第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试 沪科版数学八年级上册

第15章综合素质评价一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列四个汉字中是轴对称图形的是()2．在平面直角坐标系中，点A(－1，－3)关于y轴对称的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列结论中不正确的是()A．角是轴对称图形B．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等D．角平分线上任意一点到角两边的距离相等4．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC与∠ACB的平分线BD，CD交于点D.过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则△AEF的周长为()A．12B．13C．14D．155．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点．将此三角形纸片按如图所示方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为()A．3aB．3.3aC．3.6aD．3.9a6．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是()7．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝70°，中线CD交角平分线BE于点F，则∠BFC的度数为()A．115°B．125°C．135°D．140°8．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，连接AD，作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E，F，连接ED，FD，则以下结论正确的是()A．∠1＝15°B．DF⊥ACC．CD＝2CFD．∠2＝2∠19．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.下列结论：①AD＝BE；②CP＝CQ；③PQ∥AE；④∠AOB＝60°.其中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为()A．4B．5C．6D．7二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．若点P(m＋2n，－m＋6n)和点Q(2，－6)关于x轴对称，则m＋n＝________．12．如图，已知△ABC的面积是S，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝a，则△ABC的周长是________(用含a，S的代数式表示)．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角度数为________．14．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM＋ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中正确的是________．(填序号)三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)△ABC内有一点P(a,b)，直接写出△A1B1C1中与之对应的点P1的坐标．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°.(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，求∠BDC的度数．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，AB＝AC，MB＝MC.求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．

18.(1)如图①，已知：线段CD与∠AOB，通过作图求一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法)(2)如图②，点O在△ABC的外部，且OB＝OC，点O到∠BAC两边的距离相等．问：AB＝AC一定成立吗？若一定成立，请证明；若不一定成立，请画图说明．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF为等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，交BC于点E.(1)已知△ABC的周长是14，AD的长是3，求△AEC的周长；(2)已知∠B＝30°，求证：点E在线段CD的垂直平分线上．六、(本题满分12分)21．已知：如图，A1，A2，A3是∠MON的ON边上顺次三个不同的点，B1，B2，B3是∠MON的OM边上顺次三个不同的点，且有OA1＝A1B1＝B1A2＝A2B2＝B2A3.(1)当∠MB1A2＝45°时，求∠MON的度数；(2)若OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3，求∠MON的最小值．七、(本题满分12分)22．已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.(1)如图①，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE________DB(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)如图②，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由(提示：过点E作EF∥BC，交AC于点F)．(3)当点E在直线AB上时，其余条件不变，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你画出相应图形，再求解)．八、(本题满分14分)23.如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC.过点C作CF⊥DE交DE于点F.(1)如图①，当点B，E，D在同一条直线上时，①求证：CF＝eq\f(1,2)DE；②求∠BDA的度数．(2)如图②，连接AF并延长至点G，使AF＝GF，连接GE，GB，试判断△BEG的形状，并说明理由．

答案一、1.A2.D3.B4.C【点拨】由BD，CD是∠ABC与∠ACB的平分线且EF∥BC，易得△BED和△CFD都是等腰三角形，即BE＝ED，CF＝DF，所以△AEF的周长为AE＋EF＋AF＝AB＋AC＝6＋8＝14.5.A【点拨】易知∠B＝∠EDB＝30°，∠FDC＝∠C＝90°，∴∠FED＝60°，∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴DE＝EF＝DF＝a，∴△DEF的周长为3a.6.B7.B【点拨】∵∠BAC＝∠ABC＝70°，∴AC＝BC，∴△ABC为等腰三角形，∠ACB＝180°－2×70°＝40°.∵CD为中线，∴∠BCD＝∠ACD＝eq\f(1,2)∠ACB＝20°，即∠BCF＝20°.∵BE为∠ABC的平分线．∴∠CBF＝eq\f(1,2)∠ABC＝35°，∴∠BFC＝180°－∠CBF－∠BCF＝125°.8.D【点拨】∵EF是AD的垂直平分线，∴EA＝ED，FA＝FD，∴∠EDA＝∠1，∠FAD＝∠FDA，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝60°.∴∠EDF＝∠EDA＋∠FDA＝∠1＋∠FAD＝∠BAC＝60°.∵∠BED＝∠1＋∠EDA＝2∠1，∠EDC＝∠EDF＋∠2＝∠B＋∠BED，∴60°＋∠2＝60°＋2∠1，∴∠2＝2∠1.9.A【点拨】∵△ABC，△CDE是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD.∵∠APC＝∠BPO，∴∠AOB＝∠ACB＝60°，故①④正确；易知∠ACB＝∠BCQ＝60°，AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，∴△ACP≌△BCQ，∴CP＝CQ，∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴∠QPC＝∠ACB＝60°，∴PQ∥AE，故②③正确，∴正确的有4个．10.D【点拨】如图，可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为7.二、11.1【点拨】因为点P(m＋2n，－m＋6n)和点Q(2，－6)关于x轴对称，所以m＋2n＝2，－m＋6n＝6，解得m＝0，n＝1.所以m＋n＝0＋1＝1.12.eq\f(2S,a)【点拨】如图，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE＝OD，OD＝OF，即OE＝OF＝OD＝a，∴△ABC的面积＝S△AOB＋S△AOC＋S△OBC＝eq\f(1,2)×AB×OE＋eq\f(1,2)×AC×OF＋eq\f(1,2)×BC×OD＝eq\f(1,2)×a×(AB＋AC＋BC)＝S，故AB＋AC＋BC＝eq\f(2S,a).13.40°或140°【点拨】①当三角形为锐角三角形时，如图①，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠A＝90°－50°＝40°，∴等腰三角形的顶角为40°；②当三角形为钝角三角形时，如图②，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠BAD＝90°－50°＝40°，∵∠BAD＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝140°，∴等腰三角形的顶角为140°.故等腰三角形的顶角度数为40°或140°.14.①②③【点拨】如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF＋∠AOB＝180°.∵∠MPN＋∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN.∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∠AOP＝60°，在Rt△POE和Rt△POF中，∵OP＝OP，PE＝PF，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴OE＝OF.在△PEM和△PFN中，∵∠MPE＝∠NPF,PE＝PF，∠PEM＝∠PFN，∴△PEM≌△PFN，∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确；易知S△PEM＝S△PFN，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF，且为定值，故③正确；在Rt△OPE中，∵∠POE＝60°，∠PEO＝90°，∴∠OPE＝30°，∴OP＝2OE.∵OM＋ON＝OE＋ME＋OF－NF＝2OE＝OP，故②正确；∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，∵PM＝PN，∠MPN＝180°－∠AOB＝60°，∴△PMN是等边三角形，∴△PMN的周长是变化的，故④错误，∴正确的有①②③.三、15.【解】(1)△A1B1C1如图所示．(2)P1(a，－b)．16.【解】(1)如图，BD即为所求．(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°.四、17.【证明】∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵MB＝MC，∴点M在线段BC的垂直平分线上．∴直线AM是线段BC的垂直平分线．18.【解】(1)如图①，点P即为所求．(2)AB＝AC不一定成立．如图②，作△ABC且AB≠AC，再作∠BAC的平分线AO和边BC的垂直平分线交于点O，此时OB＝OC，点O到∠BAC两边的距离相等．五、19.(1)【证明】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,∠B＝∠C，,BD＝CE，))∴△BDE≌△CEF，∴DE＝EF，∴△DEF为等腰三角形．(2)【解】∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF.∵∠CED是△BDE的外角，∴∠CED＝∠BDE＋∠B，∴∠CEF＋∠DEF＝∠BDE＋∠B，∴∠DEF＝∠B.在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠B＝∠C＝eq\f(1,2)×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°.20.(1)【解】∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，AD＝BD，∵AD＝3，∴AB＝6.∵△ABC的周长为14，∴AC＋BC＝14－AB＝8，∴△AEC的周长＝AC＋CE＋AE＝AC＋CE＋BE＝AC＋BC＝8，(2)【证明】由(1)知AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAE＝30°.∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AE＝AE，∴△ADE≌△ACE，∴DE＝CE，∴点E在线段CD的垂直平分线上．六、21.【解】(1)∵OA1＝A1B1＝B1A2，∴∠A1OB1＝∠A1B1O，∠B1A1A2＝∠B1A2A1，∴∠B1A2A1＝∠B1A1A2＝∠A1OB1＋∠A1B1O＝2∠A1OB1，∴∠MB1A2＝∠MON＋∠B1A2O＝3∠MON＝45°，∴∠MON＝15°.(2)∵OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3，∴OM边上不存在B3点，使得∠A3B2B3＝∠A3B3B2，∴90°≤∠A3B2B3<180°，易得∠B2A3O＝∠B2A2A3＝∠MON＋∠OB2A2＝4∠MON，∴∠A3B2B3＝∠MON＋∠OA3B2＝5∠MON，∴90°≤5∠MON<180°，∴18°≤∠MON<36°，故∠MON的最小值为18°.七、22.【解】(1)＝(2)AE＝DB，理由：过点E作EF∥BC，交AC于点F.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC.又∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∴BE＝CF.∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°－∠D，∠ECF＝60°－∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝CE，,∠DEB＝∠ECF，,BE＝FC，))∴△DBE≌△EFC，∴DB＝EF，则AE＝DB.(3)如图，点E在AB的延长线上时，过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC.又∵EF∥BC，∴∠ABC＝∠AEF＝60°，∠ACB＝∠F＝60°，∠DCE＝∠FE