微积分(上)复习资料-概念

微积分(上)复习资料—-概念复习步骤—-1。概念2.公式3.解题格式4.题型知识网络-—1。函数2。极限3。导数4。导数应用5。微分6。微分中值定理7。洛必达法则8.不定积分1。函数1。1邻域设有实数a及b,b〉0。｛xIIx—al｝〈b,为点a的b邻域，记为U(a,b)。若去掉点a,｛xI0<Ix-aI〈b｝为a的去心邻域.a—b a a+b1.2显函数和隐函数明确因变量和自变量，可用y=f(x)表示的函数称为显函数。反之不明确因变量和自变量,不可用y=f(x)表示，即只是表示x于y关系的函数隐函数。Tip： , -1,x〈1符号函数y=sgnx=0,x=1I1,x〉0取整函数y=[x]1.3有界性设f(x)在实数集D上有定义。若存在正数M,是对D中的任意x都有If(x)IWM,则称f(x)在D上有界，f(x)是D上的有界函数，M称为f(x)在D上的一个界.若不存在满足上述条件的M,则无界.2。极限2。/微列极限设数列｛%｝,常数九若当n-8,%一常数，则称该数列收敛于a或收敛数列,Uman=am称为极限。记作us 或处if%（nf8）若数列｛册｝没有极限，则称｛旬1不收敛,或称为发散数列N2枚被剧列你质性质1（唯一性）：收敛数列只有一个极限性质2（有界性）：有界是收敛数列的必要条件性质3（保号性）：若数列极限为正（或负），则该数列从某一项开始的所有项也为正（或负）。性质4：若数列收敛于a,则它的子数列也收敛于a。数列的任意一段数列称为子数列前剧极限设f（X）为区间D上的函数，A为任意值.若当x-M,f（X）一A,则称或。是f（x）limf（x）=A的极限，记作「刈或f（x）fA（Xf-X。）定理1limf（x）=A limf（x）=limf（x）=A的充要条件是】】T+g l——-g定理2limf（x）=A Hmf（x）=limf（x）=Aq 的充要条件是xxo a—x0总结：极限存在的充要条件是左右极限存在且相等2。“曲剧极限悔质limt（x）性质1（唯一性）:若』 存在，则极限是唯一的limt（x）性质2（局部有界性）：若L题 存在，则f（X）在M的某去心邻域有界limf（x）=A＞0（或＜0）性质3（局部保号性）：若工― ，则存在正数b,当0〈lx—Ml〈b时，有。）＞0（或＜o）limf（x）=A＞0（或＜0）推论1若xf。 ，则存在正数b,当O〈lx—硼。时,有8）＞2（或AhnifCx)=A>0(或WO)推论2若在xo的某去心邻域内fXM(或W0),且N5极限落在源则一-两个壹耍极限定理1(夹逼准则)设数列仲叶，｛6｝,｛同满足]iman=limbn=a(1)『gasK. , limCj]—(2)存在正整数No,当口>No时,曲玉瓦则数列｛5｝收敛,且…设函数f(x),g(x),h(x)ihnf(x)=Hmg(x)=A(1)Xflimh(x)=A(2)在犬。的某个邻域内，有f(x)Eh(x)£g(x),则定理2(单调有界准则)单调有界数列必有极限。2。6无穷小S无穷人无穷小定义：limf(K)=0若人刈 ，则称《X)为当XTK0时的无穷小。无穷小性质：(1)若⑻为无穷小,则f®,虱x),ctf⑻+的(X)为无穷小.(2)若f(x)为无穷小，虱X)为有界函数，则F(x),虱X)仍为无穷小。limf(x)二A1f(x)-A(3)衿叼 是一个当xtxu时的无穷小。无穷大定义：limf(x)=8若人刈 ，则称为当XTX0时的无穷大。1定理1：在自变量X的同一变化过程中,若及X)为无穷大,则丽为无穷小;反之若KM为无穷小，且「(刈至0,则为无穷大.N7无穷小的比较设f及g是在自变量X的同一变化过程中的无穷小，且小。。(1)若=0,则f是比g高阶的无穷小，或g是比f低阶的无穷大，记作f二o(g);f_(2)若1而看=1*°,则f与g是同阶无穷小,记作f=0(g)of特别地，若】如£=1,则f与g是等阶无穷小，记作f〜吼定理2：设厂打，gF,且"m3存在，则Hm*=lim/2。了曲照迷候你定义1limf(x)=fGo)设《X)在X0的某个邻域内有定义，若乂tm ,则称《X)在X0连续,并称X0为f(K)的连续点.定义2limAy=0设KM在我的某个邻域内有定义若网-。 ，则称y=©0在/连续.定义3若定义1中的XTX0具体化为KT'O一或XTM0+,支持则称f(X)在刈左连续或右连续。定理1©<)在对连续的充要条件是其左右极限存在且相等2.9间断点定义4设f(K)在却的某个去心邻域内有定义，若《对在知不连续，则称沏为f(K)的不连续点或间断点.据此，必有下列情况之一：(l)f(x)在区0无定义;limt(x)⑵及对在如有定义但尸刈 不存在；limf(x)limt(x)hf(x)(3)f(X)在如有定义，且XT切 存在，但「阳 。可去间断点：上述(1)(3)跳跃间断点：「；在耳的左右极限存在但不相等可去间断点和跳跃间断点统称第一类间断点，其特点是左右极限都存在其余间断点则称为第二类间断点，其特点是左右极限至少有一个不存在如：无穷间断点：皿的1震荡间断点：V=s也工在xrO时函数值在—1与1之间无限次的变动.2。勿迷候前剧的这点定理2(四则运算)若f(Q虱X)在刈连续，则其四则运算的结果也在“连续.定理3(复合函数的运算)如果口=00在即连续，y=g(u)在u0连续，且因二尺沏)，则了=g［f(创在沏连续。定理4(反函数的连续性)若V=可町在［&b］单调连续则x=f一1(刃在连续.推论1若Kx)在［冉b］连续,则f(x)在［冉b］有界。定理6(介值定理)若葭刈在瓜b］连续，且f(a)土f(b),则f(a)<口<f(b)或f(EL)AMAf(b)推论2(根的存在定理)若f(x)在3b］连续，且f(a)f(b)<0,则至少存在一个5E6力)，使f(8)=0.推论3在闭区间的连续函数必取得介于其最大值和最小值之间的任何值。3。导剧M。7导剧概念设y=t。)在沏的某个邻域内有定义，Ay +心x)-氏为)lim藐=lirn 嬴 若极限网―' 汽L0 ,则称f(K)在刈可导，并该极限称为K幻在刈的导数.若XTX0具体化为XTXo一或KTX0+,支持则称f(对在区0左极限或右极限，统称单侧极限.不」在"可导的充要条件是其左右极限存在且相等。若f(x)在区间I上的点都可导，则称f(x)是在区间I上的导函数，对于《X)在区间I上的每一个对应的导数记作"X)4或有时也写成了1K=沏或W1定理若f(x)在工0可导则它一定在对连续及M导剧在经济学的应用边际概念：设y=f(x)可导，则导数F(x)叫做边际函数。成本函数的导数叫做边际成本；收入函数的导数叫做边际收入；利润函数的导数叫做边际利润。函数的弹性：在经济学，y=f(x)的增量Ay称为函数在X的绝对改变量，导数代刈称为函数在X的绝对变化率。相对改变量丁与京之比的极限yX烟 ，表示在x函数y的相对变化率,X称为F=f(X)在x的弹性，记作"=画式"I在经济学，将需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性34德晶剧痛参剧方程的导剧隐函数：两边分别求导，有时可利用对数求导简化问题。{ dy_炉㈤dy/dt参数方程：设'--则其导数为底 "'1-1 "。y=m(t)4导数的应用函数单调性定理1：设函数在闭区间I连续，在开区间I可导.若在开区间I内,1，那么二XI在闭区间I单调递增；反之在开区间I内n："■.[,那么]；XI在闭区间I单调递减。定理2。3:设曲线\-H、)在闭区间I连续，在开区间I可导。若在开区间I内（单调递增），那么Kx）在闭区间I是凹的；反之在开区间I内fOO”<0（单调递减），那么Kx）在闭区间I是凸的。定义：拐点是曲线凹凸部分的分界点.推论：由于拐点是曲线凹凸部分的分界线点，所以在拐点的两侧fOO”异号，在拐点处f（x）”二0或不存在.函数的极值驻点（稳定点）定义：使［Go）=0的点沏。定理1:设f（x）在刈处可导，且取得极值，则f（x），=0.定理2（第一充分条件）：设葭刈在益处连续，且在xo的某个去心邻域内可导。若当xE（x0-&却）时，>0,而当E（刈两+6）时，f（x/<0,则及外在处处取得最大值;反之取得最小值。定理3（第二充分条件）：设《X）在即处有二阶导数，且六刈）二0,F'（xo）H0,则当FGo）之。时，葭x）在xo处取得最大值；反之取得最小值。tip：应注意以上都是充分条件,要确定极值还需判断该点的定义.ActdcrK=HillTT=37曲率（经管系不要求掌握）：用来描述曲线弯曲程度， 依加配+Moa+Aot设¥=©0在乂的曲率为四1＜手。)，在M的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D,使11口阳=正=口。以D为圆心，p为半径作圆，该圆叫曲率圆，D叫曲率中心，p叫曲率半径。由此可见，p越大，曲率越小.5微台定义L设函数KM在孙的某个邻域有定义，对p式町+AXEUg)),若对应V=f(刈+⑥)—K沏)能表示成Ay=A故+。(故)，其中A是与心无关的常数,则称Kx)在刈可微,并称AAk为f(x)在孙的微分，记为SIxk域df(K)Ix=犯即dy|『二AAX由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于旅的高阶无穷小量，由于dy是*。的线性函数,所以当AH0时,也说微分dy是切的线性部分。定理：f(x)在知可微的充要条件是f(x)在刈可导，并且有如下关系：dyIX=xo=『(幻Ax若y=f(x)在区间I上都可微,则称f(x)为I上的可微函数,y=fOO在I上的任一点的微分记作dy=f(X)Ax.它不仅依赖于Ax,而且也依赖于X。特别当y=x时，有dy=dK=An,这表示自变量的微分就等于自变量的增量.于是有dy=f(x)dx,dy式到=盛(微商).几何意义：

AxX。+AxF=f(x)的图像是一条曲线，当自变量x由K。变到刈+A克时对应点M变到NJQ-Ax,NQ=Ay,迹昨曲线切缄T,它的倾斜角为，则QP二MQTan(x=&S,dy=QPO由此可见，对于可微函数尸f⑼当Ay是F=f(x)上的点的纵坐标的增量时，dy就是曲线切线上点的纵坐标的对应增量。当周很小事加-叫比加|小得多。因此在M的邻近，可以用切线线段来近似代替曲线线段。6微合中值定理6。/罗尔尼理若F=KX)满足(1)在闭区间12修上连续；(2)在开区间但切内可导；⑶f⑶=f(b)使得=0则在出h)内至少有一点＜5＜外,由上面三个条件得在国b)必有一点5使F+⑹=f一⑹=0使得=0tip：罗尔定理的三个条件是充要非必要的。若同时满足三个条件，结论一定成立;反之,若有一个不满足,则不能保证结论一定成立(及函数图像就可能不存在水平切线)。ab bx6,2拉格朗日中他定理若y=KM满足(i)在闭区间⑶网上连续;⑵在开区间回切内可导;则在&b)内至少有一点56<6vb),使得f(b)-f(a)=f'(0(b-a),也可写成■ f(h)・f(a) . f(b)—f{3)f⑼= ，则左端f⑹表示开区间⑶h)内行处局部变化率，右端S-a)表示闭区间以可上整体变化的平均变化率.于是该公式反映了两者的关系，所以拉格朗日中值定理是连结局部与整体的纽带。由上述定义得出罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况,所以我们可以设想对y=f(X)在|a,b］作一次变形，使其符合罗尔定理。由于AB的斜率是，故f(b)-fCa)z、考虑将9=©0上的点沿竖直方向逐个下移一个x的线性量山-q。一司,这时f(b)-f(a)端点A不变,端点B移动到于是Y=f(X)变形为甲(幻=寅冷-〔一)然a)。推论1：若Kx)在区间I上的导数恒为零，那么Kx)在区间I上市一个常数。推论2：若f(x)和Kx)在区间I上可导，且底幻三g1。),在在I上有fOO=g(x)+C为某一常数。6。M村曲中假定理设参数方程X=g(x)Y=f(x),若f(Q和虱X)满足:(1)在闭区间】；可上连续;⑵在开区间⑶h）内可导；⑶式工）在侬⑼内每一处都不为零，则在as内至少有一点m使得炯-忖二⑨ F9）式时-£⑶一g⑹.虱昉-息口）表示弦AB的斜率，式5）表示点8的斜率.7洛奥达法则07。76式W，定式定理1设f。）和虱x）满足limf（x）=limg（x）=0（l）Xf口 A。 ；（2）在却的某个去心邻域内,f'00和g'⑶都存在,且＞（外注0；f（x）⑶A与旦河存在（或为无穷大），向丽 11m声二bm八则一殉的）存在（或为无穷大），且「不旦㈤xfJ⑻O07。2；；式定式定理2设寅工）和武x）满足limf（x）=limg（x）=™（l）Xf口 K-q ;（2）在尤。的某个去心邻域内，*K）和H⑶都存在,且EG）手0；（3）h频V⑴存在（或为无穷大）,卜f» 烟「i,W山函 l]m两二bm八则一珈酸）存在（或为无穷大），且一沏驱）kfJ⑻ZM其它类型W，定式具体做法：（1）对乘积形式未定式58,和差形式未定式8±8,可通过恒等变。8 0形成6式和石式；（2）对嘉指形式未定式0°,178°,则通过取对数方式，化成6式oo和圆式