对面积的曲面积分

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一、概念的引入实例

所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.类似求平面薄板质量的思想,采用可得

“大化小,常代变,近似和,求极限”

的方法,其中,

表示n

小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).

二、对面积的曲面积分的概念与性质1.定义注意：

1.若曲面是闭曲面，记为

2.被积函数在曲面上是一个二元函数；

3.曲面的面积：•线性性质.2.对面积的曲面积分的性质则对面积的曲面积分存在.在光滑曲面

上连续,•积分的存在性.

•对积分域的可加性.则有若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面•对称性.见BOOKP454三、对面积的曲面积分的计算法则按照曲面的不同情况分为以下三种：注意：为什么要求投影必须无重影呢？则则例1解例2.

计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:例3.

计算其中

是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:

设上的部分,则与

原式=分别表示

在平面解概括为：投：将积分曲面投影到适当的坐标面上(如xoy面)

（要求无重影）一投、二代、三换

对面积的曲面积分计算法小结代：将曲面的方程表示为二元显函数，如然后代入被积函数，将其化成二元函数换：将曲面的微元换成投影面上的面积微元形式，如解依对称性知：练习：解（左右两片投影相同）例6.

已知曲面壳求此曲面壳在平面z＝1以上部分

的的面密度质量M.

解:

在xoy

面上的投影为

故解:例8.计算其中

是球面利用对称性可知解:

显然球心为半径为利用重心公式内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)1.

设一卦限中的部分,则有().(2000考研)思考

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