三要素:原点、正方向、单位长度；（3）注意“规定”二字，是说原点的位置、正方向的选取、单位长度的大小是根据实际需要来确定的.3.数轴的画法（1）画一条水平的直线；（2）确定正方向，一般取水平向右为正方向；（3）确定原点，取适当的长度作为单位长度.如图2-6所示.例1（2020·宣城宣州区校级月考）如图2-7所示的是四位同学画的数轴，其中正确的是（D）知识点2数轴上的点与有理数、无理数的关系1.有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；如:在如图2-8所示的数轴上表示有理数2，无理数π.2.反之，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数，即数轴上的点与有理数或无理数建立一一对应关系.例2把下列六个数:-2.5，312，0，+5，-4，-1（1）分别在如图2-9所示的数轴上表示出来；（2）填入相应的大括号内整数集： …；负分数集： …；练习2公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一名成员希伯索斯发现了无理数.这个发现引发了数学史上的第一次数学危机，打破了“万物皆数”的局限认识，迎来了数学的一次飞跃发展.下面关于无理数的说法错误的是（B）A.面积为4的正方形的边长是有理数 B.无限小数是无理数C.无理数可以用数轴上的点来表示 D.半径为1的圆的周长是无理数知识点3比较两个数的大小1.在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.3.涉及多个数比较大小时，一般先将各数在数轴上表示出来，再根据数轴上点的分布特点进行判断.根据数轴上点的分布特点可以看出:（1）没有最大的正数，没有最小的正数；（2）没有最大的负数，没有最小的负数；（3）最小的正整数是1，最大的负整数是-1.例3比较下列各组数的大小.（1）6和0； （2）-23和0；（3）5和-2； （4）-4.2，113，312，-2

——题型总结——题型1数轴上的动点问题例1在数轴上有三个点A，B，C，如图2-11所示.（1）将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是_________；（2）将点C向左平移3个单位得到数m，再向右平移2个单位得到数n，则m，n分别是多少?练习1在数轴上距原点3个单位长度的点表示的数是__±3__，已知P是数轴上表示一4的一点，把P点向左移动3个单位长度后再向右移动1个单位长度，此时P点表示的数是___-6____.题型2在数轴上表示无理数例2（1）如图2-12所示，直径为1个单位长度的圆，圆上的一点由原点沿数轴向左滚动一周（不滑动）到达点A，则A点表示的数是_________；（2）若点B表示-3.14，则B点在A点的_________边（填“左”或“右”）；（3）若此圆从表示1的点沿数轴滚动一周（不滑动）到达C点，写出C点所表示的数.练习2数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动6个单位长度到达点C，若点C表示的数为3，则点A表示的数为（B）A.6 B.0 C.-6 D.-2练习3如图所示，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，线段AB是圆片的直径，将圆片沿数轴滚动，点B第一次到达数轴上点C的位置，点C表示的数是___-3.14或3.14___（π取3.14）题型3确定数轴上覆盖点问题例3把长为2020个单位长度的线段AB放在数轴上，能覆盖多少个整数点?练习4长为2019.5个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖__2020_个整数点.练习5有几滴墨水滴在数轴上，根据图中标出的数值，推算墨迹盖住的整数点有___8___个.5.8[提示:在-8和-3之间的整数有-7，-6，-5，-4，共4个，在4和9之间的整数有5，6，7，8，共4个，4+4=8.]题型4利用数轴解决实际问题例4一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小刚家，继续向东走了4km到达小红家，又向西走了10km到达小英家，最后回到超市.（1）请以超市为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1km，画出数轴，并在数轴上分别表示出小刚家、小红家、小英家的位置.（2）小英家距小刚家有多远?（3）货车一共行驶了多少千米?练习6一条东西走向的商业街上，依次有书店（记为A）、冷饮店（记为B）、鞋店（记为C），冷饮店位于鞋店西边50m处，鞋店位于书店东边60m处，王平先去书店，然后沿着这条街向东走了30m至D处，接着向西走50m到达E处.（1）以A为原点、向东为正方向画出数轴，在数轴上表示出上述A，B，C，D，E的位置；（2）若在这条街上建一家超市，使超市与鞋店C分居E点两侧，且到E点的距离相等，则超市在冷饮店的什么方向?距离多远?6.解:（1）数轴如图8所示，图中的A，B，C，D，E即为所作.（2）鞋店C到E的距离为60+20=80（m），超市在数轴上表示的数为-100，超市到冷饮店的距离为10+100=110（m）.答:超市在冷饮店的西边110m的地方.

——能力培优训练——能力通关1.（2019·吉林中考）如图2-16所示，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（D）A.3 B.2 C.1 D.-12.（2020·长沙雨花区校级月考）在数轴上，到表示-2的点的距离是6个单位长度的点表示的数是（C）A.4 B.-8 C.4或-8 D.93.（2020·高邮月考）学校、小明家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在小明家南边20m，书店在小明家北边100m.小明同学从家里出发，向北走了50m，接着又向南走了70m，此时小明的位置是（C）A.家 B.书店 C.学校 D.不在上述地方4.（2020·南宁江南区校级月考）数轴上表示数-3和表示数7的两点之间的距离是___10___.5.（2020·孝义期中）如图2-17所示，半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆上的一点由原点达到O′，点O′表示的数是__-2π__.6.（2020·重庆九龙坡区校级月考）数轴上A，B两点对应的数分别为-2和m，且线段AB=3，则m=_-5或1_.7.（2020·赤峰第牛特旗校级期中）如图2-18所示，小明写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，请你确定墨迹盖住部分的整数共有___3__个，分别是__0.1.2__.8.如图2-19所示，点A表示的数是-4，单位长度是1.（1）在数轴上表示出原点O；（2）指出点B所表示的数；3（3）在数轴上找一点C，它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示什么数?（3）①当点C在点B的左侧时，3-2=1.②当点C在点B的右侧时，3+2=5，因此，点C表示的数为1或5.巅峰训练9.数轴上到原点的距离小于312个单位长度的点中，表示整数的点共有_79.7[提示:画出数轴如图10所示.从数轴上可以看到表示整数的点有:-3.-2，-1.0.1.2，3，共7个.]10.A，B为数轴上的两点，A点对应的数为-10，B点对应的数为90.（1）请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数；（2）当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过多长时间2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度?10.解:（1）借助数轴可知与A、B两点距离相等的M点对应的数为40.（2）相遇前:（100-35）÷（2+3）=13（秒）.相遇后:（35+100）÷（2+3）=27（秒），则经过13秒或27秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度.素养提升11.如图2-20所示，在纸面上有一个数轴，折叠纸面.（1）若1表示的点与-1表示的点重合，则-3表示的点与__3_表示的点重合；（2）若-1表示的点与4表示的点重合，那么8表示的点与__-5_表示的点重合.12.一个机器人从数轴上的原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数.如x1表示第1秒时机器人在数轴上的位置所对应的数.以下结论，①x3=3；②x4=4；③x205>x204；④x2022<x2023。其中，正确的有__①④_（填序号）.2.4绝对值与相反数知识点1绝对值1.绝对值的概念:数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.2.绝对值的表示方法:通常我们将数a的绝对值记为|a|.如图2-21所示，点A到原点的距离为3，即点A表示的数-3的绝对值为3，记作|-3|=3；同理点B表示的数2的绝对值为2，即|2|=2.3.绝对值是运算，这种运算是求数轴上的点到原点的距离.4.绝对值是“距离”，表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值越大；反之，距离原点越近，这个数的绝对值越小.例1在数轴上画出表示下列各数的点，并写出它们的绝对值.-3，2，-92，4，-0.5，5练习1（2020·长沙开福区校级月考）满足|x|=2的数x有（A）A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个练习2（2019·大连中考）-2的绝对值是（B）A.2 B.12 C.−12 知识点2相反数1.相反数的概念符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0.例如2与-2互为相反数，其中2是-2的相反数，-2是2的相反数，π的相反数是-π.2.相反数的表示方法表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“-”号.如-2的相反数可以表示为-(-2)，而我们知道-2的相反数是2，所以-(-2)=2.一般地，a的相反数是-a，-a的相反数是a，即-(-a)=a.3.任何数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.4.若a与b互为相反数，则a+b=0（或a=-b）；反之，若a+b=0（或a=-b），则a与b互为相反数.例2（1）（2019·常州中考）-3的相反数是（）A.13 B.-13 C.3 D（2）在如图2-23所示的数轴上，若A，B两点到原点的距离相等，则点B所表示的数是（）A.-3 B.-2 C.13 D.知识点3化简一个含多重符号的数根据相反数的意义，我们可以化简一个含多重符号的数.把一个含多重符号的数化成单一符号，化简的结果是正还是负，由该数前面的“-”号决定，与“+”号无关.例3下列各数中，互为相反数的是（）A.+(-2)和-(+2) B.-(-0.5)和+(+0.5)C.-(-23)和+(-23) D.-(-9)和-[+(-9练习3（2020·扬州江都区期末）-2的相反数是（）A.-2 B.2 C.12 D.-3.B[提示:因为-2+2=0，所以-2的相反数是2.]练习4化简下列各数的符号.（1）-(+4)； （2）-(-7.1)；（3）-[+(-5)]； （4）-[-(-8)].知识点4绝对值的性质1.绝对值的性质:（1）正数的绝对值是它本身；（2）负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0.2.求一个数的绝对值，首先要分清这个数是正数、负数、还是0，然后才能正确地写出它的绝对值.用式子表示:当a>0时，|a=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a.3.根据绝对值的概念和性质可以发现，任何一个数的绝对值都是正数或0，即对于任意数a，总有同≥0，这个特征叫做绝对值的非负性.例4求下列各数的绝对值:32，-32，-2.5，-(-3)，知识点5会用绝对值比较两个负数的大根据数轴上表示两个正数的点都在原点的右边，并且表示绝对值较大的正数的点在另一个点的右边；所以两个正数，绝对值大的数大；2.比较两个负数大小根据数轴上表示两个负数的点都在原点的左边，并且表示绝对值较大的负数的点在另一个点的左边.所以两个负数，绝对值大的数小.步骤:（1）求出这两个数的绝对值；（2）比较两个绝对值的大小；（3）根据“绝对值大的反而小”作出判断.例5比较下列两组数的大小.（1）-534与-（-523）； （2）-67和练习5求下列各数的绝对值：-12，3，-(-7)，|-9.6|.5.解:|-12|=12.3|=3.|-（-7）|=7，|-9.6|=9.6.练习6（2020·南通海安期末）比较大小:-12______23（填“>”“<”或“6、<

——题型总结——题型1绝对值的计算例1计算.（1）|-8|+|-4|； （2）-（-3.5）-|-12（3）-313÷|-114×|-112； （4）|-5|+|-10|÷练习1计算.（1）|-10|+|-5|；=15. （2）|-6|÷|-3|；=2.（3）|-6.5|-|-5.5|；=1. （4）|-5|+|-10|-|-9|；=6.（5）|-3×|-6|-|-7×|+2|.=4.例2若1-m|+|n-2|=0，则m+n的值为_________.练习2如果a是有理数，那么|a|+2019的最小值是_________.2.2019[提示:因为|a|≥0，所以|a|+2019≥2019，所以|a|+题型3数形结合比较大小例3已知a>0，b<0，且|b|<a，试比较a，b，-a，-b的大小.

练习3（2020·无锡期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简|a+b|的结果正确的是（）A.a+b B.a-b C.-a+b D.-a-b3.D[提示:H据题意可知a+b<0.∴|a+b|=-（a+b）=-a-b.]题型4利用绝对值解决实际问题例4某超市出售食盐时以每袋500克为标准分袋.现抽取5袋进行检测，质量超过500克的记为正数，不足500克的记为负数，结果如下表所示:（1）把这5袋食盐的实际质量填在表内；（2）这5袋食盐的质量最接近标准质量的是_________；（3）这5袋食盐的总质量是多少克?练习4已知a>0，b<0，且|a|<|b|，试比较a，-a，b，-b的大小.4.解:由数轴，得-b>a>-a>b.例5已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b.当|a|=1，|b|=3，求A，B两点之间的距离.练习5建设银行职员小张在办理业务时，约定存入为正，取出为负，某天，他先后办理了七笔业务:+2000元，-800元，+400元，-800元，+1400元，-1600元，-200元.（1）若他早上领取备用金4000元，则下班时应交回银行元.（2）在这七笔业务中，小张在第笔业务办理后，手中的现金最多；第笔业务办理后，手中的现金最少。（3）若每办一笔业务，银行发给业务员业务量的0.1%作为奖励，则小张这天应得奖金多少元？（1）4400（2）五、七（3）解:|+2000|+|-800|+|+400|+|-800|+|+1400|+|-1600|+|-200}=7200（元）.这天小张应得奖金为7200×0.1=7.2（元）.

——能力培优训练——能力通关1（2019·辽阳中考）-8的绝对值是（A）A.8 B.18 C.-8 D.-2.下列说法正确的是（C）A.+（-3）的相反数是-3 B.-（+6）的相反数是-6C.整数的相反数一定是整数 D.0没有相反数3.下列各数中，一定互为相反数的是（C）A.-(-4)和|-4| B.|-2|和|+2|C.-(-3）和-|-3| D.|m|和|-m|4.绝对值大于1而小于4的整数有（C）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个5.（2020·沈阳皇姑区校级月考）若|a-1|+|b-2|=0，则2a+b=___4__.6.（2020·成都金堂县校级月考）写出下列各数的相反数，并把所有的数（包括相反数）在数轴上表示出来.4，-12，-（-23），+（-4.5），0，-（7.化简下列各数.（1）+（-123）； （2）-（+3.69）； （3）-[-（+4.98-123 -3.69 4.98（4）+[-（+58.6）]； （5）-|+9.5]； （6）-|-62|；-58.6 -9.5 -62（7）-（+412）； （8）-（-|-9-412 巅峰训练8.对于有理数a，b，有以下四个判断:①若|a|=b，则a=b；②若|a|>b，则|a|>|b|；③若a=−b，则|a|=|b|；④若|a|<|b|，则a<b.其中正确的个数是（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个8.D9.如图2-26所示，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题:（1）如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少?（2）如果点D，B表示的数互为相反数，那么点C，D表示的数是多少?9.解:（1）点C表示的数是-1.（2）点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5.素养提升10.用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而-|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以-|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题.（1）|a|+1有最_____值____；（2）5-|a|有最_____值_____；（3）当a的值为_____时，|a-1|+2有最_____值.10.（1）小1（2）大5（3）1小2.5有理数的加法与减法知识点1有理数的加法法则1.法则有理数的加法法则可以概括如下:2.步骤有理数加法运算可归结为以下三个步骤:一辨，二定，三求.一辨，看两个加数的符号，是同号还是异号；二定，定符号.同号时同正则取正号，同负则取负号；异号时，则比较绝对值的大小，取绝对值较大的加数的符号.三求，求绝对值，同号则将绝对值相加，异号则求两个绝对值的差.例1（2020·青岛市南区校级月考）下列各式运算正确的是（）A.(-7)+(-7）=0 B.(-13)+(+12)C.0+(-101)=101 D.(-110)+(+110知识点2有理数的加法运算律1.加法交换律:两个数相加，交换加数的位置，和不变.用字母表示为:a+b=b+a.2.加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.用字母表示为:（a+b）+c=a+（b+c）.3.利用加法的交换律和结合律可以简化运算的过程，在实际运用过程中经常用到以下的方法来简化运算:（1）把符号相同的数结合在一起；（2）把分母相同的分数结合在一起；（3）把能凑成整数的数结合在一起，互为相反数的数结合在一起.例2计算.（1）15+(-20)+6+（-8）；（2）5.5+(-347)+(-512)+(-33（3）(+1314)+(-5516)+(+734)+(-1456)+(

知识点3有理数的减法法则1.法则减去一个数，等于加上这个数的相反数.2.有理数减法运算的一般步骤，如图2-27所示.（1）把减号变为加号；（2）用减数的相反数作为加数；（3）利用有理数加法的法则求出结果.例3计算.（1）（-37）-（-47）； （2）0-16； （3）54-3（4）（-210）-87； （5）1.3-（-2.7）.知识点4有理数的加减混合运算1.省略加号的和的形式在将减法转化为加法后，有理数加减混合运算就转化为加法运算了.为了运算的方便，有时候可以将有理数加减看成是省略括号和加号的和的形式，再结合有理数加法运算律计算.例如:2+（-3）+（+5），它表示2，-3，+5的和，即省略括号和加号后就变成了2-3+5的形式.2.有理数加减混合运算的步骤（1）运用减法法则将有理数加减混合运算中的减法转化为加法；（2）省略加号和括号；（3）运用加法交换律、加法结合律进行简便运算.3.简便运算（1）进行有理数的加减混合运算时，合理运用加法交换律、加法结合律能简化运算过程.（2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同加数前面的符号一起交换:运用加法结合律时，把同号的加数结合、同分母的加数结合、便干通分的加数结合、能凑成整数的加数结合、互为相反数的加数结合，都可以使运算简便.例4（2020·西安啤林区校级月考）计算下列各题.（1）6+（-14）-（-39）； （2）-7-（-11）+（-9）-（+2）.练习4计算:（1）|−3.2|+|0.5|−|1+215原式=3.2+0.5-1-2.2=0.5（2）0（2）原式=0-2+1+4+5=8.（3）(−（3）原式=-（479+229）+（316-61（4）（-3.125）+（+4.75）+（−978）+（+514）+(4（4）原式=-（3.125+978）+（4.75+514）-423=-13+10-42

——题型总结——题型1有理数加法运算技巧例1（2020·连云港灌南县校级月考）阅读下面文字:对于（-556）+（-923）+1734可以如下计算:原式=[（-5）+（-56）]+[（-9）+（-23）+(17+34) =[（-5）+（-9）+17+（-3）]+[（-56）+（-23）+34=0+（-114）=-1上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗?伤照上面的方法，请你计算:（-112）+（-200056）+400034+（练习1（2020·沈阳皇姑区校级月考）求|110-111|+|111-112|+…+|11.解:因为110-111>0.111-112>0…149-150>0，所以原式=110-111+111-112+112-113+…-练习2（2020•黄冈麻城市校级期中）计算1+（-2）+（+3）+（-4）+（+5）+（-6）+…+（+99）+（-100）+（+101）的结果是()A.0 B.-1 C.-50 D.512.D[提示:原式=[1+（-2）]+[（+3）+（-4）]+…+[（+99）+（-100）]+（+101）=-50+101=51.]

题型2有理数运算中的分类讨论例2（2020·南京崇川区校级月考）已知|m|=3，|n|=2，|m+n|=-（m+n），则n-m等于（）A.5或1 B.5或-1 C.-5或1 D.-5或-1练习3（2020·德州德城区校级月考）若a，b，c是有理数，|a|=3，|b|=10，|c|=8，且a，b同号，b，c异号，求a−b−（−c）的值.3.解:因为|a|=3，|b|=10，|c|=8.所以a=±3.b=±10，c=±8，因为a，b同号，b，c异号，所以a=3.b=10，c=-8或a=-3.b=-10，c=8，①当a=3，b=10，c=-8时，a-b-（一c）=a-b+c=-15；②当a=-3，b=-10，c=8时，a-b-（-c）=a-b+c=15.综上，a-b-（-c）的值是15或-15.题型3计算数轴上两点之间的距离例3求数轴上两点间距离的方法:计算这两点表示的数的差的绝对值即为这两点间的距离.例如:M点表示的数为−8，N点表示的数是−2，则M，N两点间的距离为|−8−（−2）|=|−8+2|=|−（8−2）|=|−6|=6.（1）已知数轴上有A，B，C，D四点，表示的有理数依次为1，3，−4，−7.类比上述方法计算以下各点之间的距离:①A，B两点；②B，C两点；③C，D两点.（2）数轴上表示x和-3的两点之间的距离为_________.（3）x+1表示的是哪两个点之间的距离?练习4|4−1|表示4与1差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4+1|可以看成|4−（−1）|，表示4与一1的差的绝对值，也可以理解为4与-1两数在数轴上所对应的两点间的距离.（1）|4−（−1）|=；（2）|5+2|=；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|=5，则x=；（4）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x−2|=5，这样的整数是；4.（1）5（2）7（3）2或-8（4）-3，-2，-1.0，1，2题型4有理数加法的实际应用例4（2020·泰州海陵区校级月考）某自行车厂7天计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因，无法按计划生产，下表是这7天的生产情况（超产为正，减产为负，单位:辆）:（1）根据记录可知前2天共生产自行车_________辆；（2）自行车产量最多的一天比产量最少的一天多生产_________辆；（3）该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车，厂方付给工人工资60元，超额完成计划任务的，每超产一辆奖励15元，没有完成计划任务的，每减产一辆扣15元，则该厂工人这7天的工资总额是多少?练习5（2020·扬州高邮市月考）粮库三天内发生粮食进出库的吨数如下：+26，-32，-15，+34，-38，-20.（其中“+”表示进岸，“−”表示出库）（1）经过这三天，库里的粮食增多（或减少）了多少？（2）经过这三天，仓库管理员结算发现库里还存粮480吨，那么三天前库里存粮多少吨？（3）如果进出的装卸费都是莓吨5元，那么这三天要付多少装御费？5.解:（1）26+（-32）+（-15）+34+（-38）+（-20）=-45（吨）.答:库里的粮食减少了45吨.（2）480-（-45）=525（吨）.答:3天前库里存粮525吨.（3）（26+32+15+34+38+20）×5=825（元）.答:3天要付装卸费825元.题型5有理数加法的探究问题例5（1）比较大小.①|-2|+|3||-2+3|；②|4|+|3||4+3|③|-12|+|-13||-12+（④|-5|+|0||-5+0|.（2）通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出|+||||||||a+b|的大小关系，并说明a，b满足什么关系时|a|+|b|=|a+b|成立.练习6有依次排列的3个数：3，9，8，对住意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为第一次操作；第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，一1，9，8；继续操作下去。（1）第一次操作后，增加的所有新数之和是多少？（2）第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少？（3）猜想：第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少？

6.解:（1）第一次操作后增加的新数是6.-1.则6+（-1）=5.（2）第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和为3+3+（-10）+9=5.（3）猜想:第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和为5.——能力培优训练——能力通关1.（2019·成都中考）比-3大5的数是（）A.-15 B.-8 C.2 D.81.C2.（2020·诸暨市校级月考）把五个数填入如图2-28所示的方框中，使横、竖三个数的和相等，其中错误的是（） 图2-282.B3.（2020·北京海淀区月考）若a·b<0，且a+b<0，则下列结论正确的（）A.a>0，b>0B.a<0，b<0C.a，b异号，且正数的绝对值较大D.a，b异号，且负数的绝对值较大3.D4.（2020·西安碑林区校级月考）若|a|=5，|b|=19，且|a+b|=-（a+b），则a-b的值为（）A.24 B.14 C.24或14 D.以上都不对4.C[提示:因为|a|=5.|b|=19.所以a=±5、b=±19.又因为|a+b=-（a+b），所以a=±5.b=-19，当a=5.b=-19时，a-b=5+19=24.当a=-5.b=-19时.a-b=14.综上所述，a-b的值为24或14.]5.绝对值不大于4.5的所有整数的和为_________.5.0[提示:绝对值不大于4.5的所有整数有:-4.-3、-2.-1.0、1.2.3.4.所以绝对值不大于4.5的所有整数的和为（-4）+（-3）+（-2）+（-1）+0+1+2+3+4=0.]6.（2019·绥化中考）某年一月份，哈尔滨市的平均气温约为-20℃，绥化市的平均气温约为-23℃，则两地的温差为_________℃.6.3[提示:-20-（-23）=-20+23=3（℃）.]7.（2020·泰州兴化市校级月考）已知|a|=2，|b|=3，|c|=4，且a>0，b>0，c<0，则a+b+c=_________.7.1[提示:因为|a|=2.|b|=3.|d=4.且a>0.b>0.c<0，所以a=2、b=3.c=-4.所以a+b+c=2+3+（-4）=1.]8.（2020·泰州泰兴市校级月考）计算.（1）(-412)-|325-[(-2.37)+2.57]|； （3）16-12-=-7.7 =-1（2）-|-314|-[(-4.4)-8.5]+|314-4.6=11（4）(-337）+12.5+1647-(-2.=281（5）0.75+0.125+（-234）-（-1257）+（-4=65巅峰训练9.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题:（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是_________；表示-3和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.（2）如果|x+1|=3，那么x=_________；（3）若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a，b在数轴上对应的点分别是点A、点B，则A，B两点间的最大距离是_________，最小距离是_________.（4）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|=_________.9.（1）35[提示:数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；表示-3和2的两点之间的距离是2-（-3）=5.]（2）2或-4[提示:|x+1|=3，x+1=3或x+1=-3，x=2或x=-4.]（3）82[提示:因为|a-3|=2，|b+2|=1.所以a=5或1，b=-1或b=-3，当a=5，b=-3时，A，B两点间的距离最大，是8，当a=1，b=-1时，A，B两点间的距离最小，是2，则A，B两点间的最大距离是8，最小距离是2.]（4）6[提示:若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，|a+4|+|a-2|=（a+4）+（2-a）=6.]素养提升10.（2020·成都青羊区月考）计算1+216+3112+4120+5130+6110.2838[提示:1+216+3112+4120+5130+6142+7156=（1+2+3+4+5+6+7）+（16+112+120+130+142+156）=28+（12-13+13-14+14-15+15-2.6有理数的乘法与除法知识点1有理数的乘法1.两数相乘，同膨正，屏号得负，并把绝对值相乘，0与任何数相乘都得0.2.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正.几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.3.第一个因数有括号时，括号可以省略，第二个因数的括号不能省略.例如一3与-4相乘时，可以写成（−3）×（−4），也可写成−3×（−4），不能写成−3×−4.【特别提醒】（1）两个有理数相乘，当因数中有带分数时，应先把带分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小数时，可根据两个数的特点，把分数统一化为小数或把小数统一化为分数再相乘.（2）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与一1相乘都等于它的相反数.（3）有理数乘法法则的逆用：①若ab>0，则a，b同号，即a>0且6>0或a<0且b<0；②若ab<0，则a，b异号，即a>0且b<0或Q<0且6>0.例1计算（1）(−6)×(−1) （2）23×(−94)（3）−223×14 （4）(−6)×0 练习1计算.（1）（-6）×（+8）； （3）214×（-134）×（-23）×（=-48 =-3（2）-28825×0； （4）-313×（-0.12）×（-214）×3=0 =-16知识点2有理数的乘法运算律1.交换律:两个数相乘，交换因数的位置，积不变.即a×b=b×a.2.结合律:三个数相乘，先把前两个因数相乘或先把后两个因数相乘，积不变、即（a×b）×（=a×（b×c）.3.分配律:一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.即（a+b）×c=a×c+b×c.[特别提醒]（1）乘法交换律适用于多个有理数相乘，例如a×b×c×d=a×c×d×b.（2）乘法分配律也可以推广到一个不为0的有理数同多个有理数的和相乘，即a（b+c+…+m）=ab+ac+…+am.此外，对于某些算式，逆用乘法分配律能使计算简便.（3）把一个带分数拆分成一个整数与一个真分数的和的形式时，不仅要根据算式的特点合理拆分，还要注意拆分后的结果与原结果相同.例2用简便方法计算.（1）（-8）×9×（-1.25）×（-19）； （2）-392324×（

（3）（23-112-115）×练习2计算.（1）（2020·成都金堂县月考）（-35）×（+6）×（-10）×（-1（1）原式=-35×6×10×14（2）（2020·成都金堂县校级月考）-491516×（-8（2）原式=（-50+116）×（-8）=400-12=39912（3）（23-112-115）×（（3）原式=-12+4-8=-16.知识点3倒数1.定义乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.2.求一个数的倒数的方法（1）一个非0整数的倒数为以这个数为分母，分子为1的分数；（2）如果这个数是带分数，应先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；（3）如果这个数是小数，应先把这个数化为分数，再把分子、分母颠倒位置.[特别提醒]（1）根据有理数乘法法则中“同号得正”可知互为倒数的两个数的符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.（2）倒数等于它本身的数是±1.（3）倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫做另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数.例3（1）（2019·自贡中考）-2019的倒数是（）A.-2019 B.-12019 C.12019 D（2）（2019·南充中考）如果6a=1，那么a的值为（）A.6 B.16 C.-6 D.-知识点4有理数的除法法则1:两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.法则2:除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.有理数乘法、除法互为逆运算，在运算过程中一般先将除法转化为乘法再进行计算.例4计算（1）91÷（-13）； （2）-0.25÷38（3）-127÷（-0.6）； （4）0÷（-1练习4计算.（1）48÷（-6）； （2）（2020·长春南关区月考）-116÷（−11=-8 =1（3）-1.25÷（14）； （4）（2020·赣州章贡区月考）38÷（−=5 =-25知识点5有理数的乘除混合运算1.有理数的乘除混合运算应按从左到右的顺序依次计算.2.有理数的乘除混合运算，一般先将除法转化为乘法，再根据有理数乘法法则计算.[特别提醒]计算有理数乘除混合运算时注意，乘除是同级运算，若乘法在前，则先算乘法，若除法在前，则先算除法，按照题目的顺序进行计算.例5计算.（1）-45×214÷（-412）×（2）（-3）÷134×0.75×|-213练习5计算.（1）（-212）÷（-5）×（-313） （2）-32÷2×12=53 =（3）-32÷（-7）×（+245） （4）3.5÷78÷（=35 =-28

——题型总结——题型1逆用乘法分配律简化运算例1计算2019×34-（-2019）×12+2019×（-题型2实际应用2（2020·济南槐荫区期中）某次数学单元测试，七年级第一小组共10名同学，小组长把超过班级平均分的部分记为“+”，不足的部分记为“−”，记录如下表:根据表格数据解答下列问题:（1）第一小组同学的平均分比班级平均分高还是低?高或低多少分?（2）若该班这次测试的平均分为80分，求第一小组10名同学的总分.题型3分类讨论例3（2020·昆明模拟）若|a|=3，|b|=5，且a，b异号，则a·b=。练习3已知|x|=3，|y|=2，且xy<0，求x-y的值.3.解:因为|x|=3.|b|=2.所以x=±3，y=±2.因为xy<0，所以x=3.y=-2或x=-3，y=2.当x=3.y=-2时，x-y=3-（-2）=5.当x=-3，y=2时，x-y=-3-2=-5.故x-y的值为5或-5.题型4阅读理解题例4阅读下列材料:计算:124÷（13-14解法1:原式=124÷13-124÷14+124÷112=1解法2:原式=124÷（415-312+112）=124÷2解注3:原式的倒数=（13-14+112）÷124=（13-14+112所以原式=1（1）上述得到的结果不同，你认为解法_________是错误的；（2）请你选择合适的解法计算（-142）÷（16-314+2练习4（2020·重庆沙坪坝区校级月考）阅读下列材料:|x|=x，x>00，x=0−x，x<0即当x<0时，x|x|用这个结论可以解决下面问题:（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求a|a（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求a|a|+b（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc<0，求b+c|a|+

——能力培优训练——能力通关1.（2019·宜宾中考）2的倒数是（）A.12 B.-2 C.-12 D1.A2.（2020·西安长安区校级月考）如图2-29所示的是小明同学完成的作业，他做错的题数是（）A.1 B.2 C.3 D.42.C[提示:-23的相反数是23，-1的倒数是-1，绝对值等于它本身的数是非负数、（）-7=-3.括号内的数为4，（-3）÷（-13）=93.下列说法中正确的个数是（）①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④如果两个数的积为0，那么至少有一个因数为0；⑤0是最小的有理数；⑥几个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积为负数.A.5 B.4 C.3 D.23.D[提示:①整数和分数统称为有理数是正确的:②绝对值是它本身的数有正数和0，原来的说法是错误的:③两数之和可能小于等于每个加数，原来的说法是错误的:④如果两个数的积为0，那么至少有一个因数为0是正确的；⑤没有最小的有理数.原来的说法是错误的；⑥几个有理数（非0）相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积为负数.原来的说法是错误的.]4.若a+b>0且ba>0，则下列结论成立的是（A.a>0，b>0 B.a<0，b<0 C.a>0，b<0 D.a<0，b>04.A5.在-3，-4，-1，2，5中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是_____.5.606.计算（-99916）÷9=6.-11116[提示:（-99916）÷9=（-99-916）×19=-11-7.（2020·郑州金水区校级月考）三个有理数a，b，c的积是正数，当x=|a|a+|b|7.3或-1[提示:因为三个有理数a，b，c的积是正数.所以a，b.c中三个都为正数或有两个负数、一个正数，则x=3或-1.]8.（2020·南通海安市校级月考）计算.（1）