2024年同方专转本高数模拟试卷1

下载后可任意编辑江苏省2024年普通高校“专转本”统一考试模拟试（一）高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内）。1.已知存在，则常数的值分别为（）A.B.C.D.2.函数的可去间断点是（）A.B.C.D.3.当时，下列无穷小中与不等价的是（）A.B.C.D.4.设的一个原函数是，则（）A.B.C.D.5.下列级数绝对收敛的是（）A.B.C.D.6.二重积分交换积分次序后得（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。7、若，8、设是连续函数，，则9、以为顶点的三角形面积=10、设函数由方程所确定，则11、定积分12、幂级数的收敛域为三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。13、求极限14、设函数由方程所确定，求15、求不定积分16、计算定积分17、求通过平面和平面的交线及点的平面方程。18、设，其中具有二阶连续偏导数，求。19、计算二重积分，其中是由以及轴所围成的平面闭区域。20、已知是二阶常系数非齐次线性方程的一个特解，试确定常数的值，并求该方程组的通解。四、综合题21、设函数（1）求函数的单调区间、极值。（2）求函数图形的凹凸区间、拐点及渐进线方程。22、设直线与抛物线所围成的图形面积为,它们与直线所围成的平面图形面积为（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值。（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积。五、证明题23、证明：当时，24、设，其中为有界函数，证明：在处连续且可导。江苏省2024年普通高校“专转本”统一考试模拟试（一）解析一、单项选择题1.已知存在，则常数的值分别为（）A.B.C.D.解：该题考察等价无穷小阶的比较，求极限等概念与方法。因为这表明是时的一阶无穷小；存在，可推出，同阶无穷小量或是高阶无穷小量的商式极限才有可能存在，这是无穷小量阶的比较理论。由可得，解得。故答案选择B2.函数的可去间断点是（）A.B.C.D.解：求函数间断点的方法首先需要考察函数的定义域，因为初等函数在定义域内都是连续函数，只有定义域的分段点才有可能是间断点。本题的间断点有可能为，下面逐个考察当时，因函数表达式中含有绝对值，从而必须分左右极限加以讨论。综上可知，是跳跃间断点；下面继续推断是否为间断点。当被讨论的函数是分段函数，并且分段点左右两边的表达式互不相同时，推断分段点的连续性或是间断点的类型才需分左右极限加以讨论。是无穷间断点，这是因为；是可去间断点，这是因为；是无穷间断点，这是因为；从而该题选择D3.当时，下列无穷小中与不等价的是（）A.B.C.D.解：推断等价无穷小或是无穷小的阶，结合本题，常用的方法是考察，则说明无穷小量是阶无穷小。进一步，说明无穷小量与是等价无穷小。本题需要推断所给出的四个选项中的无穷小与是否为等价无穷小，只需推断何时成立。时，从而C选项是错误的。对于寻找一个无穷小量的等价无穷小量，这是一个非常重要的问题，这涉及到求极限，无穷小阶的比较，级数敛散性的推断等许多问题。学习过程中还需掌握以下一些结论：同“小”取“小”：有限个无穷小量的代数和，其阶数取最低的无穷小量的阶。例如：时，，其阶数为1阶，它与是同阶无穷小，且为等价无穷小。同“大”取“大”：有限个无穷大量的代数和，其阶数取最高的无穷小量的阶。例如：时，，其阶数为5阶，它与是同阶无穷大，且与是等价无穷大。以上结论的证明不难，大家可尝试使用以上结论求解本题。4.设的一个原函数是，则（）A.B.C.D.解：该题是考察函数与原函数之间的关系。本题有两种思路，一种是对分别求两次导数，可得，然后再积分：另外一种是先对积分，再根据已知条件求解。解题时除了考察可行性，还要考虑计算效率。从而，5.下列级数绝对收敛的是（）A.B.C.D.解：考察一般项级数的是否绝对收敛，可使用正项级数敛散性的判别方法。正项级数敛散性的判别方法通常有比较判别法，比式判别法以及根式判别法。对于比较判别法，通常使用极限形式。设正项级数和，若，则与同敛同散。该定理的意义在于寻找的同阶无穷小，特别的，若，和是等价无穷小。根据的敛散性推出的敛散性。通常选取级数，收敛，发散；-级数的意义在于当时是阶无穷小。可通过判别无穷小的阶数进而推断级数的敛散性。本题中考察通项的同阶或是等价无穷小对应级数的敛散性。选项A中；，从而原级数不绝对收敛。选项B中；，从而原级数绝对收敛。选项C中；，从而原级数不绝对收敛。选项D中；，，从而原级数不绝对收敛。6.二重积分交换积分次序后得（）A.B.C.D.二重积分的积分区域为只用型积分区域表示为答案选择（A）二、填空题7、若，解：该题考察的是第二个重要极限，，解得8、设是连续函数，，则解：变上限函数的求导公式，对于很多同学可能会觉得不容易记牢在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆9、以为顶点的三角形面积=解：该题考察的是向量的点乘和叉乘等运算性质以向量和向量为两边的三角形的面积等于，，，三角形的面积等于10、设函数由方程所确定，则解：本题求由方程所确定的隐函数的偏导数。解法一：对方程两边关于直接求偏导数,得，解得解法二：公式法设,则，由公式11、定积分解：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质12、幂级数的收敛域为解：幂级数的收敛半径，收敛区间为,收敛域为+收敛区间端点。幂级数的收敛半径，收敛区间为,收敛域为+收敛区间端点。该题中，，收敛区间为当时，原级数变为收敛；当时，原级数变为发散；所以原级数的收敛域为三、计算题13、求极限解：求极限时，多次使用罗比达法则，成了求极限的“利器”。这是不提倡的。罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。求极限的通常形式是无穷小量或是无穷大量阶的比较，使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。本题可这样求解求极限，目的是找到的等价无穷小。显然，当时，，也即从而，可得时，又从而本题常规做法是，然后使用罗比达法则求极限。两种解题方法，体现了对极限思想不同理解的差异，其繁简程度大家做完该题后自行体会。14、设函数由方程所确定，求解：该题是隐函数求导的问题，可对方程两边直接求导，求一阶导时，也可采纳公式法求导。求一阶导数：直接求，说明：求本可对上式两边继续关于求导，但是上式等号左侧是商的形式，求完后形式较繁琐，而且后续计算量较大，积的导数形式要比商式的导数简单。从而变形为下面的表达式。解出对上式两边关于继续求导得上式中令，可得将代入中得将代入得，得从而解得，，通过求解本题，大家需要学习到解题过程中细节的处理，以及解题风格的培育，本题难度不大，但是求解过程冗长，如何沉着认真，又快又好的得到正确结果，需要不断训练。求解一阶导数时还可使用公式法求解设，，将以上各式代入整理，转化为积的形式，继续求导，可得15、求不定积分解:根据往年的命题规律，几乎每年都有不定积分与定积分的题型各一道。主要考察第一、第二类换元法与分部积分法。分析：从而该题转化为求解不定积分，继续使用分部积分不可取。可考虑使用换元法，令做到此，积分是容易求的，但是做到这，回过来看看，好似兜了个大圈子，该方法也可以求解出结果。但是有点繁琐。经过以上分析，本题最好的求解方法是直接换元。解：令变量代换可得16、计算定积分解：令，则，，上式变为17、求通过平面和平面的交线及点的平面方程。解：求平面方程通常使用点法式，这是最基本的方法。解法一：（基本解法，点法式）对于本题，先取满足方程组的两个特别点和，再由平面上的不共线三点求出平面方程。具体可先求出向量和，然后两向量再叉乘求出平面的法向量。使用点法式求出平面方程。该方法虽然计算量略微繁琐，但是方法是基本方法。解法二：该题还可使用平面束理论假设有两个相交平面和平面,则通过两平面的交线的所有平面构成一平面束。其方程为注意：该平面束不包含平面，因为时，上面的方程表示平面。解:设通过平面和平面的交线的方程为因为点在该平面上，代入上面的方程解得从而所求方程为，也即18、设，其中具有二阶连续偏导数，求。解：该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。19、计算二重积分，其中是由以及轴所围成的平面闭区域。解：该题的积分区域是无论是使用型积分区域还是型积分区域，都必须分成两块来表示，该题使用型积分区域求解。20、已知是二阶常系数非齐次线性方程的一个特解，试确定常数的值，并求该方程组的通解。分析：对于该题，需要熟悉形如的特解形式方程的特解形式为其中的取值为不是特征方程的根，则；不是特征方程的单根，则；不是特征方程的重根，则；是与次数相同的多项式；根据以上理论，本题的特解形式应为,是待定的零次多项式。本题的特解形式为，与已给的形式不匹配，所以已有的公式不能使用，需要使用其他方法。将特解代入方程，过程如下；；对比上式左右两边，可得解得从而原方程对应的齐次线性方程为，对应的特征方程为，对应的特征根为，故齐次线性方程的通解为原方程的特解为说明：本题的特解，其中是的解，是的解，是的解。若强行使用特解形式，将导致错误。四、综合题21、设函数（1）求函数的单调区间、极值。（2）求函数图形的凹凸区间、拐点及渐进线方程。解：（1），解得驻点为，不可导点为。单调递减微小值单调递增无定义单调递减函数的微小值为。（2）二阶导数等于零的点为和二阶导数不存在的点为。凸函数拐点凹函数无定义凹函数函数的拐点为函数的渐进线方程水平渐进线为，即；铅直渐进线，即；斜渐进线因不存在，从而不存在。22、设直线与抛物线所围成的图形面积为,它们与直线所围成的平面图形面积为（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值。（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积。解：（1），解得（舍去），，故在处有微小值，微小值为；（2）五、证明题23、证明：当时，分析：证明不等式的常用方法通常有以下几种（1）利用单调性证明（2）利用极值或是最值理论证明（3）利用拉格朗日中值定理并结合导数的有界性对于本题，可尝试使用单调性证明分析法证明：欲使原不等式成立，等价于证明：当时，设，且从而等价于证明当时，严格单调递增。即要证明改证当时，，对于该不等式，可对函数在区间上使用拉格朗日中值定理。，因介于和之间，且，易知，从而，故原命题得证。24、设，其中为有界函数，证明：在处连续且可导。解析：要讨论分段函数在分段点的连续性和可导性，若分段点左右两端的表达式互不相同需要讨论左右连续性和左右可导性。本题的分段点是，左右两端的表达式互不相同。首先讨论连续性左极限[无穷小乘有界量仍然是无穷小量]右极限因为，故在连续。讨论可导性左导数右导数因为，故在可导。从而函数在处连续且可导。个人工作业务总结本人于2024年7月进入新疆中正鑫磊地矿技术服务有限公司(前身为“西安中正矿业信息咨询有限公司”)，主要从事测量技术工作，至今已有三年。在这宝贵的三年时间里，我边工作、边学习测绘相专业书籍，遇到不懂得问题积极的请教工程师们，在他们耐心的教授和指导下，我的专业知识水平得到了很到的提高，并在实地测量工作中加以运用、总结，不断的提高自己的专业技术水平。同时积极的参加技术培训学习，加速自身知识的不断更新和自身素养的提高。努力使自己成为一名合格的测绘技术人员。在这三年中，在公司各领导及同事的帮助带领下，根据岗位职责要求和行为法律规范，努力做好本职工作，认真完成了领导所交给的各项工作，在思想觉悟及工作能力方面有了很大的提高。

在思想上积极向上，能够认真贯彻党的基本方针政策，积极学习政治理论，坚持四项基本原则，遵纪守法，爱岗敬业，具有强烈的责任感和事业心。积极主动学习专业知识，工作态度端正，认真负责，具有良好的思想政治素养、思想品质和职业道德。

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在公司领导的关怀以及同事们的支持和帮助下，我迅速的完成了职业角色的转变。一、回顾这四年来的职业生涯，我主要做了以下工作：1、参加了新疆库车县新疆库车县胡同布拉克石灰岩矿的野外测绘和放线工作、点之记的编写工作、1:2000地形地质图修测、1:1000勘探剖面测量、测绘内业资料的编写工作，提交成果《新疆库车县胡同布拉克石灰岩矿普查报告》已通过评审。2、参加了库车县城北水厂建设项目用地压覆矿产资源评估项目的室内地质资料编写工作，提交成果为《库车县城北水厂建设项目用地压覆矿产资源评估报告》，现已通过评审。3、参加了《新疆库车县巴西克其克盐矿普查》项目的野外地质勘查工作，参加项目包括：1:2000地质测图、1:1000勘查线剖面测量、测绘内业资料的编写工作；最终提交的《新疆库车县康村盐矿普查报告》已通过评审。4、参加了新疆哈密市南坡子泉金矿2024年度矿山储量监测工作，项目包括：野外地质测量与室内地质资料的编写，提交成果为《新疆哈密市南坡子泉金矿2024年度矿山储量年报》，现已通过评审。6、参加了《新疆博乐市五台石灰岩矿9号矿区勘探》项目的野外地质勘查工作，项目包括：1:2000地质测图、1:1000勘探剖面测量、测绘内业资料的编写工作，并绘制相应图件。7、参加了《新疆博乐市托特克斜花岗岩矿详查报告》项目的野外地质勘查工作，项目包括：1:2000地质测图、1:100