2019-2020学年高中数学-第二章-平面向量练习新人教A版必修4

2019-2020学年高中数学第二章平面向量练习新人教A版必修4ABABCEFDO 例1．如图，设O是边长为1的正六边形ABCDEF的中心．(1)求|eq\o(AC,\s\up6(→))|与|eq\o(AD,\s\up6(→))|的大小；(2)写出图中与向量eq\o(OA,\s\up6(→))相等的向量.变式一：图中与向量eq\o(AB,\s\up6(→))长度相等的向量有多少个？变式二：图中与eq\o(OB,\s\up6(→))长度相等、方向相反的向量有哪有个？变式三：与向量eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量有几个？ 例2．下列命题正确的是()A.eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))共线，eq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(c,\s\up6(→))共线，则eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(c,\s\up6(→))也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))不共线，则eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【课堂练习】1．边长为eq\f(eq\r(3),3)的正△ABC,D为BC边的中点，求|eq\o(AD,\s\up6(→))|的值．2．判断正误：(1)所有的单位向量都相等．(2)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量．(3)方向北偏西30的向量与南偏东的向量30的向量是共线向量．(4)直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量．

§2.2平面向量的线性运算(一)ABDCABDC例1．平行四边形中，eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(b,\s\up6(→))，

用eq\o(a,\s\up6(→))、eq\o(b,\s\up6(→))表示向量eq\o(CA,\s\up6(→))、eq\o(DB,\s\up6(→))．变式一：当四边形满足什么条件时，|eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))|=|eq\o(a,\s\up6(→))eq\o(b,\s\up6(→))|变式二：eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))eq\o(b,\s\up6(→))可能是相等向量吗？例2．(1)在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则eq\o(AD,\s\up5(→))＋eq\o(AF,\s\up5(→))＝(D) (A)eq\o(AB,\s\up5(→)) (B)eq\o(AC,\s\up5(→)) (C)eq\o(BC,\s\up5(→)) (D)eq\o(AE,\s\up5(→)) (2)在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up5(→))＋eq\o(BC,\s\up5(→))＋eq\o(CD,\s\up5(→))等于(D) (A)eq\o(AD,\s\up6(→)) (B)eq\o(DA,\s\up5(→)) (C)eq\o(AC,\s\up5(→)) (D)eq\o(CD,\s\up5(→))【课堂练习】1．eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))满足什么条件时，(1)|eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))|=|eq\o(a,\s\up6(→))|+|eq\o(b,\s\up6(→))|．；(2)|eq\o(a,\s\up6(→))eq\o(b,\s\up6(→))|=|eq\o(a,\s\up6(→))|+|eq\o(b,\s\up6(→))|．2．下列各式中： ①eq\o(AB,\s\up5(→))＋eq\o(BC,\s\up5(→))＋eq\o(CA,\s\up5(→))；②eq\o(AB,\s\up5(→))＋eq\o(MB,\s\up5(→))＋eq\o(BO,\s\up5(→))＋eq\o(OM,\s\up5(→))； ③eq\o(OA,\s\up5(→))＋eq\o(OC,\s\up5(→))＋eq\o(BO,\s\up5(→))＋eq\o(CO,\s\up5(→))；④eq\o(AB,\s\up5(→))－eq\o(AC,\s\up5(→))＋eq\o(BD,\s\up5(→))－eq\o(CD,\s\up5(→))． 其中结果为eq\o(0,\s\up5(→))的个数是() (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

§2.2平面向量的线性运算(二)【典型例题】例1．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E,AB=eq\o(a,\s\up6(→))，AD=eq\o(b,\s\up6(→))．(1)将eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))表示；(2)O是任意一点，求证：+++=4例2．已知O为ABC内的一点，若O为ΔABC的重心,则eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(OC,\s\up6(→))=.反之成立吗？【课堂练习】1．若△ABC中，∠CAB=eq\f(π,3)，则eq\f(eq\o(AB,\s\up6(→)),|eq\o(AB,\s\up6(→))|)+eq\f(eq\o(AC,\s\up6(→)),|eq\o(AC,\s\up6(→))|)=_______．2．平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(b,\s\up6(→)),M为AB的中点，N为靠近B的三等分点，判断M、N、C三点的位置关系，并进行证明．§2.3.1平面向量基本定理及坐标表示(一)【典型例题】例1．已知eq\o(a,\s\up6(→))=2eq\o(e1,\s\up6(→))－3eq\o(e2,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))=2eq\o(e1,\s\up6(→))+3eq\o(e2,\s\up6(→))，其中eq\o(e1,\s\up6(→))，eq\o(e2,\s\up6(→))不共线，向量eq\o(c,\s\up6(→))=2eq\o(e1,\s\up6(→))－9eq\o(e2,\s\up6(→))，问是否存在这样的实数与eq\o(c,\s\up6(→))共线.例2．(1)已知A、B、C三点共线,O是平面内任意一点,且有eq\o(OC,\s\up6(→))=λeq\o(OA,\s\up6(→))+μeq\o(OB,\s\up6(→)),则λ和μ满足的关系式为(2)设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且eq\o(OP,\s\up6(→))=teq\o(OB,\s\up6(→))+(1-t)eq\o(OA,\s\up6(→)),试判定A、B、P三点是否共线.【课堂练习】1．已知向量eq\o(a,\s\up6(→))=eq\o(e1,\s\up6(→))－2eq\o(e2,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))=2eq\o(e1,\s\up6(→))+eq\o(e2,\s\up6(→))，其中eq\o(e1,\s\up6(→))、eq\o(e2,\s\up6(→))不共线，则eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(c,\s\up6(→))=6eq\o(e1,\s\up6(→))－2eq\o(e2,\s\up6(→))的关系是()A.不共线B.共线C.相等D.无法确定2．已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|=1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|=eq\r(3)，∠AOB=90，点C在∠AOB内，且∠AOC=30，设eq\o(OC,\s\up6(→))=meq\o(OA,\s\up6(→))+neq\o(OB,\s\up6(→))(m,nR)，则eq\f(m,n)的值为．

§2.3.1平面向量基本定理及坐标表示(二)【典型例题】例1．(1)已知eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))=(2,4),eq\o(a,\s\up6(→))eq—eq\o(b,\s\up6(→))=(eq—2,2)，则eq\o(a,\s\up6(→)),eq\o(b,\s\up6(→))坐标分别为..(2)已知eq\o(a,\s\up6(→))=(1,2),eq\o(b,\s\up6(→))=(eq—3,2)，若keq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))eq—3eq\o(b,\s\up6(→))平行？则k=______.例2．已知点A(3,4)与点B(1,2)，点P在直线AB上，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|=2|eq\o(PB,\s\up6(→))|，求点P的坐标．变式：△P1P2P3三个顶点的坐标分别为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，p3(x3,y3).求该三角形的重心坐标(重心分中线为2:1).【课堂练习】1.已知:四点A(5,1),B(3,4),C(1,3),D(5,3)，求证:四边形ABCD是梯形.2.已知点A(1,1),B(1,5)及eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AD,\s\up6(→))=2eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AE,\s\up6(→))=－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，求点D、E的坐标.

§2.4.1平面向量的数量积(一)【典型例题】例1．(1)若向量eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))+eq\o(c,\s\up6(→))=eq\o(0,\s\up6(→)),且|eq\o(a,\s\up6(→))|=3,|eq\o(b,\s\up6(→))|=1,|eq\o(c,\s\up6(→))|=4,则eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))·eq\o(c,\s\up6(→))+eq\o(c,\s\up6(→))·eq\o(a,\s\up6(→))=.(2)已知|eq\o(a,\s\up6(→))|＝3,|eq\o(b,\s\up6(→))|＝4且eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))不共线，k为何值时，向量eq\o(a,\s\up6(→))+keq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))keq\o(b,\s\up6(→))互相垂直？例2.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(a,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\o(b,\s\up6(→)),∠AOB=60°,且|eq\o(a,\s\up6(→))|=|eq\o(b,\s\up6(→))|=4.(1)求|eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))|,|eq\o(a,\s\up6(→))eq—eq\o(b,\s\up6(→))|;(2)求eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))的夹角α,eq\o(a,\s\up6(→))eq—eq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))的夹角β.变式：已知eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))不共线，若eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))与2eq\o(a,\s\up6(→))eq—eq\o(b,\s\up6(→))垂直，eq\o(a,\s\up6(→))eq—2eq\o(b,\s\up6(→))与2eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))也垂直，求eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的夹角的余弦值.【课堂练习】1.若|eq\o(a,\s\up6(→))|=1,|eq\o(b,\s\up6(→))|=2,eq\o(c,\s\up6(→))=eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))且eq\o(c,\s\up6(→))⊥eq\o(a,\s\up6(→)),则向量eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°2.已知eq\o(a,\s\up6(→))•eq\o(b,\s\up6(→))＝3，|eq\o(a,\s\up6(→))|＝5，求eq\o(b,\s\up6(→))在eq\o(a,\s\up6(→))方向上的投影．

§2.4.2平面向量的数量积(二)【典型例题】例1．(2013湖北6)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2,1)、D(3,4)，则向量和方向上的投影为()A．B．C．D．变式：已知|eq\o(m,\s\up6(→))|=6eq\r(3),eq\o(n,\s\up6(→))=(cosθ,sinθ),eq\o(m,\s\up6(→))·eq\o(n,\s\up6(→))=9,则eq\o(m,\s\up6(→)),eq\o(n,\s\up6(→))的夹角为()A.150ºB.120ºC.60ºD.30º例2．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))=(2，3),eq\o(AC,\s\up6(→))=(1，k),且△ABC是直角三角形,求k值.变式：已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.【课堂练习】1.已知eq\o(a,\s\up6(→))=(eq—3,4),eq\o(b,\s\up6(→))=(5,2),eq\o(c,\s\up6(→))=(1,eq—1),则(eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)))·eq\o(c,\s\up6(→))等于()A.eq—14B.eq—7C.(7,eq—7)D.(eq—7,7)2.已知eq\o(a,\s\up5(→))=(－3,4),①写出与eq\o(a,\s\up5(→))平行的单位向量；②写出与eq\o(a,\s\up5(→))垂直的单位向量.

§2.5.1平面几何中的向量方法【典型例题】例1.用向量方法证明：圆的直径AC所对的圆周角B是直角.例2.已知ABC中，A(2,1),B(3,2),C(3,1),AD是BC边上的高，求AD.【课堂练习】1.在四边形ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0,且eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→)),则四边形ABCD是().A.平行四边形 B.梯形 C.矩形 D.正方形2.设A(2,2),B(5,1),C(1,5)，求∠BAC的余弦值；

§2.5.2向量在物理中的应用举例【典型例题】例1.两个粒子a,b从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为eq\o(sa,\s\up6(→))=(4,3),eq\o(sb,\s\up6(→))=(2,10).①写出此时粒子b相对粒子a的位移eq\o(s,\s\up6(→))；②计算eq\o(s,\s\up6(→))在eq\o(sa,\s\up6(→))方向上的投影.例2.两个力F1=eq\o(i,\s\up6(→))+eq\o(j,\s\up6(→)),F2=4eq\o(i,\s\up6(→))－5eq\o(j,\s\up6(→))作用于同一质点，使该质点从A(20，15)移动到B(7，0)，其中eq\o(i,\s\up6(→))、eq\o(j,\s\up6(→))分别是x轴、y轴正方向上的单位向量.求：①F1，F2分别对该质点做的功.②F1，F2的合力对该质点做的功..【课堂练习】1.如图，用两根绳子把质量为1kg的物体M吊在水平杆子AB上，∠ACM=150,∠BCM=120,求A处所受力的大小.(绳子重量忽略不计，g=10N/km)2.已知作用于A点的三个力eq\o(F1,\s\up