数列经典例题

类型一：迭加法求数列通项公式1,在数列《%＞中，司=一1，％+1=4+筋，求4解析：,.・%+k4+如，当是22时，-£i1=2x14 5=3一厘2=2x25%一%=2父35厘”一厘#“=2M(霓—1)将上面同一1个式子相加得到:%-%=2"1+2+3+一..+但-1)广2工■-i ?,小二叼+内一抬-1(a2),当以=1时，的=T=(TyTT符合上式故V伽Eg总结升华：1,在数列&)中，％1,在数列&)中，％+i_/=/缶)，若/⑸为常数,则数列gj是等差数列；若」侬)不是一个常数，而是关于M的式子，则数列SJ不是等差数列.2.当数列的递推公式是形如％2.当数列的递推公式是形如％+1=4+,(⑷的解析式,而,(1)+/(2)+--JW的和是可求的，则可用多式累(迭)加法得怎.举一反三:【变式1】已知数列(%),的=2,%+1=%+为+2,求怎321【答案】 2 25£犷)【变式2】数列(/)中为=1, 求通项公式次〜【答案】4"-1加方+).类型二：迭乘法求数列通项公式©^2.设区》是首项为1的正项数列，且6+1)$L*+七+凸=。6=L23…),求它的通项公式％解析：由题意伊十°%网-%+*4=0〉=L2旦…)■（:%♦1+4〉[5+1）/+1-甩％]=03+1）/网-，&二0_裾用+M+1-叫=0阳+1二彷/

5% 鸡1 %%-——X X---X—・•・当科2时，％」/〃一1艘一2斯部一111=11制5当用二1时，的=1符合上式_1*n+、)■■■总结升华：1,在数列口)中，%=/(0明,若/⑻为常数且4H°,则数列&＞是等比数列；若/㈤不是一个常数，而是关于总的式子，则数列不是等比数列.2.若数列有形如%=/(用一4T的解析关系，而『⑴J(⑷的积是可求的，则可用多式累(迭)乘法求得怎.举一反三:「、 *1=一4【变式1】在数列I盘,中， 2,相_1 t七个、一7%T(内三芍线十15求龙.【答案】【变式2】已知数列SC中，的=2,%+「%5值匕N+),求通项公式即.建4+1—4【答案］由《+1—4 2得口2=2+1=・•・当理之2时,叫”i 的町不-2+2期—1+2

题一2n—1=21|月一2月一1当.二］时，口1=用（〃+D（用三M）类型三：倒数法求通项公式3.数列中，可二3.数列中，可二3心一&般风..心犷］—=5—=5%即可.思路点拨：对％―/■］=5%/+1两边同除以/一,+1得4+1__q ———一.解析：；%—%+L旷%+1,...两边同除以4R+1得&41题成等差数列，公差为*5,首项的3151435总结升华:.两边同时除以％.%+】可使等式左边出现关于4和4+1的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列SC{1} {1} {1},.的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列明，而%恰是等差数列其通项易求，先求%的通项，再求的通项..若数列有形如,（%，％」%%-】）二°的关系，则可在等式两边同乘以先求出右，再求得4举一反三:【变式1】数列14）中，_2［答案］跖甩十］（网£凶.）【变式2】数列SC中，为二1J_1【答案】％2题—］伊匕如）.类型四：待定系数法求通项公式4,已知数列&＞中，/二2（册十］+4）=万（4+/）法一：设 3 ,2——丁即原式化为 3设4=4.3,则数列《机1=^-3=（-2）x（12 1/十「三4二1法二：： 3 ①2%一三％=15之2）5 （2%+L-4=力由①一②得： 3设4=%+「%,则数列（年二阳十「％二|尺（|'）'.|%十1-%二勺跖+I二,S七犷）%+2 ，求4.犷），求乩2 ।। =—av+11 花七\ ?X -心, j ，求〜,解得达二一3乐一可,为等比数列，且月二值「3=-22）1:（%一4-1）1大）为等比数列口二守法三:A=3-3x(-叼=|厘1+1 %=|%+1= +1 厘4=|%+1=-LH 1--+13=3-3x(—B3总结升华:1.一般地，对已知数列（怎）的项满足到=R,%」=j+d（51为常数，0J）,则可设%+1+£=以/+£）得%+1=14+值一\利用已知得值—二d即口一1,从而将数列a:转化为求等比数列出一°的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2.若数列有形如%+i=无（3b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得4举一反三:【变式1】已知数列中可=$1 、怎期+£=3（4十0【答案】令 32-t3管"即=6{%-6）为等比数列,且首项为厘「8二-11公比3【变式2】已知数列【变式2】已知数列SG满足加在+3,而且的=1,求这个数列的通项公式/

a【答案】V设血％■,则%1=3%+\即句+i+1=3凤+1)^^1=—+1=2，数列（纥十0是以 ％ 为首项，3为公比的等比数列,1.224-12x?-1.224-12x?-1类型五：凡和4的递推关系的应用—缶&曰 THHr-口£川=44+2（程=«1=1▼5.已知数列' 中，/是它的刖n项和，并且M+1翌I ,1⑴设4=4+1—2%5=1,2,3,一），求证：数列（为）是等比数列；⑵设“2aH23,…）,求证：数列（《）是等差数列;⑶求数列（&）的通项公式及前n项和.解析：(1)因为凡+。=4%+2,所以况+2=44+]+2以上两式等号两边分别相减，得M+3一况+1=（4%+]+2）-©4+2）=4/7-4%（不=12,3,…）即%+L4%+i-4%,变形得%+厂2%+i=2区♦】一羽）因为2二%= 所以4+i=24由此可知，数列侬）是公比为2的等比数列.出号二的十町=4%+21]=1田 ， ，所以均一所以瓦二町一物二乙(2)p-H一呼(LT__3将与二32i代入得Gi.相=123--)由此可知，数列（a）是公差为3的等差数列，它的首项52万,TOC\o"1-5"\h\z13 35=—十—(超一1)=-«故24 4_3 1_1⑶J二厂一厂j如7,所以％="=当n22时，区+1二例+2二1交-力2*+2Y二匹7-W+2二亥-4"一】+2由于号二由二1也适合此公式,玷匚匚卡（玛）1vl4 TKHn八T曰&二（炎一4）爸一1+2故所求'的刖n项和公式是H' '总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一反三:【变式［］设数列（4）首项为1,前n项和用满足登&一⑵+3）兄.1二至«>0涉-2》已出）（。求证：数列是等比数列;_ =/（—）（«=2,3,4,-0（2）设数列1火）的公比为,门，作数列使自二、 州-1 ,求值金的通项公式.【答案】号二司+a2=1+盯%+3弘与一⑵+3»］=31=>宠口+町）一（21+多%=支n%二 电_2£+3■ai电TOC\o"1-5"\h\z,, 5式呢⑵十河一片裁②=> -(2£+ 1=0①一② "

至二三5二23,4,5…)%.1兔TOC\o"1-5"\h\z,, 5■+3，SJ是一个首项为1公比为龛的等比数列;2Z+3 2 1(2) =—+-(2)龛 3 t)=-+^]--1!)!-1M-12⑴是一个首项为1公比为3的等差比数列入।2,/2 1d=1+—C?2-D=—«+-八-3【变式2】若由二2,之屋二初凡一41之2）,求工.［答案］当n22时，将/=用一恿_1代入21=2a^K-aOS—iG整理得应■「凡=之凡一.t两边同除以兄一工.得凡凡两边同除以兄一工.得凡凡T=2（常数）是以团为首项，公差*2的等差数列,5=,+5_1是以团为首项，公差*2的等差数列,5=,+5_1川=£+(剧—1)23MM 14甩一34片一3r、 r、 Sa=【变式3】等差数列I%'中，前n项和若以二2一%求数列也）的前n项和％..<4）为等差数列，公差设为次,金二s-母二. 二.+%+2%―@」.LKI-"M，'2'" 2T~,，4%=Q%-d+21d■,，绛一0/二省2-d)■,，4=0凡』"y」、TOC\o"1-5"\h\z若之，则2 2 ,.f.LJ1+11的二显二(F-),■ 乙■ 5口1=1a=l+(?a-1)-2=2«-1w•• J,Tn二型+4+与+…+与二3/2+$><21+7艾/+…+3+1)"因』2F在+九2"+伽+1).泮 ②①一②得Y二3父2+2啰+2F42)-Q+1).2川=2+2口+2三+24+...2H41-(2^+l)•2加,q=2B+1(2^+1)-2B+-2+2=2a+1(2^-1)+2类型六：数列的应用题-6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m,在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路点拨：本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和.解析：设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第x面旗处，共走路程为了1°卜一°,回到第二面处再到第K面处是20卜一°）,回到第三面处再到第X面处是2。卜一七5从第K面处到第G+1）面处取旗再回到第式面处的路程为2°,从第K面处到第+2）面处取旗再回到第工面处,路程为20X2,

总的路程为:S= —1)十2。(e—2)十 —3)十—H20x2+20xl+20十2。芯2十—H20x(13—芯“(x-l)(x-2)m+20x- -+20x- =10[Cx-l)+(x-2)(x-l)+a3-xX14-x)]=1。(2汽2—29^+183)31154二？时，S有最小值*血阳）答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短.总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前黑项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.举一反三：【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的9倍，则该企业2007年年度产值的月平均增长率【答案】D；解析：从2月份到12月份共有11个月份比基数（1月份）有产值增长，设为K,则（1+婿寸”.T【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为4「%,到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税（税率为卯%）共计1突3元，则该人存款的本金为（A.万元B.2万元C.3万元D.万元【答案】B；解析：本金二利息/利率，利息二利息税/税率■利息二W.8-2。%二日34（元）,=本金二诙二2。。。。（元）【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的盟个月内累积的需求量应（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过L5万件的月份是（）5月、65月、6月6月、7月C.7月、8月D.9月、10月【答案】C；解析：第抬个月份的需求量超过1.5万件，则恙_*t崎C2加-储-5)-3，1(4-1)-(那-1『-5/15解不等式，得加T—+34>口,即6<"9.【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？(即年平均费用最少)【答案】设汽车使用年限为内年，/,)为使用该汽车平均费用./(w)=1［10+0.9?2+(0.2+0.4+---+0.2w)10+1>1+2=31010+1>1+2=31010当且仅当10蓦,即加二10(年)时等到号成立.因此该汽车使用10年报废最合算.【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.(1)分别求2007年底和2008年底的住房面积；(2)求2026年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位，且精确到)【答案】2007年底的住房面积为1200(1+5%)—20=1240(万平方米),2008年底的住房面积为1200(1+5%)2—20(1+5%)—20=1282(万平方米)，.,.2007年底的住房面积为1240万平方米；2008年底的住房面积为1282万平方米.2007年底的住房面积为［1200(1+5