平面向量的数乘运算讲课稿

精品文档精品文档精品文档精品文档平面向量的数乘运算知识点一：向量数乘运算：⑴实数九与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作九".①|阪|二|九阿;②当九〉0时，九a的方向与a的方向相同；当九＜0时，九a的方向与a的方向相反；当九二0时，九a=0.⑵运算律：①九（目a）二（九日）a.，②（九十目）日二九乙十目a；③九Q+6）=九M+九b.⑶坐标运算：设a=（x,y），贝|J九万二九（国丁）二（九x,九y）..Dava丰0/一xy=0时，向量a、b(b丰一xy=0时，向量a、b(b丰0)21设a=（x,j）,b=（x,y），其中b丰0，则当且仅当xy共线.TOC\o"1-5"\h\z知识点三：平面向量基本定理：如果e、丁是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这1 2一平面内的任意向量a，有且只有一对实数九、九，使a=X工十九7.（不共线的向量£、1 2 11 22 1r作为这一平面内所有向量的一组基底）2知识点四：分点坐标公式：设点P是线段PP上的一点，P、P的坐标分别是（x,y）,12 1 2 1 1（x,y）,当pp=XPF时，点P的坐标是（x1+'x2,y1：|y2].（当22 1 2 I1+九1+九）九=1时，就为中点公式。）知识点五：平面向量的数量积：⑴a•b=|a||b|cOS0Q中0,b牛0,0。＜0＜180。）.零向量与任一向量的数量积为0.⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a1boa•b=0.②当a与b同向时，a•b=同忖；当a与b反向时，a•b=-|a|b；a•a=a2=同2或同=ja，a.③⑶运算律：①a⑶运算律：①a•b=b•a；@(九a).b二九(a.b)=a.Q)；③(a+b)⑷坐标运算：设两个非零向量a二（\，y1），b=（x2,y2），贝Ua•b=x1x2+，1y2.设a、8,y1),b=(1y2)，则若a=(x,y),则同2=x2设a、8,y1),b=(1y2)，则y±bo>xx+yy=0.12 12设a、b都是非零向量设a、b都是非零向量4=(x,y),B=(x,y),U是a与b的夹角，1122a•bcosU=——-数学平面向量数量积的坐标表示同步达纲【同步达纲练习】一、选择题.1数学平面向量数量积的坐标表示同步达纲【同步达纲练习】一、选择题.1.下列各向量中，与a=(3,2)垂直的向量是(—Fb=(3,-2)b—Fb=(3,-2)b=(2,3)C.1b=(-4,6)D.=(-3,2).若a=(2,3),b=(-4,7)，则=(-3,2).若a=(2,3),b=(-4,7)，则a在b方向上的投影为(v13B.可v65C.丁D.<651 —V ——F.已知向量a=(3,-2),b=(m+1,1-m),若a±b，则m的值为()1A.51A.51B.-5C.-1D.14.已知向量4.已知向量Ia|=5，且a=(3,x-1),x£N,与向量a垂直的单位向量是(A.4

(5,

4-5)或(-53A.4

(5,

4-5)或(-53-5)3，5)43B.(-5,5)C.(-3,435)或(5D.(4，5.若a=(cosa,sina—*),b=(cosB,sinB),则(B.a//bC.(D.(aB.a//bC.(D.(a+b)/(a-b)6.已知a=(1,b=(-33+1,<3-1)，则a与b的夹角为(兀47.以A(2,5)兀兀47.以A(2,5)兀3兀2D.B(5,2),C(10,7)为顶点的三角形的形状是(A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.已知a=(-2,-1),b=（入，1）8.已知a=(-2,-1),b=（入，1）.若a与b的夹角为钝角，则人的取值范围是（）A.D.(-2，+8)1(-8,-2)B.(2，+8)C.(-,，+8)—F- -* —Ff9.已知a=（x1,y1）,b=（x2，y2）,则在下列各结论中为a•b=0的充要条件的是（）③口1③口1+学2=0④X1X2+yiy2=0A.①③ B.A.①③ B.②③10.已知a与b的夹角的余弦为-63，65A.(4，3)，(-12，5) B.(3，4)4)，(-5，12)C.③④ D.①④-I- T则a，b的坐标可以为（）（5，12） C.（-3，4），（5，-12）D.(-3，二、填空题—fe- -fc- -r—r.已知a=(4,3),b=(-1,2)，则a与b的夹角为,f -I- -Ir —.已知a=(3,-5),b=(-4,-2)，则a•b=..顺次连接A(3,-1)，B(1,2)，C(-1,1)，D(3,-5)的四边形是..以原点和点A（5,2）为顶点作等腰直角三角形OAB，NB=90°，则向量AB为.-b —-I- -=-f.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，分别求出当a+2b与2a-b平行和垂直时实数x的值.兀.已知a=(2,1),b=(-1,-1),c=a+kb,d=a+b,c与d的夹角是:，则实数k的4值.三、解答题1.已知a=(1,-2),b=(4,3)求⑴a2 (2)b2 (3)a•b(4)(3a+2b)•(a-3b) (5)a与b的夹角—ta- f(6)a在b上的投影.已知：点A(0,3),B(6,3),ADLOB,垂足为D,求点D的坐标..已知人(-2,3),正方形OABC,求点C、点B的坐标.【素质优化训练】.已知a=(-1,0),b=(1,1),c=入a+ub(入、u£R),若c±a，且Ic1=2,试求入、u的值及向量c的坐标.-a. — —* —■> -► -►.若a=(cosa,sina), b =(cosB,sinB),用Ika+b I='%：3 |a-kb |(k£R,kW0),试用k表示a•b.—fe- -fe- -fe--ft- f -ft-.已知〃=(-3,-2),b=(-4,k),若(5a-b)•(b-3a)=-55,求实数k的值..求与向量a=(v3,-1)和b=(1,,：3)的夹角相等，且模为v2的向量c的坐标..已知矩形ABCD的相对顶点A(0,-1),C(2,5),且顶点B到两坐标轴的距离相等，求顶点D的坐标.【生活实际运用】如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明(1)PA=EF (2)PA±EF

TOC\o"1-5"\h\z一 "2证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1,IOPI二人，则A（0,1）,P（—证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1,\o"CurrentDocument"22 22 22-2-入），E（1,—2—入），F（—2—入，0）— .2 22 Q<2；•PA=（--2~入，1--2-人），EF=（-2-人-1,-⑴IPA⑴IPAI22 222=（万人）2+（i—人）2二人2-%：2人+1IEFI<2 22 IEFI2=（2入-1）2+（2-入）2=人2-.V2入+1・・・IPAI2=IEFI2,故PA二EF2y2 、2v2（2）PA•EF=（--2-入）（-2-入-1）+（1--2-入）（--2-人）=0PA±EF APAXEF.【知识探究学习】已知4(0,2)5(0/),(0<@<^，在x轴的正半轴上求点C,使NACB最大，并求出最大值.解，设C(x,0)(x>0)则CA=(-x,a),CB=(-x,b)则CA则CA•CB=x2+ab.CA•CBcosNACB二——:——=7CA•CBx2+abyx2+a2tx2+b2令t=x2+ab

故cos/ACB=.:一ab(a-b)21 1 2、a当-二k〒即t=2ab时，cos/ACB最大值为」^.t2ab a+b当c的坐标为（%a,0）时2工ab/ACB最大值为arccos -a+b【同步达纲练习】一、1.C2.C3.B4.D5.c6.A7.B8.A9.D10.c2A、l.arccos-252.-273.梯形4.(--372)或(-2，-2)6.6.15.2，三、1.(1)a2=5(2)a2=25⑶a•b=-22a.-15 2(4)-121 (5)n-