考研数学三真题及解析

2006（三）一 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上

= n®¥çn ç-1设矩阵A=æ21ö，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B ç-1

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. D

1

-

-+¢0 +0

（B）

a+

å

收敛

n+1收敛. +=12（Ａ）1)- 1)+1)-（Ｃ）1)+ 1)+1)+ ,)¹ j,)= ,若若若若

12L12L12L12L

æ110ö 得C，记Pç010 ç001 （Ａ）C=P-（Ｃ）C=PT

P{X-

<

s1> 三、解答题：15－2394解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15（ 1+

（16（计算二重积分

dd，（17（（18（当L与直线y=所围成平面图形的面积为时，确定a的值（19（求幂级数

的收敛域及和函数().（20（ （21（ 3 （22（ï1 ï0,X2F,求YYCæ1Fç-,4 （23（

ìq,0<x<ï0

12二 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上

=n®¥çn

çn÷ n®¥èn

çn

çn

=e0=1n®¥çn 【分析

【分析

【详解】方法一：因为

=4

=-2所以

=

2，故ç-1设矩阵A=æ21ö，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B2 ç-1 【详解 由题设，

1BA-E=4，而A-E =2，所以B=2-1 1【详解 ì1,

ç0 【评注 1-

【详解edx=0d=edx=0- -¥ +¥x2-

e

-=-2e-x+¥+ e-xdx=-2e-x

=2 所以 每小题给出的四个选项中，只有一项符D[

0<Dy<dy.dy<Dy<0.【分析【详解 当Dx0

1

-

-+¢0 +0 【分析】从

【详解】由

1

=

-

=

（B）

å

收敛

an+an+1收敛. Ｄ]【分析 可以通过举反例及级数的性质来判定

a+【详解 由åa收敛知å 收敛，所以级数

（Ａ（Ｂ；

，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）+=1（Ａ）1)- 1)+1)-（Ｃ）1)+ 1)+1)+

【分析1)-C1)-1)+1)+1)-【评注,)¹ j,)= Ｄ ,)=【详解 )=00 ï

，即ï

0 î 0 îyî 0

í

)¹ j

,若若若若

12L12L12L12L

【分析【详解】记B

12L

)=æ110ö 得C，记Pç010 ç001 （Ａ）C=P- （Ｃ）C=PT ［Ｂ【分析【详解æ110ö æ1-10öæ110öæ1-10öB=ç01 C=Bç010÷=ç010÷Aç010÷， ÷ ÷ ø ø ç001 ç001÷ç00 ø ø æ1-10ö 而P-1ç010÷，则有CPAP-1.故应选（Ｂ）.ç00

s1>

【分析【详解

1 ìY- 1X-Pí <sý>Pí <sýX- 2则2Fæ1ö12Fæ1ö1，即Fæ1öFæ1ç

ç 又Fx1>1，即ss 故选

三、解答题：15－2394解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15（ 1+

问需利用第(Ⅰ)问的结果，含¥¥ ç y【详解

y®¥ç1+ y ÷=limç1 ÷=1

ç+ ç

÷=

（通分

=

=

1+

-1+=

1+=

（16（计算二重积分

dd，【分析【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x的一次函xy”积分较容易，所以òdd=ò

dx=-

2

y2dy= （17（

3 【分析则又（（18（当Ly所围成平面图形的面积为时，确定a

0 0 =a 故a2（19（求幂级数

的收敛域及和函数().【详解】记

)=

=

21

1

1

(-1)

1+

1= 1=

1(2 01+

ln1+x，10)=

1)=

)=)= 处连续，所以)在x1)=（20（ 【分析1+ 2+A

3+ 4+

当a10æ-ç-ç-ç 3-6÷ ---（21（

求正交矩阵Q和对角矩阵L,使得QTAQL 3求及ç-÷，其中E为3阶单位矩阵.è ø【分析】A3A的一个特征值和对应的Ax0A0 3çA-E÷ 【详解】(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以æ1öæ3ö ç÷ç çAç1÷=ç÷ç ç ç÷ç èøè è向量.对应l3a，其中k为不为零的常数.

æ-1æ0 æ-

ç2b=

21

ç÷-3ç÷

6ç2÷=ç0

ç1 ç-1÷ç1è èøç

è2æ1 æ-1

æ1ç3 6

2 2h 2

=

=

0

ç3÷ ÷

ç1ç3 çç3

hh ú=L 0û （Ⅲ）

úL 0ûæ - -1

122

æ11

0

֍-

-1÷=ç11

6÷

ç11ç

1÷

3 é 3ö 3 2 ë 2ø 2 æ ö

çç çè

æ3

־3=

÷- ÷ú= ç

÷=ç÷ ÷

è2

֏2

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2 32

æ3

æ3

øû

çèø则çA-E÷=Qç÷EQT=ç÷ 2 è2 è2（22（ï1 ï0,X2F,求YYCæ1​

Fç-,4 【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或 当0£y1

y<X<y=y

1dx+òy1dx=3

<

-1

ì3,0<y

0

0

dx+òdx=-1 0 0

-1

0 -1

Cov(X,Y7152846æ1