新教材适用2024-2025学年高中数学第7章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.2超几何分布素养作业新人教A版选择性必修第三册

第七章7.47.4.2A组·基础自测一、选择题1．(多选)关于超几何分布，下列说法正确的是(ACD)A．超几何分布的模型是不放回抽样B．超几何分布的总体里可以有两类或三类物品C．超几何分布中的参数是N，M，nD．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成[解析]由超几何分布的定义可知A、C、D均正确，因超几何分布的总体里只有两类物品，故选项B错误．故选ACD.2．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为(D)A．1－eq\f(C\o\al(4,90),C\o\al(4,100)) B．eq\f(C\o\al(0,10)C\o\al(4,90)＋C\o\al(1,10)C\o\al(3,90),C\o\al(4,100))C.eq\f(C\o\al(1,10),C\o\al(4,100)) D．eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(3,90),C\o\al(4,100))[解析]由超几何分布概率公式可知，所求概率为eq\f(C\o\al(3,90)C\o\al(1,10),C\o\al(4,100)).3．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财宝．小楠从小就对纹样艺术有深厚的爱好，他收集了4枚凤纹徽章，5枚龙纹徽章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为(B)A.eq\f(3,4) B．eq\f(37,42)C．eq\f(21,37) D．eq\f(5,42)[解析]从9枚纹样徽章中选择3枚，全部可能事务的数目为Ceq\o\al(3,9)，满意“一枚凤纹徽章也没有”的全部可能事务的数目为Ceq\o\al(3,5)，因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事务为“一枚凤纹徽章也没有”，所以P＝1－eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,9))＝1－eq\f(5×4×3,9×8×7)＝eq\f(37,42).4．(2024·江西新余高二期末)有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X≤1)＝(B)A.eq\f(3,4) B．eq\f(5,7)C．eq\f(4,5) D．7[解析]依据题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＋eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(10,56)＋eq\f(30,56)＝eq\f(5,7).故选B.5．(多选)已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)，则这10件产品的次品数可能为(AD)A．8 B．6C．4 D．2[解析]设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,x)C\o\al(1,10－x),C\o\al(2,10))＝eq\f(x10－x,45)＝eq\f(16,45)，所以x＝2或x＝8.二、填空题6．设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为eq\f(8,15).[解析]从袋中10个球中任取4个球，共有Ceq\o\al(4,10)种取法，则其中恰有3个红球的取法为Ceq\o\al(3,8)Ceq\o\al(1,2).∴从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率P＝eq\f(C\o\al(3,8)C\o\al(1,2),C\o\al(4,10))＝eq\f(8,15).7．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分．设得分为随机变量ξ，则概率P(ξ≥8)＝eq\f(5,6).[解析]由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－eq\f(C\o\al(1,5)·C\o\al(3,4),C\o\al(4,9))－eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,9))＝eq\f(5,6).8．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽一只，设抽取次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝_3__.[解析]方法一：抽取次品数ξ满意超几何分布：P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,2)C\o\al(3－k,13),C\o\al(3,15))，由题意知，ξ＝0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(22,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,13)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,15))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,13)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,15))＝eq\f(1,35)，∴取得次品数ξ的均值为E(ξ)＝0×eq\f(22,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(1,35)＝eq\f(2,5).故E(5ξ＋1)＝5×E(ξ)＋1＝3.方法二：由超几何分布的均值公式可知E(ξ)＝n·eq\f(M,N)＝3×eq\f(2,15)＝eq\f(2,5).故E(5ξ＋1)＝5×E(ξ)＋1＝3.三、解答题9．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参与一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．[解析](1)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人，共有Ceq\o\al(3,9)＝84种状况，所选3人中恰有一名男生的状况有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)＝40种，故所选3人中恰有一名男生的概率为eq\f(40,84)＝eq\f(10,21).(2)随机变量ξ的全部可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,42)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,14)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,21).所以随机变量ξ的分布列为ξ0123Peq\f(5,42)eq\f(10,21)eq\f(5,14)eq\f(1,21)10.在心理学探讨中，常采纳对比试验的方法评价不同心理示意对人的影响，详细方法如下：将参与试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理示意，另一组接受乙种心理示意，通过对比这两组志愿者接受心理示意后的结果来评价两种心理示意的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理示意，另5人接受乙种心理示意．(1)求接受甲种心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理示意的女志愿者人数，求X的分布列．[解析](1)记接受甲种心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的事务为M，则P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).(2)由题意知X全部可能的取值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6)C\o\al(0,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42).因此X的分布列为X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)B组·实力提升一、选择题1．(多选)在4件产品中，有一等品2件，二等品1件(一等品与二等品都是正品)，次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是(ABD)A．两件都是一等品的概率是eq\f(1,6)B．两件中有1件是次品的概率是eq\f(1,2)C．两件都是正品的概率是eq\f(1,3)D．两件中至少有1件是一等品的概率是eq\f(5,6)[解析]对于A，两件都是一等品的概率为eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，正确，对于B，两件中有1件是次品的概率为eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，正确，对于C，两件都是正品的概率为eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，C错误，对于D，两件中至少有1件是一等品的概率为eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6)，正确．2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是eq\f(5,7)，则语文课本共有(C)A．2本 B．3本C．4本 D．5本[解析]设语文课本n本，则数学课本有7－n本(n≥2)．则2本都是语文课本的概率为eq\f(C\o\al(2,n)C\o\al(0,7－n),C\o\al(2,7))＝eq\f(2,7)，由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4(负值舍去)．3．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是eq\f(3,10)的事务为(C)A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的[解析]“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,10))(k＝1,2,3,4)，所以P(X＝1)＝eq\f(1,30)，P(X＝2)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)，P(X＝4)＝eq\f(1,6)，故选C.二、填空题4．某市有m名男老师和n名女老师(m>n)，从中任取两名老师去西部支教，甲被抽中的概率为eq\f(2,9)，一名男老师和一名女老师被抽中的概率为eq\f(5,9)，则eq\f(m,n)＝eq\f(5,4)，记去支教的老师中男老师的人数是ξ，则E(ξ)＝eq\f(10,9).[解析]由题意可得，eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,m＋n－1),C\o\al(2,m＋n))＝eq\f(2,9)，即m＋n＝9，eq\f(C\o\al(1,m)C\o\al(1,n),C\o\al(2,9))＝eq\f(5,9)，即mn＝20，且m>n，故m＝5，n＝4，故eq\f(m,n)＝eq\f(5,4)，由题意可知，ξ听从超几何分布，所以E(ξ)＝2×eq\f(5,9)＝eq\f(10,9).5．某校为了解高三学生身体素养状况，从某项体育测试成果中随机抽取n个学生成果进行分析，得到成果频率分布直方图(如图所示)，已知成果在[90,100]的学生人数为8，且有4个女生的成果在[50,60)中，则n＝_50__；现从成果在[50,60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的数学期望是eq\f(4,3).[解析]依题意0.016×10n＝8，则n＝50.成果在[50,60)的人数为0.012×10×50＝6，其中4个为女生，2个为男生．ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，故E(ξ)＝0×eq\f(1,15)＋eq\f(8,15)×1＋2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,3).三、解答题6．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中随意抽取1张，求中奖次数X的概率分布；(2)顾客乙从10张奖券中随意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布．[解析](1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种状况，故X的取值只有1和0两种状况．P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,10))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，因此X的概率分布为X01Peq\f(3,5)eq\f(2,5)(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,4)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(30,45)＝eq\f(2,3).②Y的全部可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3)，P(Y＝10)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(18,45)＝eq\f(2,5)，P(Y＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15)，P(Y＝50)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)＝eq\f(2,15)，P(Y＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).因此随机变量Y的概率分布为Y01020