河南省郑州市2024-2025学年高一数学上学期第一次月考试题含解析

Page16Page16河南省郑州市2024-2025学年高一数学上学期第一次月考试题时间:120分钟满分:150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合A，再由集合的补集和交集运算可求得答案.【详解】因为，所以或，又，所以，故选：D．2.已知函数，则函数的定义域是（）A.[-5，4] B.[-2，7] C.[-2，1] D.[1，4]【答案】D【解析】【分析】由函数解析式可得，解不等式可得，再由即可求解.【详解】由，则，解得，所以函数的定义域满意，解得，所以函数的定义域为[1，4].故选：D3.不等式的解集是（）A. B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．【详解】解：不等式可转化为，即，即，所以不等式等价于解得：，所以原不等式的解集是故选：B4.命题“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式是（）A.∀x∈R，∃n∈N+，有n<2x+1B.∀x∈R，∀n∈N+，有n<2x+1C.∃x∈R，∃n∈N+，使n<2x+1D.∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1【答案】D【解析】【分析】依据全称命题、特称命题的否定表述：条件中的、，然后把结论否定，即可确定答案【详解】条件中的、，把结论否定∴“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1”故选：D【点睛】本题考查了全称命题、特称命题的否定形式，其原则是将原命题条件中的、且否定原结论5.已知，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令求，再利用不等式的性质求的取值范围.【详解】令，∴，即，∴，故.故选：D6.如图，中，，，，点P是斜边上随意一点，过点P作，垂足为，交边（或边）于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先过点作于点，由中，，，可求得的度数与的长度，再分别从当与当时，去分析求解即可求得y与x之间的函数关系式，进一步选出图象.【详解】过点作于点，因为，，，所以，，如图1，当时，，，所以，如图2：当时，，所以，所以，故选：D【点睛】此题考查了动点问题，留意驾驭含直角三角形的性质与二次函数的性质；留意驾驭分类探讨的思想.属于中档题.7.已知函数，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，则，代入已知解析式可得的表达式，再将换成即可求解.【详解】令，则，所以，所以，故选：A.8.已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A或 B.或C. D.【答案】C【解析】【分析】由得，利用基本不等式求出的最小值，再将不等式恒成立转化为最值，解不等式可得结果.【详解】由得，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以恒成立，可化为，即，解得.故选：C【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则；二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.有以下推断，其中是正确推断的有（）.A.与表示同一函数B.函数的最小值为2C.函数的图象与直线的交点最多有1个D.若，则【答案】CD【解析】【分析】依据函数的定义域可推断A的正误，依据基本不等式可推断B的正误，依据函数的定义可推断C的正误，依据函数解析式计算对应的函数值可推断D的正误.【详解】对于A，定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不同，故两者不是同一函数.对于B，由基本不等式可得，但无解，故前者等号不成立，故，故B错误.对于C，由函数定义可得函数的图象与直线的交点最多有1个，故C正确.对于D，，故D正确.故选：CD.10.下面命题正确是（）A.“”是“"的必要不充分条件B.“”是“一元二次方程有一正一负两个实根”的充要条件C.“”是“”的必要不充分条件D.设，则“”是“且”的充分不必要条件【答案】ABC【解析】【分析】利用充分条件，必要条件的定义逐项推断作答.【详解】对于A，不能推出，而，必有，“”是“"的必要不充分条件，A正确；对于B，若，一元二次方程判别式，方程有二根，，即一正一负，反之，一元二次方程有一正一负两个实根，则，有，所以“”是“一元二次方程有一正一负两个实根”的充要条件，B正确；对于C，当时，若，有，当时，且，因此“”是“”的必要不充分条件，C正确；对于D，，若，取，明显“且”不成立，而且，必有，设，则“”是“且”的必要不充分条件，D不正确.故选：ABC11.函数被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（）A.函数的值域为 B.若，则C.若，则 D.，【答案】BD【解析】【分析】求得函数的值域推断选项A；推理证明推断选项B；举反例否定选项C；举例证明，.推断选项D.【详解】选项A：函数的值域为.推断错误；选项B：若，则，，则.推断正确；选项C：，但.推断错误；选项D：当时，.则，.推断正确.故选：BD12.已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（）A.B.C.若不等式的解集为，则D.若不等式的解集为，且，则【答案】ABD【解析】【分析】依据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可推断；对B，利用基本不等式可推断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可推断.【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以，由于，所以.A，，当时等号成立，故A正确.B，，当且仅当时等号成立，故B正确.C，不等式的解集为，，故C错误.D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，则，，故D正确，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知求________.【答案】5【解析】【分析】先求，再依据值代入对应解析式得【详解】因为所以【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.14.已知正实数、满意，则的最小值是___________.【答案】##【解析】【分析】由已知可得出且，化简代数式，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为正实数、满意，则，由可得，所以，.当且仅当时，等号成立.因此，的最小值是.故答案为：.15.对于，恒成立的取值________.【答案】【解析】【分析】设关于的一次函数，只需即可求解.【详解】令，因为对于，不等式恒成立，所以即解得：或.故答案为：.【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分别参数法若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，依据原变量的取值范围列式求解，一般状况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.16.若函数，，对于，，使，则a的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】由题意可知函数在区间的值域是函数在区间的值域的子集，转化为子集问题求的取值范围.【详解】在定义域上是单调递增函数，所以函数在区间的值域是函数在区间是单调递增函数，所以函数的值域是，由题意可知，所以，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查双变量等式中随意，存在问题求参数的取值范围，重点考查函数的值域，转化与化归的思想，属于中档题型.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，（1）若时，求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用集合的并集定义代入计算即可;（2）求出集合，利用集合包含关系，分类探讨和两种状况，列出关于m的不等式，求解可得答案.【详解】（1）当时，，则即．（2）或，由，可分以下两种状况：①当时，，解得：②当时，利用数轴表示集合，如图由图可知或，解得；综上所述，实数m的取值范围是：或，即【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要留意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合两种状况探讨，考查学生的逻辑推理实力，属于中档题.18.（1）已知，且，证明：．（2）证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；(2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明.【详解】证明：（1）由，且，所以，且所以，所以，即；所以，即．（2）要证，只需证，即证；即证，即证；即证，明显成立；所以．19.已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．（1）若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；（2）若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．【答案】（1）a＝﹣1，b＝2（2）见解析【解析】【分析】（1）依据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；（2）依据一元二次不等式的解法进行求解即可.【小问1详解】由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两根，所以，解得a＝﹣1，b＝2；【小问2详解】当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0，即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以，当即时，解集为；当即时，解集为或；当即时，解集为或.20.（1）求函数在区间上的值域.（2）已知二次函数.函数在区间上的最小值记为，求的值域；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)换元法，令，可得函数，探讨其值域即可求解；(2)分类探讨二次函数的对称轴与给定区间的关系，分别表示出函数的最小值，表示为分段函数形式，作出图象即可求解.【详解】(1)函数，设，则∵，∴那么函数转化为其对称轴，∴在时单调递增，∴，即，故得的值域为.（2），二次函数对称轴为，开口向上①若，即，此时函数在区间上单调递增，所以最小值.②若，即，此时当时，函数最小，最小值.③若，即，此时函数在区间上单调递减，所以最小值.综上，作出分段函数的图像如下，所以当时，当时，当时，，综上知的值域为21.今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，安排在2024年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2024年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（2）2024年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）2024年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元【解析】【分析】（1）依据已知条件求得分段函数的解析式.（2）结合二次函数的性质、基本不等式求得的最大值以及此时的产量.【小问1详解】当时，；当时，；∴；【小问2详解】若，，当时，万元；若，，当且仅当即时，万元.答：2024