初等积分法浅论

密学院、专业：数学学院数学与应用数学林熠(吉林师范大学数学学院2006级5班吉林四平136000)指导教师：杨颖（讲师）摘要：文中通过分析变量可分离方程,全微分方程和一阶隐式微分方程三类方程介绍关键词：初等积分，变量可分离全微分，一OntheelementaryintegralsLinYi(SchoolofMathematics,JilinNormalUniversity,2006Siping136000,Jilin5classes)Instructor:YangYing(lecturer)Abstract:Inthispaper,byanalyzingthevariableseparableeqimplicitdifferentialequationdescribesthethreebasicmethodselementaryiExample,ExampleshowingthroughthesecommonlyusedsolutionsofelementaryintegralstitlefunctionKeywords:elementaryintegral,variableseparabletotaldifferential,afirst-ord概念：一般说来，微分方程就是联系自变量，未知函数以及未知函数的某些导数的等式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程.⑵假设g(y)不是常数，且f(x)在（a,b）上连续，g(y)在(α,β)上连续，设y=y(x)为方程（1）（1）式的通积分为dx+C,C为任意常数.若g(y)≠0,微分方程解：①若y≠0，分离变量积分得lny=lnx+lnC,即y=CxCyx3解：若y≠±1,分离变量得两端积分得arcsiny=arcsinx+C,1222(2)若3X0，使=M2(x0)=0,3y0,使x2-1y2-1=C2→lnx2-1y2-1=C2,C2≠0或=C,C≠0定义：如果一阶显示方程（1）的右端函数f(x,y)可以改写为 eΦ代入方程（1），通积分为：若3u0，使g(u0)-u0=0,则u=u0为方程（2）的解，则y=u0x为方程（1）的解.例一求方程=y2-的通解.解所给方程为型.此时r0=-2,r2=2,=r0+1=-1知该方程为齐次4解之,并将u换成xy,得原方程的通解为：xy-1=Cx3(xy+2)齐次型方程,且p=则原方程化为令y=x-代入解之,并将u换成x得原方程的通解为:1+xyarctan(x+xylnx=Cxy.1．一个一阶微分方程写成P（x，y）dx＋Q（x，y1）形式后，如果全微分du（x，y）＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy那么方程（1）就叫做全微分方程．这里那么方程（1）就是du（x，y所以u（x，yC就是全微分方程（1）的隐式通解，其中C为任意常数.设函数P（x，yQ（x，y）在单连通域G上有数，则G在内曲线积分Pdx+Qdy与路径无关的充分必要条件3．当条件（2）不能满足时，方程（1）就不是全微分方程．这时如果有一个适当的函数μ（X，Y）(μ（X，Y）≠0，使方程（1）在乘上μ（x，y）后所得的方程μPdx+μQdy＝0是全微分方程，则函数μ（x，y）叫做方程（1）的积分因子.①按照为全微分方程充分条件的证明过程可得第一种解法．求μ（x，y）使它满足 和从式出发，把看成参数对进行积分，解这个方程得到dx+g其中g为y的任意可微函数。我们现在来选取g（y）使它同时满足（4）式，即将式代入（5）式中即求得5=x＋y3=x＋y3看成常数），得到μ=yx-x4+g其中g为y的任意函数。现选取g（y）使它满足y3即，x＋g＝x＋y3，g所以y4＋C1（C1为任意常数）.上述方法来求解，而是采取“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分．但这种方法要求熟记一些简单二元函数的全微分.现用这种方法求解下面例题.于是方程的通解为x4＋xy＋y4＝C这里C为任意常数.②由前面曲线积分的定理可知，当P（x，y），Q（x，y）在单连通域G内具有一阶连续偏导数时，要程，其充要条件是在区域G内恒成立，且当此条件满足时，全微分方程(1)的通解为），点作为曲线积分的始点．例3求解（5x4＋3xy2－y3）dx3x2y－3xy2＋y2）dy＝0.见到形如P（x，y）dx＋Q（x，y）dy＝0的一阶微分方程，首先要判断它是哪一种类型的方程，如是全微分方程，然后按全微分方程的解法去求解.y,=f1(x,y),y,=f2(x,y)......y,=fl(x,y)（y,x)(y,y)=0类型一F（x,y,）=0F(y,y,)=0dy=Ψ(t)dφ(t)=Ψ（t）φ,(t)dtdt+C7常微分方程的解法很多，应用起来也很灵活，本文仅简单的介