归纳总结高考题型解题策略

2010年高考数学冲刺复习——归纳总结高考题型解题策略（共分五大专题）专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的.如08年安徽理科第5题(5分)，考查三角函数的对称性与向量平移、08年山东文第8题理第15题(5分)考查两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题(12分)07的天津文理第15题(4分)考查正余弦定理与向量数量积等.根据2009年考纲预计在09年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.【考试要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运.“角”“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(Ⅰx+Ⅰ)的性质和图像及其图像变换.3．考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5(包括坐标形式及非坐标形式)题.6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.【典例分析】题型一ꢀ三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.Ⅰ【例1】ꢀ把函数y＝sin2x的图象按向量a＝(－3)y＝Asin(ωx＋Ⅰ)(A＞0ω＞6p0，|Ⅰ|＝)的图象，则Ⅰ和B的值依次为（）2ppppA．，－312B．，3C．，－3D．－，33312【分析】ꢀ根据向量的坐标确定平行公式为{，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.Ⅰ【解析1】ꢀ由平移向量知向量平移公式{{y＝sin2x得yⅠ＋3＝sin2(xⅠ＋)y＝6πpsin(2x＋)－3，由此知Ⅰ＝，B＝－3，故选C.33ⅠⅠ【解析2】ꢀ由向量a＝(－，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移个66Ⅰπ3y＝sin2(x＋)－3y＝sin(2x＋)－3Ⅰ＝63p3，B＝－3，故选C.【点评】.及平移的大小.题型二ꢀ三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数.利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2】ꢀ已知ABCA＋B＋C＝π.若向量p＝(2－2sinAcosA＋sinA)与向量q＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；C－3B（Ⅰ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.2【分析】A范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅰ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.3【解】ꢀ（Ⅰ）Ⅰ→p、q共线，Ⅰ(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝，4p又A为锐角，所以sinA＝，则A＝.23C－3B(π－－B)－3B（Ⅰ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos22p1＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B3221Ⅰ＝sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1.226pⅠⅠ5ⅠⅠppⅠBⅠ(0，)，Ⅰ2B－Ⅰ(－，)，Ⅰ2B－＝，解得B＝，ymax＝2.2666623【点评】ꢀ本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（12B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三ꢀ三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.3p【例3】ꢀ已知向量a＝(3sinα,cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，αⅠ(，2π)，且aⅠ→b．2（Ⅰ）求tanα的值；αp（Ⅰ）求cos(＋)的值．23【分析】ꢀ第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关α系可求得tanα(Ⅰ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用两角和2与差的三角公式求得最后的结果．【解】ꢀ（Ⅰ）Ⅰ→aⅠ→b，Ⅰ→a·b＝0．而a＝（3sinα，cosαb＝(2sinα,5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．41由于cosα≠0，Ⅰ6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．323p14ⅠαⅠ（，2πtanα＜0，故tanα＝Ⅰtanα＝－．2233pα3Ⅰ（Ⅰ）ⅠαⅠ（，2πⅠⅠ（，π2244α1ααα2由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2Ⅰsin＝，cos＝－，32222525αpαpαp21Ⅰcos(＋)＝coscos－sinsin＝－×－×＝－52522＋10232323【点评】的三角函数.角的范围的重要性.同时还可以看到第（Ⅰ）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.题型四ꢀ三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|a|2＝a2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.2p【例3】ꢀ已知向量a＝(cosα,sinα)，b＝(cosβ,sinβ)|a－b|＝5.(Ⅰ)求cos(α－β)的(Ⅰ)若－＜52p5β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.213【分析】ꢀ利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅰ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cosβ即可.24【解】ꢀ(Ⅰ)Ⅰ|a－b|＝5，Ⅰ→a2－2a·b＋b2＝，55将向量a＝(cosα,sinα)，b＝(cosβ,sinβ)代入上式得4312－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝，Ⅰcos(α－β)＝－.55pp(Ⅰ)Ⅰ－＜β＜0＜α＜，Ⅰ0＜α－β＜π，2234由cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝，5551213又sinβ＝－，Ⅰcosβ＝，133365Ⅰsinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.点本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|a－b|为向量运算|a－b|2＝(a－b)2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五ꢀ三角函数与平面向量数量积的综合(1)(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.p【例5】ꢀ设函数f(x)＝a·b.其中向量a＝(m，cosx)，b＝(1＋sinx，1)，xⅠR，且f()＝2.（Ⅰ）求2实数m的值；（Ⅰ）求函数f(x)的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关p系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件f()＝2可以求得，而第(Ⅰ)小题利用三角函2数函数的有界性就可以求解.解：（Ⅰ）f(x)＝a·b＝m(1＋sinx)＋cosx，ppp由f()＝2，得m(1＋sin)＋cos＝2，解得m＝1.222Ⅰ(Ⅰ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝2sin(x＋)＋1，4Ⅰ当sin(x＋)＝－1时，f(x)的最小值为1－2.4平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.根据向量的关系解答相关的问题.AA【例6】ꢀ已知角ABC为ⅠABCabcm＝(－cossin)，n22AA1＝(cos，sin)，a＝23，且m·n＝．222（Ⅰ）若ⅠABC的面积S＝3，求b＋c的值．（Ⅰ）求b＋c的取值范围．【分析】ꢀ第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c的方程组求取b＋c(Ⅰ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三角函数式，进而求得b＋c的范围.AAAA1【解】ꢀ（Ⅰ）Ⅰ→m＝(－cos，sin)，n＝(cos，sin)，且m·n＝，221222AA1Ⅰ－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，22222p3又AⅠ(0，π)，ⅠA＝.1又由SⅠABC＝bcsinA＝3，所以bc＝4，22p由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos＝b2＋c2＋bc，Ⅰ16＝(b＋c)2，故b＋c＝4.3abc2p（Ⅰ）由正弦定理得：＝＝＝＝4，又B＋C＝Ⅰ－A＝，sinBsinCsinAsin3ppⅠb＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(－B)＝4sin(B＋)，33ppp2ppⅠ0＜B＜，则＜B＋＜，则＜sin(B＋)≤1，即b＋c的取值范围是23，4Ⅰ.333323[点评]ꢀ本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第(Ⅰ)小题中求b＋c没有利用分别求出b、c的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第(Ⅰ)小题的求解中特别要注意确定角B的范围.【专题训练】一、选择题1．已知a＝(cos40Ⅰ，sin40Ⅰ)，b＝(cos20Ⅰ，sin20Ⅰ)，则a·b＝（）1A．1B．C．D．222πππ2．将函数y＝2sin2x－的图象按向量(，)平移后得到图象对应的解析式是（（（（））））222A．2cos2xB．－2cos2xC．2sin2xD．－2sin2xD．任意三角形D．75Ⅰ→→→→→→3．已知ⅠABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b＜0，则ⅠABC是A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形314．设a＝(,sinⅠ)，b＝(cosⅠ,)，且aⅠ→b，则锐角Ⅰ为23A．30ⅠB．45ⅠC．60Ⅰ3p5．已知a＝(sinθ，1＋cosθ)，b＝(1，1－cosθ)，其中θⅠ(π，)，则一定有2A．aⅠ→bB．aⅠ→bC．a与b夹角为45°D．|a|＝|b|π6a＝(64)，b＝(02),c＝a＋Ⅰ→bC点在函数y＝sinx的图象上,实数Ⅰ＝12（）52325232A．B．C．－D．－5Ⅰ7y＝sin(x＋)的图象按向量a＝(m0)(m＞0)平移所得的图象关于ym的最6小值为（）Ⅰp2p35ⅠA．B．C．D．636→→→80≤θ≤2πOP1＝(cosθsinθ)，OP2＝(2＋sinθ2－cosθ)P1P2长度的最大值是（）A．2B．3C．32D．239．若向量a＝(cosⅠ,sinⅠ)，b＝(cosⅠ,sinⅠ)，则a与b一定满足（）A．a与b的夹角等于Ⅰ－ⅠB．aⅠ→bD．(a＋b)Ⅰ(→a－b)C．aⅠ→b10a＝(cos25Ⅰ,sin25Ⅰ)，b＝(sin20Ⅰ,cos20Ⅰ)tu＝a＋tb|u|的最小值为（）12A．2B．1C．D．211．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：P＝A＋Ⅰ(B＋C)，ⅠⅠ(0,＋∞)，则直线AP一定通过ⅠABC的A．外心B．内心C．重心12．对于非零向量a我们可以用它与直角坐标轴的夹角Ⅰ,Ⅰ(0≤Ⅰ≤Ⅰ,0≤Ⅰ≤Ⅰ)来表示它的方向，称Ⅰ,Ⅰ为非（）D．垂心零向量a的方向角，称cosⅠ,cosⅠ为向量a的方向余弦，则cos2Ⅰ＋cos2Ⅰ＝（）1A．1B．C．D．022二、填空题113．已知向量m＝(sinⅠ，2cosⅠ)，n＝(3,－).若mⅠ→n，则sin2Ⅰ的值为____________．214ⅠOAB(O为原点)中，A＝(2cosⅠ2sinⅠ)，B＝(5cosⅠ5sinⅠ)A·OB＝－5SⅠAOB的值为_____________.p15．将函数f(x)＝tan(2x＋)＋1按向量a平移得到奇函数g(x)，要使|a|最小，则a＝3____________.→→→3π→→→16．已知向量m＝(1，1)向量n与向量m夹角为，且m·n＝－1.则向量n＝__________．4三、解答题17．在ⅠABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B·AC＝A·BC＝k(kⅠR).（Ⅰ）判断ⅠABC的形状；（Ⅰ）若c＝2，求k的值．A18．已知向量m＝(sinA,cosA)，n＝(3,－1)，m·n＝1，且为锐角.(Ⅰ)求角A(Ⅰ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(xⅠR)的值域．19ⅠABCABC所对边的长分别为abcm＝(12sinA)，n＝(sinA1＋cosA)，Ⅰ满足mⅠ→n，b＋c＝3a.(Ⅰ)求A的大小；(Ⅰ)求sin(B＋)的值．620．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0B（0，4C（3cosα，3sinα）.（Ⅰ）若αⅠ(－π，0)，且|AC|＝|BC|，求角α的大小；2sin2α＋sin2α（Ⅰ）若CⅠC，求的值．1＋tanα21．ⅠABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，m＝(2b－c，a)，n＝(cosA，－cosC)，且mⅠ→n．(Ⅰ)求角A的大小；ⅠB(Ⅰ)当y＝2sin2B＋sin(2B＋)取最大值时，求角的大小.622．已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量a与向量b不可能平行；ⅠⅠ（Ⅰ）若f(x)＝a·b，且xⅠ[－,]时，求函数f(x)的最大值及最小值．44【专题训练】参考答案一、选择题31．Bꢀ解析：由数量积的坐标表示知a·b＝cos40Ⅰsin20Ⅰ＋sin40Ⅰcos20Ⅰ＝sin60Ⅰ＝.2πpππ2．D【解析】y＝2sin2x－→y＝2sin2（x＋）－＋，即y＝－2sin2x.2222··3．A【解析】因为cosⅠBAC＝＝＜0，ⅠⅠBAC为钝角.||·||||·||314．B【解析】由平行的充要条件得×－sinⅠcosⅠ＝0，sin2Ⅰ＝1，2Ⅰ＝90Ⅰ，Ⅰ＝45Ⅰ.233p5．B【解析】a·b＝sinθ＋|sinθ|，ⅠθⅠ(π，)，Ⅰ|sinθ|＝－sinθ，Ⅰ→a·b＝0，Ⅰ→aⅠ→b．2πp6．A【解析】c＝a＋Ⅰ→b＝(6，－4＋2Ⅰ)，代入y＝sinx得，－4＋2Ⅰ＝sin＝1，解得Ⅰ1225＝.25Ⅰ5Ⅰp7．B【解析】考虑把函数y＝sin(x＋)的图象变换为y＝cosx的图象，而y＝sin(x＋)＝cos(x＋)，663ppp即把y＝cos(x＋)的图象变换为y＝cosx的图象，只须向右平行个单位，所以m＝，故选B.333→8．C【解析】|P1P2|＝(2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2＝10－8cosθ≤32.9．D【解析】a＋b＝(cosⅠ＋cosⅠ,sinⅠ＋sinⅠ)，a－b＝(cosⅠ＋cosⅠ,sinⅠ－sinⅠ)，Ⅰ(→a＋b)·(a－b)＝cos2Ⅰ－cos2Ⅰ＋sin2Ⅰ－sin2Ⅰ＝0，Ⅰ(→a＋b)Ⅰ(→a－b)．10．C【解析】|u|2＝|a|2＋t2|b|2＋2ta·b＝1＋t2＋2t(sin20Ⅰcos25Ⅰ＋cos20Ⅰsin25Ⅰ)＝t2＋2t＋1＝(t11＋)2＋，|u＝，Ⅰ|→u|min＝.222211．C【解析】设BC的中点为D，则B＋C＝2AD，又由P＝A＋Ⅰ(B＋C)，P＝2ⅠD，所以P与D共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过ⅠABC的重心．12．A【解析】设a＝(x,y)，x轴、y轴、z轴方向的单位向量分别为i＝(1,0)，j＝(0,1)，由向量知识·x·y得cosⅠ＝＝，cosⅠ＝＝，则cos2Ⅰ＋cos2Ⅰ＝1.||·||||·||二、填空题812sinⅠcosⅠ2tanⅠ13【解析】由mⅠ→nsinⅠ＝23cosⅠ,ⅠtanⅠ＝－43Ⅰsin2Ⅰ＝＝＝－492sin2Ⅰ＋cos2Ⅰtan2Ⅰ＋18495．114．【解析】A·OB＝－5Ⅰ10cosⅠcoⅠs＋10sinⅠsinⅠ＝－5Ⅰ10cos(Ⅰ－Ⅰ)＝－5Ⅰcos(Ⅰ－Ⅰ)＝－，2215ⅠsinⅠAOB＝，又|OA|＝2，|OB|＝5，ⅠSⅠAOB＝×2×5×＝．2222Ⅰp15，－1）【解析】要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)＝tan(2x＋)＋1的图象向下平移163kπⅠkπⅠ＋(kⅠZ)a＝(－＋1)(kⅠZ)|a|2626最小，→→→→→3π16．(－1，0)或(0，－1)【解析】设n＝(x，y)，由m·n＝－1，有x＋y＝－1Ⅰ，由m与n夹角为，4→→→→3π→→→有m·n＝|m|·|n|cos，Ⅰ|n|＝1，则x2＋y2＝1Ⅰ，由ⅠⅠ解得{或{Ⅰ即n＝(－1，0)或n＝4(0，－1)．三、解答题17【解】（Ⅰ）ⅠB·AC＝bccosA，A·BC＝cacosB，又B·AC＝A·BC，ⅠbccosA＝cacosB，Ⅰ由正弦定理，得sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，Ⅰsin(A－B)＝0Ⅰ－π＜A－B＜π，ⅠA－B＝0，即A＝B，ⅠⅠABC为等腰三角形.b2＋c2－a2c2＝ab（Ⅰ）由（Ⅰ）知，ⅠB·AC＝bccosA＝bc·，2bc2Ⅰc＝2，Ⅰk＝1.ⅠⅠ118【解】(Ⅰ)由题意得m·n＝3sinA－cosA＝1，2sin(A－)＝1，sin(A－)＝，662ⅠⅠp由A为锐角得A－＝，A＝.663113(Ⅰ)由（Ⅰ）知cosA＝，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－)2＋，22213因为xⅠR，所以sinxⅠ[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值．223当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，]．2119【解】(Ⅰ)由mⅠ→n，得2sin2A－1－cosA＝0，即2cos2A＋cosA－1＝0，ⅠcosA＝或cosA＝－1.2pⅠA是ⅠABC内角，cosA＝－1舍去，ⅠA＝.33(Ⅰ)Ⅰb＋c＝3a，由正弦定理，sinB＋sinC＝3sinA＝，22p2p3ⅠB＋C＝，sinB＋sin(－B)＝，33233ⅠⅠcosB＋sinB＝，即sin(B＋)＝．2226220【解】（Ⅰ）由已知得：(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4)2，则sinα＝cosα，3Ⅰ因为αⅠ(－π，0)，Ⅰα＝－.4（Ⅰ）由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得37sinα＋cosα＝，平方，得sin2α＝－.4162sin2α＋sin2α2sin2αcosα＋2sinαcos2α＝＝2sinαcosα＝sin2α＝－7而．1＋tanαsinα＋cosα1621【解】(Ⅰ)由mⅠ→n，得m·n＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0Ⅰ2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，1pⅠA、BⅠ(0，π)，ⅠsinB≠0，cosA＝，故A＝.23ⅠⅠⅠ(Ⅰ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos＋cos2Bsin6661Ⅰ＝1＋sin2B－cos2B＝1＋sin(2B－).2262pⅠⅠ7Ⅰ6由(Ⅰ)得，0＜B＜，－＜2B－＜，366ⅠppⅠ当2B－＝，即B＝时，y取最大值2.62322【解】（Ⅰ）假设aⅠ→b，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，1＋cos2x11－cos2xⅠ2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，2·＋sin2x＋＝0，222即sin2x＋cos2x＝－3，ⅠⅠⅠ2(sin2x＋)＝－3，与|2(sin2x＋)|≤2矛盾，44故向量a与向量b不可能平行．（Ⅰ）Ⅰf(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2xⅠ＝2(cos2x＋sin2x)＝2(sin2x＋)，224ⅠⅠⅠⅠ3ⅠⅠppⅠ－≤x≤，Ⅰ－≤2x＋≤，Ⅰ当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值2；44444428ⅠⅠⅠ当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1．444专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右，如08年福建文11题理12题(5分)为容易题，考查函数与导函数图象之间的关系、08年江苏14题(5分)为容易题，考查函数值恒成立与导数研究单调性、08年北京文17题(12分)为中档题考查函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08年湖北理20题(12分)为中档题，考查利用导数解决函数应用题、08年辽宁理22题(12分)为中档题，考查函数利用导数确定函数极值与单调性问题等.预测2009年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，函数与导数的交汇的考查既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查函数的基础知识及函数性质及图象为主，同时考查导数的相关知识，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.主要题型：(1)利用导数(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.【考试要求】1．了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．2．了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．3．掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图象和性质．4．掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．5．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．6处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．7cxm（msinxcosxexaxlnxlogax数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．8【考点透视】高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：Ⅰ以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；Ⅰ与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；Ⅰ利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.【典例分析】题型一ꢀ导函数与原函数图象之间的关系如果原函数定义域内可导，则原函数的图象f(x)与其导函数fⅠ(x)的图象有密切的关系：1．导函数fⅠ(x)在x轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系：（1fⅠ(x)在区间D上恒有fⅠ(x)＞0f(x)在区间DfⅠ(x)图象在x轴上方的图象对应的区间D为原函数图象中的上升区间D；（2fⅠ(x)在区间D上恒有fⅠ(x)＜0f(x)在区间DfⅠ(x)图象在x轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间.2．导函数fⅠ(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数fⅠ(x)图象的零点是原函数的极值点.如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点；如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点.【例1】ꢀ如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝fⅠ(x)的图象可能是（）【分析】ꢀ根据原函数y＝f(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间的上升区间，然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在xx轴的下方，且第一部分在x轴上方，然后相间出现.【解】ꢀ由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案A满足.【点评】ꢀ本题观察图象时主要从两个方面：(1)观察原函数f(x)的图象哪些的上升区间？哪些下降区间？；(2)观察导函数fⅠ(x)的图象哪些区间在大于零的区间？哪些部分昌小于零的区间？【例2】ꢀ设fⅠ(x)是函数f(x)的导函数，y＝fⅠ(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（）【分析】ꢀ先观察所给出的导函数y＝fⅠ(x)结合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数y＝fⅠ(x)的图象零点0、2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.【解法1】ꢀ由y＝fⅠ(x)的图象可以清晰地看出，当xⅠ(0,2)时，y＝fⅠ(x)＜0，则f(x)为减函数，只有C项符合，故选C.【解法2】ꢀ在导函数fⅠ(x)0f(x)在x＝0时取得极大值.又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x＝0时取得极小值，只有C适合，故选C.【点评】ꢀ(1)“”(2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势.题型二ꢀ利用导数求解函数的单调性问题若f(x)在某区间上可导，则由fⅠ(x)＞0(fⅠ(x)＜0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)＝x3在R上递增，而fⅠ(x)≥0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是fⅠ(x0)≥0(≤0)，且fⅠ(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.(1)根据函数解析式，求函数的(2)(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例3】ꢀ(08全国高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，aⅠR．(Ⅰ)讨论函数f(x)(Ⅰ)设函21数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．33【分析】ꢀ第（ⅠfⅠ(x)，由于含有参数a，根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间；第（Ⅰ）小题根据第（Ⅰ）小题的结果，建立关于a的不等式组，由此可确定a的范围.【解】ꢀ(Ⅰ)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，求导得fⅠ(x)＝3x2＋2ax＋1，当a2≤3时，Ⅰ＝4(a2－3)≤0，fⅠ(x)≥0，f(x)在R上递增，－a±当a2＞3，fⅠ(x)＝求得两根为x＝，则3－a－－a－－a＋，函数f(x)在区间(－∞，)上递增，在区间()上递减，333－a－在区间(，＋∞)上递增.3(Ⅰ)由(Ⅰ)得{，且a2＞3，解得a≥2.【点评】ꢀ本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a(Ⅰ)小题时注意分类讨论.第(Ⅰ)小题的解答是根据第(Ⅰ)系建立不等式来求解的.第(Ⅰ)小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式{来求解.题型三ꢀ求函数的极值问题极值点的导数一定为00的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.【例4】ꢀ(08·四川)设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点.(Ⅰ)求a和b的(Ⅰ)略.【分析】ꢀ先求导函数fⅠ(x)x＝1和x＝2是fⅠ(x)＝0的两个根建立关于ab的方程组求解.【解】ꢀ因为fⅠ(x)＝5x4＋3ax2＋b，由x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点，所以fⅠ(1)＝0，且fⅠ(2)＝0，25即{，解得a＝，b＝20.3【点评】ꢀ解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系：对于三次函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得了a和b的值.kx＋1【例5】ꢀ(08陕西高考)已知函数f(x)＝(c＞0，且c≠1，kⅠR）恰有一个极大值点和一个极小值x2＋c点，其中一个是x＝－c．(Ⅰ)求函数f(x)(Ⅰ)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M－m≥1时k的取值范围．【分析】ꢀ先求导函数fⅠ(x)，然后令fⅠ(－c)＝0及一元二次方程根与系数的关系可解决第（Ⅰ）小题；而解答第（Ⅰ）小题须对k与c进行分类讨论进行解答.k(x2＋c)－2x(kx＋1)－kx2－2x＋ck＝【解】ꢀ(Ⅰ)fⅠ(x)＝，(x2＋c)2(x2＋c)22k由题意知fⅠ(－c)＝0，即得c2k－2c－ck＝0，即c＝1＋（*）Ⅰc≠0，Ⅰk≠0．由fⅠ(0)＝0，得－kx2－2x＋ck＝0，由韦达定理知另一个极值点为x＝1．2(Ⅰ)由（*）式得c＝1＋，当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜－2．k(Ⅰ)当k＞0时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是减函数，在(－c，1)内是增函数．k＋1k－kc＋1－k2f(1)＝＝＞0，m＝f(－c)＝＝＜0，c＋12c2＋c2(k＋2)kk2由M－m＝＋≥1及k＞0，解得k≥2.22(k＋2)(Ⅰ)当k＜－2时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是增函数，在(－c，1)内是减函数．－k2k＋1k－k2k(k＋1)2＋1ⅠM＝f(1)＝＞0，m＝＝＜0，而M－m＝－＝1－≥1恒成立．2(k＋2)c＋122(k＋2)2k＋2k综上可知，所求的取值范围为(－∞，－2)ⅠⅠ2，＋∞)．【点拨】ꢀ第(Ⅰ)小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第(Ⅰ)小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键.题型四ꢀ求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间[a，b]上的端.极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.【例6】ꢀ(08浙江高考)已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).(Ⅰ)略；（Ⅰ）求f(x)在区间[0，2]上的最大值.【分析】ꢀ首先求函数fⅠ(x)fⅠ(x)＝0因此须分类讨论讨论函数f(x)的单调区间，进而确定f(x)在给定区间上的最大值.2a【解】ꢀ(Ⅰ)fⅠ(x)＝3x2－2ax．令fⅠ(x)＝0，解得x1＝0，x2＝．32a当当≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a．32a3≥2，时，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0．2a2a2a当0＜＜2，即0＜a＜3，f(x)在[0，]上单调递减，在[，2]上单调递增，333从而f(x)max＝{，综上所述，f(x)max＝{.【点评】ꢀfⅠ(x)＝0时要注意对参数a的讨论.来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的.题型五ꢀ导数与数学建模的问题此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热点.t【例7】ꢀ(08·湖北)年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V(t)＝{，(Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i－1＜t＜i表示第1月份（i＝1，2，…，12）,同一年内哪几个月份是枯水期？(Ⅰ)求一年内该水库的最大蓄水量（取e＝2.7计算）.【分析】ꢀ根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式建立不等式可求得第（Ⅰ）小题；而第（Ⅰ）小题则须先求函数VⅠ(t)，然后利用导数与函数最值关系求解.【解】ꢀ(Ⅰ)Ⅰ当0＜t≤10时，V(t)＝(－t2＋14t－40)e＋50＜50，化简得t2－14t＋40＞0，解得t＜4或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4.Ⅰ当10＜t≤12时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50＜50，化简得(t－10)(3t－41)＜0，41解得10＜t＜，又10＜t≤12,故10＜t≤12.3综合得0＜t＜4,或10＜t≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.(Ⅰ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.131由VⅠ(t)＝e(－t＋t＋4)＝－e(t＋2)(t－8)424令VⅠ(t)＝0，解得t＝8(t＝－2舍去).当t变化时，VⅠ(t)与V(t)的变化情况如下表：t(4，8)＋80(8，10)VⅠ(t)V(t)－Ⅰ极大值Ⅰ由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2＋50＝108.32(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.【点评】ꢀ本题第(Ⅰ)主要是根据题设条件给出的函数建立不等式，再解不等式，但要注意分段求解.第(Ⅰ)主要是通过求导取得极值，最后再求得最值的，但要注意要根据第(Ⅰ)确定函数定义域.【例8】ꢀ（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行13驶速度x（千米/y=x2－x+8(0＜x≤120).已知甲、乙两地相距10080128000千米.（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅰ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【分析】ꢀ第（Ⅰ）小题直接根据所给函数的解析式进行计算；第（Ⅰ）小题须根据条件建立耗油量为h(x)关于行驶速度x的函数关系式，再利用导数的知识进行解答.100【解】ꢀ（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时，4013要耗没(×403－×40+8)×2.5=17.5（升）.80128000答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.100（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，x13100x180015－依题意得h(x)=(x3－x+8)·=x2+(0＜x≤120)，128000801280x4x800x3－803hⅠ(x)=－=(0＜x≤120)，令hⅠ(x)=0得x=80，640x2640x2当xⅠ(0,80)时，hⅠ(x)＜0,h(x)是减函数；当xⅠ(80,120)时，hⅠ(x)＞0,h(x)是增函数,Ⅰ当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.【点评】ꢀ解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.【专题训练】一、选择题1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1·x2＝（）A．9B．－9C．1D．－112．函数f(x)＝x3＋ax＋1在(－∞，－1)上为增函数，在(－1，1)上为减函数，则f(1)为（）37313A．B．1C．D．－13．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为A．0≤a＜1B．0＜a＜1C．－1＜a＜1（）12D．0＜a＜4．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，bⅠR)在x＝2时有极值，其图象在点(1，(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为（）A．(－∞，0)B．(0，2)C．(2，＋∞)D．(－∞，＋∞)35y＝f(x)在定义域(－3).记y＝f(x)的导函数为y＝fⅠ(x)fⅠ(x)≤02的解集为（）1A．[－，1]Ⅰ[2，3)3148B．[－1，]Ⅰ[，]21333C．[－，]Ⅰ[1，2)2321144D．(－，－]Ⅰ[，]Ⅰ[，3)23233Ⅰ6f(x)＝sin(ωx＋)－1(ω＞0)的导数fⅠ(x)的最大值为3f(x)的图象的一条对称轴的方程是6（）ⅠⅠp3pA．x＝B．x＝C．x＝D．x＝9627f(x)的定义域为开区间(ab)fⅠ(x)在(ab)内的图象如下图所示.则函数f(x)在开区间(ab)内有极小值点A．1个（）B．2个C．3个D．4个8．函数f(x)(xⅠR)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是（）11A．[0，]B．(－∞，0)Ⅰ[，＋∞)22C．[a，1]D．[a，a＋1]8．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（）p3p2A．(，)B．(π，2π)23p5pC．(，)D．(2π，3π)2319．下列图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(aⅠR，a≠0)的导函数fⅠ(x)的图象，则f(－1)3等于（）131373153A．B．－C．D．－或3x11．已知对任意实数f(－x)＝－f(x)g(－x)＝g(x)x＞0fⅠ(x)＞0gⅠ(x)＞0x＜0时（B．fⅠ(x)＞0，gⅠ(x)＜0D．fⅠ(x)＜0，gⅠ(x)＜0）A．fⅠ(x)＞0，gⅠ(x)＞0C．fⅠ(x)＜0，gⅠ(x)＞012．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xfⅠ(x)＞－f(x)恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．af(b)＞bf(a)B．af(a)＞bf(b)C．af(a)＜bf(b)D．af(b)＜bf(a)二、填空题13．右图是一个三次多项式函数f(x)的导函数fⅠ(x)的图象，则当x＝______时，函数取得最小值.1a14．已知函数f(x)＝x3－x2＋2x＋1，且x1，x2是f(x)的两32个极值点，0＜x1＜1＜x2＜3，则a的取值范围_________.15．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1，2]上是减函数，那么b＋c最大值为___________.16．曲线y＝2x4上的点到直线y＝－x－1的距离的最小值为____________.三、解答题17．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅰ)讨论f(x)的极值.18．已知定义在R上的函数f(x)＝x2(ax－3)，其中a为常数.(Ⅰ)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(Ⅰ)若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围.19．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋ax＋d的图象过点P（0，2M（－1，f（－16x-y+7=0.（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅰ）求函数y=f(x)的单调区间.20．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．21．已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.（Ⅰ）求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；（Ⅰ）是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。22f(x)＝logax＋2x和g(x)＝2loga(2x＋t－2)＋2x(a＞0a≠1tⅠR)的图象在x＝2处的切线互相平行.(Ⅰ)求t的值；(Ⅰ)设F(x)＝g(x)－f(x)，当xⅠ[1，4]时，F(x)≥2恒成立，求a的取值范围.【专题训练】参考答案一、选择题1．D【解析】fⅠ(x)＝3x2＋2ax＋3，则x1·x2＝1.112．C【解析】ⅠfⅠ(x)＝x2＋a，又fⅠ(－1)＝0，Ⅰa＝－1，f(1)＝－1＋1＝.333．B【解析】fⅠ(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0，1)内有最小值，故a＞0，且fⅠ(x)＝0的解为x1＝a，x2＝－a，则aⅠ(0，1)，Ⅰ0＜a＜1.4．B【解析】Ⅰf(x)＝ax3＋bx2，f′(x)＝3ax2＋2bx，Ⅰ{，即{，令fⅠ(x)＝3x2－6x＜0，则0＜x＜2，即选B.5．A【解析】由条件fⅠ(x)≤0知，选择f(x)图象的下降区间即为解.ⅠⅠp2Ⅰ6A【解析】fⅠ(x)＝ωcos(ωx＋)ω＝33x＋＝2kπ＋x＝kπ＋(kⅠZ)x＝66239Ⅰ为f(x)的图象的一条对称轴.97．A【解析】fⅠ(x)的图象与x轴有A、B、O、C四个交点.其中在A、C处fⅠ(x)的值都是由正变负，相应的函数值则由增变减，故f(x)点A、C处应取得极大值；在B处fⅠ(x)的值由负变正，相应的函数值则由减变增，故f(x)在点B处应取得极小值.点O处fⅠ(x)的值没有正负交替的变化，故不是极值点，这就是说，点B是唯一的极值点.8C【解析】因为u＝logax(0＜a＜1)0∞0≤logax≤1，即a≤a≤1，故选C.28B【解析】yⅠ＝(cosx－xsinx)＝－xsinxxsinx＞0xsinx＜0xsinx＜0，故xⅠ(π，2π).9．B【解析】ⅠfⅠ(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，又a≠0，Ⅰf′(x)的图象为第三个，知fⅠ(0)＝0，故11a＝－1，f(－1)＝－＋a＋1＝－.3311．B【解析】依题意得f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是增函数，即当x＜0时，fⅠ(x)＞0g(x)(0∞)(－∞0)x＜0时，gⅠ(x)＜0.12B【解析】令F(x)＝xf(x)FⅠ(x)＝xfⅠ(x)＋f(x)xfⅠ(x)＞－f(x)xfⅠ(x)＋f(x)＞0FⅠ(x)＞0，所以f(x)在R上为递增函数.因为a＞b，所以af(a)＞bf(b).二、填空题13．4【解析】根据导函数对应方程fⅠ(x)＝0的根与极值的关系及极值的定义易得结果.11311314．3＜a＜【解析】fⅠ(x)＝x2＋ax＋2，由题知：{，解得3＜a＜.1515．－【解析】fⅠ(x)＝3x2＋2bx＋cⅠf(x)在[－1，2]上减，ⅠfⅠ(x)在[－1，2]上非正.215由{，即{，Ⅰ15＋2(b＋c)≤0，Ⅰb＋c≤－.2516．2【解析】设直线L平行于直线y＝－x－1，且与曲线y＝2x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小1611|－＋＋1|5值d，即点P到直线y＝－x－1的距离，yⅠ＝8x3＝－1，Ⅰx0＝－，x0＝，Ⅰd＝＝2.2816三、解答题17【解】ꢀ由已知得fⅠ(x)＝6x[x－(a－1)]，令fⅠ(x)＝0，解得x1＝0,x2＝a－1，.（Ⅰ）当a＝1时，fⅠ(x)＝6x2，f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增当a＞1时，fⅠ(x)＝6x[x－(a－1)]，fⅠ(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞,0)＋00(0,a－1)a－1(a－1,＋∞)fⅠ(x)f(x)0Ⅰ极大值Ⅰ极小值Ⅰ从上表可知，函数f(x)在(－∞,0)上单调递增；在(0,a－1)上单调递减；在(a－1,＋∞)上单调递增.（ⅠⅠa＝1时，函数f(x)没有极值.；当a＞1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.18【解】ꢀ(Ⅰ)f(x)＝ax3－3x，fⅠ(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),Ⅰx＝1是f(x)的一个极值点，ⅠfⅠ(1)＝0，Ⅰa＝2；(Ⅰ)Ⅰ当a＝0时，f(x)＝－3x2在区间（－1，0）上是增函数，Ⅰa＝0符合题意；22aⅠ当a≠0时，fⅠ(x)＝3ax(x－)，由fⅠ(x)＝0，得x＝0，x＝a当a＞0时，对任意xⅠ(－1，0)，fⅠ(x)＞0，Ⅰa＞0符合题意；22当a＜0时，当xⅠ(，0)时，由fⅠ(x)＞0，得≤－1，Ⅰ－2≤a＜0符合题意；aa综上所述，a≥－2.19【解】（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2d＝2，则f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，fⅠ(x)＝3x2＋2bx+c，由在M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，且fⅠ(-1)=6，Ⅰ{，即{，解得b=c=-3，故所求的解析式是f(x)＝x3-3x2-3x+2.（Ⅰ）fⅠ(x)＝3x2-6x-3，令3x2-6x-3=0，即x2-2x-1=0，解得x1=1-2，x2=1+2，当x＜1-2或x＞1+2时，fⅠ(x)＞0；当1-2＜x＜1+2时，fⅠ(x)＜0，故f(x)＝x3-3x2-3x+2在(-∞，1-2)内是增函数，在(1-2，1+2)内是减函数，在(1+2，+∞)内是增函数.20【解】令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，(1)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有ꢀf(x)≥ax．(2)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．21【解】（I）Ⅰf(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，Ⅰ可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，Ⅰf(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a，由已知，得6a＝12，Ⅰa＝2，Ⅰf(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(xⅠR).37（II）方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0，x设h(x)＝2x3－10x2＋37，则hⅠ(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)，1010当xⅠ(0，)时，hⅠ(x)＜0，h(x)是减函数；当xⅠ(，＋∞)时，hⅠ(x)＞0，h(x)是增函数，3310Ⅰh(3)＝1＞0，h()＝－＜0，h(4)＝5＞0，27131010Ⅰ方程h(x)＝0在区间(3，)、(，4)内分别有惟一实数根，而在(0，3)，(4，＋∞)内33没有实数根，37所以存在惟一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个x不同的实数根.1422．解析：(Ⅰ)fⅠ(x)＝logae＋2，gⅠ(x)＝logae＋2，x2x＋t－2Ⅰ函数f(x)和g(x)的图象在x＝2处的切线互相平行，14fⅠ(2)＝gⅠ(2)，Ⅰlogae＝logae，t＝6.2t＋2(2x＋4)2(Ⅰ)Ⅰt＝6，ⅠF(x)＝g(x)－f(x)＝2loga(2x＋4)－logax＝loga，xⅠ[1，4]，x(2x＋4)216＝4x＋，xⅠ[1，4]，ⅠhⅠ(x)＝4－x2164(x－2)(x＋2)令h(x)＝＝，xⅠ[1，4]，xxx2Ⅰ当1≤x＜2时，hⅠ(x)＜0，当2＜x≤4时，hⅠ(x)＞0，Ⅰh(x)在Ⅰ1，2)是单调减函数，在(2，4Ⅰ是单调增函数，ⅠhⅠ(x)min＝h(2)＝32，hⅠ(x)max＝h(1)＝h(4)＝36，Ⅰ当0＜a＜1时，有F(x)min＝loga36，当a＞1时，有F(x)max＝loga32.Ⅰ当xⅠ[1，4]时，F(x)≥2恒成立，ⅠF(x)min≥2，Ⅰ满足条件的a的值满足下列不等式组{Ⅰ，或{Ⅰ不等式组Ⅰ的解集为空集，解不等式组Ⅰ得1＜a≤42，a综上所述，满足条件的的取值范围是：1＜a≤42.专题三：数列与不等式的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.08年北京文20题(12分)08年湖北理21题(12分)列与不等式交汇的探索性问题、08年江西理19题(12分)中等难度，考查数列求和与不等式的交汇、08年全国卷Ⅰ理22(12分)压轴题，难说大，考查数学归纳法与不等式的交汇，等等.预计在2009年高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题.【考试要求】1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2．理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。4．理解不等式的性质及其证明．5．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．6．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．7．掌握简单不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│．【考点透视】1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、()和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.【典例分析】题型一ꢀ求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题(1)若函数f(x)在定义域为D，则当xⅠD时，有f(x)≥M恒成立Ⅰf(x)min≥M；f(x)≤M恒成立Ⅰf(x)max≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.11【例1】ꢀ等比数列{an}的公比q＞117项的平方等于第24a1＋a2＋…＋an＞＋＋…a1a21＋恒成立的正整数n的取值范围.an【分析】ꢀ利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a1与公比q之间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范围.【解】ꢀ由题意得：(a1q16)2＝a1q23，Ⅰa1q9＝1.111由等比数列的性质知：数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，要使不等式成立，ana1qa1(qn－1)[1－()n]＞1则须，把＝q18代入上式并整理，得q18(qn－1)＞q(1－)，1－qnq－1nqn＞q19，Ⅰq＞1，Ⅰn＞19，故所求正整数的取值范围是n≥20.【点评】ꢀ识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.n【例2】ꢀ（08·全国Ⅱ设数列{an}的前项和为Sna1＝aan+1＝Sn＋3nnⅠN*(Ⅰ)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅰ）若an+1≥an，nⅠN*，求a的取值范围．【分析】ꢀ第（Ⅰ）小题利用Sn与an的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅰ）小题将条件an+1≥an转化为关于n与a的关系，再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min求解．【解】ꢀ(Ⅰ)依题意，Sn+1－Sn＝an+1＝Sn＋3n，即Sn+1＝2Sn＋3n，由此得Sn+1－3n+1＝2(Sn－3n)．因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n1，nⅠN*,Ⅰ(Ⅰ)由Ⅰ知Sn＝3n＋(a－3)2n1，nⅠN*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn1＝3n＋(a－3)2n1－3n1－(a－3)2n2＝2×3n1＋(a－3)2n2，3an+1－an＝4×3n1＋(a－3)2n2＝2n2·[12·()n2＋a－3]，233当n≥2时，an+1≥an，即2n2·[12·()n2＋a－3]≥0，12·()n2＋a－3≥0，Ⅰa≥－9，22综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞]．【点评】nSn与an的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.题型二ꢀ数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例3】ꢀ已知数列{an}n项和为Sna3＝7S4＝24(Ⅰ)求数列{an}1(Ⅰ)设p、q都是正整数，且p≠q，证明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．2【分析】ꢀ根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n项公式和建立方程组即可解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅰ)小题利用差值比较法就可顺利解决.【解】ꢀ（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，依题意得，{，解得{，Ⅰ数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.n(a1＋an)（Ⅰ）证明：Ⅰan＝2n＋1，ⅠSn＝＝n2＋2n．22Sp+q－(S2p＋S2q)＝2[(p＋q)2＋2(p＋q)]－(4p2＋4p)－(4q2＋4q)＝－2(p－q)2，1Ⅰp≠q，Ⅰ2Sp+q－(S2p＋S2q)＜0，ⅠSp+q＜(S2p＋S2q)．2【点评】ꢀ利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.【例4】ꢀ(08·安徽高考)设数列{an}满足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，cⅠN*，其中c为实数.(Ⅰ)证明：1anⅠ[0，1]对任意nⅠN*成立的充分必要条件是cⅠ[0，1]；(Ⅰ)设0＜c＜，证明：an≥1－(3c)n1，nⅠN*；312（Ⅰ）设0＜c＜，证明：a12＋a22＋…＋an2＞n＋1－，nⅠN*.31－3c【分析】ꢀ第（1）小题可考虑用数学归纳法证明；第（2）小题可利用综合法结合不等关系的迭代；第（3）小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前n项和求和，再进行适当放缩.【解】（Ⅰ）必要性：Ⅰa1＝0，a2＝1－c，又Ⅰa2Ⅰ[0，1]，Ⅰ0≤1－c≤1，即cⅠ[0，1].充分性：设cⅠ[0，1]，对nⅠN*用数学归纳法证明anⅠ[0，1].(1)当n＝1时，a1Ⅰ[0，1].(2)假设当n＝k时，akⅠ[0，1](k≥1)成立，则ak＋1＝cak3＋1－c≤c＋1－c＝1，且ak＋1＝cak3＋1－c≥1－c≥0，Ⅰak＋1Ⅰ[0，1]，这就是说n＝k＋1时，anⅠ[0，1].由（12）知，当cⅠ[0，1]时，知anⅠ[0，1]对所胡nⅠN*成立.综上所述，anⅠ[0，1]对任意nⅠN*成立的充分必要条件是cⅠ[0，1].1（Ⅰ）设0＜c＜，当n＝1时，a1＝0，结论成立.3当n≥2时，由an＝can13＋1－c，Ⅰ1－an＝c(1－an1)(1＋an1＋an12)1Ⅰ0＜c＜，由(Ⅰ)知an1Ⅰ[0，1]，所以1＋an1＋an12≤3，且1－an1≥0，Ⅰ1－an≤3c(1－an1)，3Ⅰ1－an≤3c(1－an1)≤(3c)2(1－an2)≤…≤(3c)n1(1－a1)＝(3c)n1，Ⅰan≥1－(3c)n1，nⅠN*.12(Ⅰ)设0＜c＜，当n＝1时，a12＝0＞2－，结论成立.31－3c当n≥2时，由（Ⅰ）知an≥1－(3c)n1＞0，Ⅰan2≥[(1－(3c)n1)]2＝1－2(3c)n1＋(3c)(n1)＞1－2(3c)n1，a12＋a22＋…＋an2＝a22＋…＋an2＞n－1－2[3c＋(3c)2＋…＋(3c)n1]2[1－(3c)n]2＝n－1－2[1＋3c＋(3c)2＋…＋(3c)n1－1]＝n＋1－＞n＋1－.1－3c1－3c【点评】ꢀ席之地，复习时应引起注意.本题的第(Ⅰ)小题实质也是不等式的证明，题型三ꢀ求数列中的最大值问题(1)建立目标函数，通过不等(2)(3)利用条件中的不等式关系确定最值.n【例5】ꢀ(08·四川高考)设等差数列{an}的前项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为______.【分析】ꢀ根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项a1与公差d的不等式，然后利用此不等关系确定公差d的范围，由此可确定a4的最大值.n【解】ꢀⅠ等差数列{an}的前项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，Ⅰ{，即{，Ⅰ{，5＋3dⅠ≤a4≤3＋d，则5＋3d≤6＋2d，即d≤1.2Ⅰa4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值为4.【点评】ꢀd是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用.1【例6】ꢀ等比数列{an}的首项为a1＝2002q＝－(Ⅰ)设f(n)表示该数列的前nf(n)2的表达式；(Ⅰ)当n取何值时，f(n)有最大值．【分析】ꢀ第(Ⅰ)小题首先利用等比数列的通项公式求数列{an}的通项，再求得f(n)的表达式；第(Ⅰ)小题通过商值比较法确定数列的单调性，再通过比较求得最值.11【解】ꢀ(Ⅰ)an＝2002·(－)n1，f(n)＝2002n·(－)22|f(n＋1)|2002＝(Ⅰ)由(Ⅰ)，得，则|f(n)||f(n＋1)|20022n当n≤10时，＝＞1，Ⅰ|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|，|f(n)||f(n＋1)|20022n当n≥11时，＝＜1，Ⅰ|f(11)|＞|f(12)|＞|f(13)|＞…，|f(n)|2nⅠf(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，Ⅰf(n)的最大值为f(9)或f(12)中的最大者．f(12)200212·()66＝12002210Ⅰ＝20023·()30＝()3＞1，f(9)20029·()3621Ⅰ当n＝12时，f(n)有最大值为f(12)＝200212·()66．2【点评】ꢀ(1)(2)注意比较f(12)与f(9)的大小.整个解答过程还须注意f(n)中各项的符号变化情况.题型四ꢀ求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.【例7】ꢀ已知{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求证：数列{an}是等比数列；(Ⅰ)是否存在正Sk+1－2整数k，使＞2成立.Sk－2【分析】ꢀ第(Ⅰ)小题通过代数变换确定数列an+1与an的关系，结合定义判断数列{an}为等比数列；而第(Ⅰ)小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立的合理性.【解】ꢀ(Ⅰ)由题意，Sn＋an＝4，Sn+1＋an+1＝4，1由两式相减，得(Sn+1＋an+1)－(Sn＋an)＝0，即2an+1－an＝0，an+1＝an，21又2a1＝S1＋a1＝4，Ⅰa1＝2，Ⅰ数列{an}是以首项a1＝2，公比为q＝的等比数列.22[1―()n](Ⅰ)由(Ⅰ)，得Sn＝＝4－22n.1―Sk+1－24－21k－2＞2，得4－22k－223又由＞2，整理，得＜21k＜1，即1＜2k