福建省南平市2024-2025学年高二数学下学期期末质量检测试题含解析

福建省南平市2024-2025学年高二数学下学期期末质量检测试题（考试时间：120分钟满分：150分）留意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要仔细核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效.第I卷（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，利用交集定义可求得集合.【详解】因为，因此，.故选：B.2.若命题：，，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】依据命题的否定的定义推断．【详解】存在命题的否定是全称命题，命题的否定是：，．故选：D．3.若函数，则（）A. B.8 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求，再求【详解】因为，所以，所以，故选：C4.设向量，，则与的夹角等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用向量的夹角公式求解即可【详解】设与的夹角为，因为，，所以，因为，所以，故选：A5.若，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，借助中间量0,1可得出答案.【详解】由指数函数的单调性可得，即，即，由对数函数的单调性可得所以故选:C6.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由商数关系化为正切，然后代入已知计算．【详解】，故选：A．7.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，若碳14含量与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.若2024年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的85%，则可推断该文物属于（）参考数据：参考时间轴：

A.宋代 B.唐代 C.汉代 D.战国时期【答案】B【解析】【分析】依据半衰期的定义可求，进而结合对数的公式即可求解.【详解】由题意可知：经过5730年衰减为原来的一半，所以，故，因此，由此解得，，由此可推断该文物属于唐代，故选：B8.若函数在区间上有且仅有个零点，则的取值范围为（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可求得的取值范围，结合已知条件可得出关于的不等式，求出的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】因为，当时，，由，可得，因为函数在区间上有且仅有个零点，则，解得，则，所以，，所以，.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.关于的绽开式，下列结论正确的是（）A.全部二项式系数和为 B.全部项的系数和为C.二项式系数最大的项为第6项 D.常数项为第6项【答案】AB【解析】【分析】利用二项式系数和公式推断A；利用赋值法推断B；利用二项式系数的性质推断C；利用二项绽开式的通项推断D.【详解】对于A，全部二项式系数和为：，A正确；对于B，令，则全部项的系数和为，B正确；对于C，由二项式系数的性质可知二项式系数最大项为，此时应为第项，C错误；对于D，由二项绽开式的通项公式得：，令，解得，常数项应为第项，D错误.故选：AB.10.甲、乙两个袋子中各装有个大小相同的小球，其中甲袋中有个红球，个白球和个黑球，乙袋中有个红球，个白球和个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事务、和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事务表示从乙袋中取出的球是红球，则下列结论正确的是（）A. B.C.事务与事务相互独立 D.、、是两两互斥的事务【答案】BD【解析】【分析】利用全概率公式可推断A选项；干脆写出、，可推断B选项；利用独立事务的定义可推断C选项；利用互斥事务的定义可推断D选项.【详解】对于AB选项，，，，，，由全概率公式可得，A错B对；对于C选项，因为，C错；对于D选项，因为，，，故、、是两两互斥的事务，D对.故选：BD.11.若，，函数的图象过点，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用对数函数过可得，利用基本不等式可依次推断ABD；依据指数函数单调性可推断C.【详解】因为过点，所以，即，又，，所以，，对于A，（当且仅当时取等号），，A错误；对于B，（当且仅当时取等号），B错误；对于C，，因为，所以，所以，即，C正确；对于D，（当且仅当时取等号），D正确.故选：CD12.若函数，则（）A.是偶函数B.的单调递增区间是C.把函数的图象上全部点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的图象关于直线对称D.若函数与图象的交点为，，…，，则【答案】BCD【解析】【分析】由二倍角公式、诱导公式化简函数，利用正弦函数奇偶性推断A，利用正弦函数单调性推断B，由平移变换得出的表达式，代入求值后推断C，作出和的图象，可确定它们在上交点个数，再结合对称性可求得，从而推断D．【详解】，，为奇函数，A错；由得，即函数增区间，B正确；把函数的图象上全部点向右平移个单位长度，得到函数的图象，，，所以是图象的一条对称轴，C正确；，由是奇函数，知的图象关于对称，又的图象也关于点对称，所以，图象的交点关于对称，作出和的图象，由图象可知它们在上有8个交点，所以．D正确．故选：BCD．第II卷（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数是幂函数，则实数______.【答案】1【解析】【分析】依据幂函数定义列方程求解可得.【详解】因为是幂函数，所以，解得.故答案为：114.有一批同规格的产品，其中50%由甲厂生产，25%由乙厂生产，25%由丙厂生产，若甲、乙、丙三厂生产的产品次品率分别为2%，3%，4%.现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为______.【答案】##【解析】【分析】利用全概率公式干脆求解．【详解】解：设，，分别表示甲、乙、丙厂生产的产品，表示取到次品，则，，，，，从中任取一件产品取到次品的概率为：，故答案为：．15.若函数的值域为，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分，和三种状况探讨，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再依据题意列出不等式，从而可得出答案.【详解】解：当时，，当时，，，，，则此时函数的值域不是，故不符合题意；当时，，，，，则此时函数的值域不是，故不符合题意；当时，，，，，因为函数的值域为，所以，解得，综上所述实数的取值范围是.故答案为：.16.等腰直角的斜边的端点分别在，的正半轴上移动（点与原点在两侧），，若点为中点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】设，用的正余弦表示出点C，D坐标，结合向量模的坐标表示及三角函数性质求解作答.【详解】如图，设，则，线段中点，，，则有，，，由得，于是得，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及图形上的点改变引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的改变相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集，集合，，（1）求，（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式得集合M，按集合的交并补运算即可；（2）利用集合间的包含关系，列不等式求解.【小问1详解】解：由得，所以由得，所以【小问2详解】解：依据集合得，解得18.已知函数为奇函数（为常数）.（1）求的值，并证明函数的单调性；（2）解不等式【答案】（1）1，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义式求解的值或者特别函数值对称求解，再利用单调性定义法证明函数的单调性；（2）由（1）中单调性，列不等式求解即可.【小问1详解】解：解法一：由为奇函数，得即，求得解法二：由为奇函数，得，即，求得，经检验：为奇函数证明：，且有由得于是，所以，函数在上单调递增【小问2详解】解：由（1）得函数在上单调递增，由得，解得.19.某地区政府为了增加某种农产品的销售量，激励居民主动参加网络销售的活动，征集部分居民参加网络销售的意愿.（1）随机选取了部分居民进行调查，被调查的男性居民30人，女性居民20人，其中男性居民不喜爱网络销售的占男性居民的，女性居民不喜爱网络销售的占女性居民的，依据的独立性检验，能否认为该地区居民喜爱网络销售与性别有关联？（2）若该地区通过网络销售的方式销售此农产品，日销售量（千克）与网络销售人数（人）满意回来直线方程，数据统计如表：网络销售人数（人）23456日销售量（千克）24294146已知，，，依据所给数据求，并预料当网络销售人数为10人时，该地区这种农产品的日销售量.附：（1），（2）临界值表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（3）最小二乘估计式：，【答案】（1）喜爱网络销售与性别有关联（2）60，93.4千克【解析】【分析】（1）完善列联表，计算，与临界值比较可得；（2）依据题意求出线性回来直线方程，由求出，代入回来方程得预料值．【小问1详解】结论假设为：喜爱网络销售与性别没有关联依据题意，列出的列联表如下：是否喜爱性别喜爱不喜爱合计男性102030女性15520合计252550依据列联表中的数据，经计算得到，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱网络销售与性别有关联，此推断犯错误概率不大于0.005【小问2详解】由表中数据可知，，∴，∴，，∴回来直线方程为.当时，所以当网络销售人数为10人时，该地区这种农产品的日销售量大约为93.4千克.20.某学校为落实双减政策，丰富学生的课外活动，安排在校内内增加室外活动区域（如图所示），如图，已知两教学楼以直线，表示，且，是过道，是，之间的肯定点路口，并且点到，的距离分别为2，6，是直线上的动点，连接，过点作，且使得交直线于点（点，分别在的右侧），设（1）写出活动区域面积关于角的函数解析式；（2）求函数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）结合三角函数在三角形中的应用，处理边角关系，可得出解析式；（2）利用三角恒等变换，转化为正弦型三角函数求最值即可.【小问1详解】解：依题意得：点到，的距离分别为2，6即，在中，，，∴即，∴，∵，∴，在中，，，即，，∴即；【小问2详解】解:由（1）知，设∵，∴∴，∴，∴∴函数的最小值.21.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产状况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

（1）依据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量和样本平均值；（2）由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值听从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率；（3）从该流水线上任取2件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列和数学期望.附；若，则，，【答案】（1）12（件），501.75（2）0.97725（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解；（2）依据正态分布的对称性即可求解；（3）依据二项分布的概率公式即可求解分布列以及期望.【小问1详解】由频率分布直方图可知，∵质量超过505克的产品的频率为，∴质量超过505克的产品数量为（件）样本平均值或者样本平均值或者样本平均值【小问2详解】由题意可得，则，则该批产品质量指标值的概率：或者【小问3详解】依据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看二项分布.故，质量超过505克的件数Y可能的取值为0，1，2，且∴，∴，，，∴的分布列为012的均值为或者22.的角，，所对的边分别为，，，点在上，（1）若，，求；（2）若是的角平分线，，求周长的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三