第三章对圆的进一步认识期末复习训练 青岛版数学九年级上册

2023-2024九年级上学期青岛版数学（第三章对圆的进一步认识）期末复习训练一、选择题如图1，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)连接CP.若∠B=120°，则∠APC的度数可能为(

)30°B.45°C.50°D.65°图1图2图3图4如图2，BC是半圆O的直径，D，E是BC上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE.如果∠A=70°，那么∠DOE的度数为(

)A.35° B.38° C.40° D.42°如图3，在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，以点A为圆心，AD的长为半径的圆交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为(

)A.22−1−π3 B.22−1−如图4，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交DB于点Q.设AP=x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y关于x的大致图象是(

)A. B.

C. D.如图5所示，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结BD，BE，CE，若∠CBD=33°，则∠BEC=(

)A.66° B.114° C.123° D.132°如图6，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD<90°，⊙O与边AB，AD都相切菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于(

)A.2.5 B.5 C.22 D.图5图6图7如图，点O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的中心，连接AD、CD'交于点P，则∠APD'=(

)A.72°B.81°C.76°D.80°如图8，⊙O的直径AB=6，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为(

)3B.4C.25D.图8图9图10引理：在▵ABC中，若D为BC的中点，则AB2+AC2=2AD2+2CD2.(中线长公式，不用证明，可以直接应用)根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形ABCD中，AB=6，A.210 B.38 C.40 D.如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB=125°，则∠AOB的度数为(

)A.120°B.125°C.135°D.140°二、填空题如图11，点C在以AB为直径的半圆上，AB=6，∠ABC=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于BC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，当AD长度为______时，EF与半圆相切．如图12，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB//CD，BO=6cm，CO=8cm，BC的长为______．如图13，AB是半圆O的直径，且AB=4，点C，D，E将半圆O四等分，连接AD，AE，CE，其中AD交CE于点F，则图中阴影部分的周长为______．

图11图12图13如图14，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G在同一个圆上，则此圆的半径为______．图14图15图16如图15，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：DA1的圆心为点A，半径为AD；A1B1的圆心为点B，半径为BA1；B1C1的圆心为点C，半径为CB1；C1D1的圆心为点D如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，直线l经过点C，且l//AB，P为直线l上一个动点，若AC=4，BC=3，以点P，A，C为顶点的三角形与△ABC相似，则PC=______．三、解答题如图，Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=4，且BC>AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD=2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．

(1)求∠AED的度数．

(2)求DB的长．

(3)求图中阴影部分的面积．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2．

请仅就图2的情形解答下列问题．

(1)求证：∠PAO=2∠PBO；

(2)若⨀O的半径为5，AP=203，求BP的长．

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且CB=CD，CE⊥DA交DA的延长线于点E(1)求证：∠CAB=∠CAE；(2)求证：CE是⊙O的切线；(3)若AE=1，BD=4，求⊙O的半径长．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF=EF．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，AC=4，AE=8，求BF的长．

答案1.D

2.C

3.B

4.A

5.C

6.B

7.B

8.C

9.C

10.D

11.3212.10cm

13.π214.85215.4039π

16.3.2或5

17.解：(1)∵AC为直径，

∴∠ADC=90°，

∵AD=2，AC=4，

∴sin∠ACD=ADAC=12，

∴∠ACD=30°，

∴∠AED=∠ACD=30°；

(2)∵∠ADC=90°，∠ACD=30°，

∴∠CAB=60°，

在Rt△ABC中，cos∠CAB=ACAB，即cos60°=4AB

∴AB=8，

∴DB=AB−AD=8−2=6；

(3)连接OD，

∵OC=OD，∠ACD=30°，

∴∠ODC=∠ACD=30°，

∴∠OCD=120°，

∵AD=2，AC=418.解：(1)证明：如图1，

连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP=OB=OC，

∵AP与⨀O相切于点P，

∴∠APO=90°，

∴∠PAO+∠AOP=90°，

∵MO⊥CN，

∴∠AOP+∠POC═90°，

∴∠PAO=∠POC，

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠PBO，

∴∠POC═∠OPB+∠PBO═2∠PBO，

∴∠PAO=2∠PBO；

(2)如图2所示，

连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D，

则有：AO=AP2+OP2=253，

由(1)可知∠POC=∠PAO，

∴Rt△POD～Rt△OAP，

∴PDPO=POOA=ODAP，即PD5=5253=OD203，解得PD=3，OD=4，

∴CD═OC−OD=119.证明：(1)连接BD，

∵CB=CD，

∴∠CDB=∠CBD，CD=BC，

∵四边形ACBD是圆内接四边形，

∴∠CAE=∠CBD，且∠CAB=∠CDB，

∴∠CAB=∠CAE；

(2)连接OC．

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°=∠AEC，

又∵∠CAB=∠CAE，

∴∠ABC=∠ACE，

∵OB=OC，

∴∠BCO=∠CBO，

∴∠BCO=∠ACE，

∴∠ECO=∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°，

∴EC⊥OC，

∵OC是⊙O的半径，

∴CE是⊙O的切线．

(3)过点C作CF⊥AB于点F，

又∵∠CAB=∠CAE，CE⊥DA，

∴CE=CF，AE=AF，

在△CED和△CFB中，

∠DEC=∠BFC=90°，∠EDC=∠FBC，CD=BC，

∴△CED≌△CFB(AAS)，

∴ED=FB，

设AB=x，则BF=AB−AF=x−1，又AD=ED−AE=BF−AE，∴AD=x−2，

在△ABD中，由勾股定理得，x2=(x−2)2+42，

解得，x=520.证明(1)连接OE，

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠OAE，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠B=90°，

∵BF=EF，

∴∠B=∠BEF，

∵∠OAE=∠BAC，

∴∠OEA=∠BAC，

∴∠OEF=∠OEA+∠BEF=∠BAC+∠B=90°，

∴OE⊥EF，

∵OE是⊙O的半径，

∴EF是⊙O的切线；

(2)解：连接DE，

∵OC=9，AC=4