2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.2向量的加法训练含解析新人教B版必修第二册

PAGE6-第六章6.16.1.2请同学们仔细完成[练案24]A级基础巩固一、选择题1．向量(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))等于(C)A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AM,\s\up6(→))[解析]原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AC,\s\up6(→))．2．下列等式中不正确的是(C)A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋aC．|a＋b|＝|a|＋|b| D．eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))[解析]当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|．3．若a、b为非零向量，则下列说法中不正确的是(B)A．若向量a与b方向相反，且|a|＞|b|，则向量a＋b与a的方向相同B．若向量a与b方向相反，且|a|＜|b|，则向量a＋b与a的方向相同C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同[解析]∵a与b方向相反，且|a|＜|b|时，a＋b与a的方向相反，a＋b与b的方向相同，故B不正确．4．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(C)A．a＝b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．以上都不对[解析]由向量加法的平行四边形法则知，若a＋b平分a与b的夹角，则四边形是菱形，因此|a|＝|b|．5．(多选题)如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则(AC)A．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0C．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0[解析]∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，∴DE∥AC，DF∥BC．∴四边形DECF是平行四边形．∴eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))．又eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝0，故选A正确；同理对于选项B，eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋(eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)))＝2eq\o(DA,\s\up6(→))，故选B错误；对于选项C，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝0，故C正确；对于选项D，eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))．故D错误．二、填空题6．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝__eq\o(OC,\s\up6(→))__．[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))．7．依据下图填空：b＋c＝__a__;a＋d＝__f__；b＋c＋d＝__f__;f＋e＝__b__；e＋g＝__δ__．[解析]由向量加法的多边形法则可知．8．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是__8__．[解析]∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，∴|a＋b|的最大值为8．三、解答题9．如图所示，求：(1)a＋d；(2)c＋b；(3)e＋c＋b；(4)c＋f＋B．[解析](1)a＋d＝d＋a＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))．(2)c＋b＝eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))．(4)c＋f＋b＝eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))．10．如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))；(2)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))．[解析](1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))．(2)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))．(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))．B级素养提升一、选择题1．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(A)A．a∥b，且a与b方向相同 B．a、b是共线向量C．a＝－b D．a、b无论什么关系均可[解析]当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|＜|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|．2．如图，正六边ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝(B)A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))[解析]连接CF，取CF中点O，连接OE，CE．则eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))．3．在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则四边形ABCD肯定是(D)A．矩形 B．菱形C．正方形 D．平行四边形[解析]在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，∴四边形ABCD是平行四边形．4．(多选题)设a＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为(AC)A．a∥b B．a＋b＝aC．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|[解析]因为a＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.所以AC正确．二、填空题5．如图所示，已知在矩形ABCD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝C．则|a＋b＋c|＝__8eq\r(3)__．[解析]a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))．延长BC至E，使CE＝BC，连接DE，由于eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，CE綊AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))，∴|a＋b＋c|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝8eq\r(3)，故答案为8eq\r(3)．6．在静水中划船的速度是20m/min，水流速度是10m/min，假如船从岸边动身，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为__eq\r(3)__．[解析]如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))为水流的速度，eq\o(AD,\s\up6(→))为划船的速度，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，其中eq\o(AC,\s\up6(→))为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝10，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝20，∴tan∠ABC＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(\a\vs4\al(|\o(BC,\s\up6(→))|2－|\o(AB,\s\up6(→))|2)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(202－102),10)＝eq\r(3)，∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝eq\r(3)．三、解答题7．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC．求证：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))．[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))．因为eq\o(PB,\s\up6(→))和eq\o(QC,\s\up6(→))大小相等、方向相反，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，故eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))．8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且|eq\o(AB,\s\up