河海大学微积分试卷及答案

第第#页共8页（1分）（1分）（2分）Iny=cscxInx两边对x求导数，得E二-cscx•cotx•inx+1cscx,,ry=xcscx-cscx•cotx•inx+1cscx.（4分）（2分）1+——一1 (+（3分）1+ f 1+L2Vx+<xI2\,，，x（4分）五（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）解：由导数的定义，得limf(ax)-f(bx))limx-0 x x-0f(ax)-f(0)-(f(bx)-f(0))（3分）二alimf(ax)-f(0)-blimfb)-f(0)

x-0 ax x-0 bx（6分）=af'(0)-bf'(0)=a-b.（8分）六（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）解：方程两边取对数，得1. 1, 、-21nx-21ny=xy2,两边取微分，得（3分）1dx1dy =y2dx+2xydy,2x2y（6分）解得(y+2xy3)

dy= dx4x2y2+x（8分）七、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）解：（2分）（4分）XnXn-1（8分）(1)(n-2)_,n(n-2)!一=(-1)(n-2) 八、（请写出主要计算步骤及结果解：(1-x)e-x,y'=p,(1+x)ex,x>0,x=0x<0.令y''=0解得x=-2, x=2,12共8分.)(x-2)e-x,不存在,(x+2)ex,x>0,x=0,x<0.（3分）（4分）<0，图像下凹;xe(-2,0)时y''>0，图像上凹;xe（0,2）时y"<0，图像下凹;xe(2,+8)时y">0，图像上凹;（6分）函数的拐点为(-2,-2e-2), (2,2e-2), (0,0).（8分）九、应用题（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）解：（1）需求价格弹性为：丝=丝2p=-2EpQ（P）（1分）总利润函数为L(Q)=R(Q)-c(Q)=Q•p(Q)-c(Q)=100Q1/2-100-Q（2分）L'(Q)=50Q-1/2-1,L"(Q)=-50Q-3/2,由L'(Q)=0解得TOC\o"1-5"\h\zQ=2500 (3分)0且在这一点处的二阶导数值小于0，因此这一点是极大值点，也是最大值点，此时的价格为p=2. (4分)0(2)新的税收政策出台后厂商的总利润函数为L(Q)=R(Q)-C(Q)-T=100Qi/2-100—2Q (5)L'(Q)=50Q-1/2-2, L"(Q)=-50Q-3/2,由L'(Q)=0解得Q=625 (7分)1且在这一点处的二阶导数值小于0，因此这一点是极大值点，也是最大值点，此时的价格为p=4. (8分)1十、证明题(请写出推理步骤及结果，8分.)(1).证明：设M是f(x)与g(x)共有的最大值，并设f(x)在\e(a,b)处取得最大值M，g(x)在xE(a,b)处取得最大值M，令叭x)=f(x)-g(x)，贝I2TOC\o"1-5"\h\z3x)>0, 3x)<0. (2分)12如果x=x,则令n=x便有f(n)=g(n)=m。如果x丰x,不妨设x<x,则12 1 12 12由连续函数的性质，存在ne[x,x]使得①(n)=0，即f(n)=g(n)。 (4分)12(2)由题设，①(a)=中(b)=0，又在(1)小题中已经证明存在n使得①(n)=0,