2025届高考数学一轮复习近8年真题分类汇编专题2基本不等式

PAGEPAGE1专题2—基本不等式考试说明：1、了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简洁的最大值、最小值问题高频考点：1、利用基本不等式求最大值、最小值问题；2、以函数应用题为载体，结合新背景考查基本不等式的实际应用。在高考中本专题一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现在解答题的某一问中，有肯定的难度。同学们在学习过程中留意总结题型及其方法。典例分析1．（2024•上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．2．（2024•乙卷）下列函数中最小值为4的是A． B． C． D．3．（2015•上海）已知，，若，则A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值4．（2015•福建）若直线过点，则的最小值等于A．2 B．3 C．4 D．55．（2015•湖南）若实数，满意，则的最小值为A． B．2 C． D．46．（2014•重庆）若，则的最小值是A． B． C． D．7．（2013•山东）设正实数，，满意．则当取得最大值时，的最大值为A．0 B．1 C． D．38．（2024•天津）已知，，且，则的最小值为．9．（2024•江苏）已知，则的最小值是．10．（2024•天津）设，，，则的最小值为．真题集训1．（2013•福建）若，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，2．（2012•浙江）若正数，满意，则的最小值是A． B． C．5 D．63．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的来回时速分别为和，其全程的平均时速为，则A． B． C． D．4．（2024•山东）（多选）已知，，且，则A． B． C． D．5．（2024•上海）若，，且，则的最大值为．（2024•天津）已知，，且，则的最小值为．（2017•天津）若，，，则的最小值为．（2011•湖南）设，，且，则的最小值为．（2014•浙江）已知实数，，满意，，则的最大值是．10．（2011•浙江）设，为实数，若，则的最大值是．11．（2011•浙江）若实数，满意，则的最大值是．（2011•重庆）若实数，，满意，，则的最大值是．典例分析答案1．（2024•上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．分析：利用恒成立，可干脆得到成立，通过举反例可解除．解答：解：．明显当，时，不等式不成立，故错误；．，，，故正确；．明显当，时，不等式不成立，故错误；．明显当，时，不等式不成立，故错误．故选：．点评：本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．2．（2024•乙卷）下列函数中最小值为4的是A． B． C． D．分析：利用二次函数的性质求出最值，即可推断选项，依据基本不等式以及取最值的条件，即可推断选项，利用基本不等式求出最值，即可推断选项，利用特别值验证，即可推断选项．解答：解：对于，，所以函数的最小值为3，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到，所以，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为4，故选项正确；对于，因为当时，，所以函数的最小值不是4，故选项错误．故选：．点评：本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在运用基本不等式求解最值时要满意三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．3．（2015•上海）已知，，若，则A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值分析：依据基本不等式的性质推断即可．解答：解：，，且，，有最小值，故选：．点评：本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．4．（2015•福建）若直线过点，则的最小值等于A．2 B．3 C．4 D．5分析：将代入直线得：，从而，利用基本不等式求出即可．解答：解：直线过点，，所以，当且仅当即时取等号，最小值是4，故选：．点评：本题考查了基本不等式的性质，求出，得到是解题的关键．5．（2015•湖南）若实数，满意，则的最小值为A． B．2 C． D．4分析：由，可推断，，然后利用基础不等式即可求解的最小值解答：解：，，，（当且仅当时取等号），，解可得，，即的最小值为，故选：．点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简洁应用，属于基础试题6．（2014•重庆）若，则的最小值是A． B． C． D．分析：利用对数的运算法则可得，，再利用基本不等式即可得出解答：解：，，．，，，．，，则，当且仅当取等号．故选：．点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．7．（2013•山东）设正实数，，满意．则当取得最大值时，的最大值为A．0 B．1 C． D．3分析：依题意，当取得最大值时，代入所求关系式，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：，，又，，均为正实数，（当且仅当时取“”，，此时，．，，当且仅当时取得“”，满意题意．的最大值为1．故选：．点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到是关键，考查配方法求最值，属于中档题．8．（2024•天津）已知，，且，则的最小值为4．分析：由，利用基本不等式即可求出．解答：解：，，且，则，当且仅当，即，或，取等号，故答案为：4点评：本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解实力，属于中档题．9．（2024•江苏）已知，则的最小值是．分析：方法一、由已知求得，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值；方法二、由，运用基本不等式，计算可得所求最小值．解答：解：方法一、由，可得，由，可得，，则，当且仅当，，可得的最小值为；方法二、，故，当且仅当，即，时取得等号，可得的最小值为．故答案为：．点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算实力，属于中档题．10．（2024•天津）设，，，则的最小值为．分析：利用基本不等式求最值．解答：解：，，，则；，，，由基本不等式有：，，，故：；（当且仅当时，即：，时，等号成立），故的最小值为；故答案为：．点评：本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．真题集训答案1．解：，变形为，即，当且仅当时取等号．则的取值范围是，．故选：．2．解：正数，满意，当且仅当时取等号，，即的最小值是5．故选：．3．解：设小王从甲地到乙地按时速分别为和，行驶的路程则综上可得，故选：．4．解：①已知，，且，所以，则，故正确．②利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，，且，所以：，，故正确．③，故错误．④由于，，且，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故正确．故选：．5．解：，；故答案为：6．解：，，且，可得：，则，当且仅当．即时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．7．解：【解法一】，，，，当且仅当，即，即，或，时取“”；上式的最小值为4．【解法二】，，，，当且仅当，即，即，或，时取“”；上式的最小值为4．故答