山东专用2025版高考数学一轮复习练案65第九章计数原理概率随机变量及其分布第四讲随机事件的概率含解析

PAGE7-[练案65]第四讲随机事务的概率A组基础巩固一、单选题1．(2024·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事务是(D)A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”[解析]A中的两个事务是包含关系，不是互斥事务；B中的两个事务是对立事务；C中的两个事务都包含“一个黑球一个红球”的事务，不是互斥关系；D中的两个事务是互斥而不对立的关系．2．(2024·江西模拟)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各随意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(C)A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)[解析]从A、B中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种状况，其中和为4的有(2,2)，(3,1)，共2种状况，所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，选C.3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲获胜的概率是eq\f(1,3)，则甲不输的概率为(A)A．eq\f(5,6) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)[解析]由题意得，甲不输的概率为eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).4．(2024·山东滨州)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P(m，n)落在直线x＋y＝4下方的概率为(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,9)[解析]试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36个基本领件．事务“点P(m，n)落在x＋y＝4下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本领件，故P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).5．(2024·安徽模拟)若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(D)A．eq\f(2,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(9,10)[解析]事务“甲或乙被录用”的对立事务是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本领件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种状况，依据古典概型和对立事务的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).6．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机选择一人表演节目．若选到女同学的概率为eq\f(2,3)，则这班参与聚会的同学的人数为(B)A．12 B．18C．24 D．32[解析]设女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，得x＝12，故该班参与聚会的同学有18人．故选B.7．(2024·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是(D)A．eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)[解析]至少一次正面朝上的对立事务的概率为eq\f(1,8)，故P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).8．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[解析]P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5).二、多选题9．若干个人站成排，其中不是互斥事务的是(BCD)A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”[解析]排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不肯定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥，故选BCD.10．不透亮的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次随意取出2张卡片，则与事务“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事务是(ABD)A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色[解析]从6张卡片中一次取出2张卡片的全部状况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”，在选项给出的四个事务中与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事务有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色”，其中“2张卡片至少有一张红色”包含事务“2张卡片都为红色”，二者并非互斥事务．故选ABD.11．(原创)下列结论不正确的是(ABCD)A．随意事务A发生的概率P(A)满意0<P(A)<1B．概率为0的事务是不行能事务C．若A，B为互斥事务，则A的对立事务与B的对立事务肯定互斥D．若P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，则事务A、B互斥[解析]事务A发生的概率P(A)满意0≤P(A)≤1，A错；在半径为R的圆内任取一点，取到圆心的概率为0，但不是不行能事务，B错；记掷一只骰子出现1点为事务A，出现2点为事务B，明显A、B互斥，而eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))不互斥，C错；事务A：在实数集中任取x，x≥0，事务B：在实数集中任取y，y≤0，明显P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1＝P(A∪B)，而A、B不互斥，D错；故选ABCD.三、填空题12．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为eq\f(11,15).[解析]记取出的两球颜色不同为事务A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(11,15)(或P(A)＝1－P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(11,15))．13．(2024·浙江模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是eq\f(9,10).[解析]所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为eq\f(9,10).另解：记取出的3个球中至少有一个白球为事务A，则P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).14．(2024·石家庄模拟)从一副混合后的扑克牌(52张，不含大小王)中，随机抽取1张，事务A为“抽到红桃K”，事务B为“抽得黑桃”．则P(A∪B)＝eq\f(7,26)(结果用最简分数表示)．[解析]因为P(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(13,52)＝eq\f(14,52)＝eq\f(7,26).故填eq\f(7,26).四、解答题15．(2024·湖南益阳、湘潭统测)为了了解某校学生课外时间的安排状况，拟采纳分层抽样的方法从该校的高一、高二、高三这三个年级中共抽取5个班进行调查，已知该校的高一、高二、高三这三个年级分别有18、6、6个班级．(1)求分别从高一、高二、高三这三个年级中抽取的班级个数；(2)若从抽取的5个班级中随机抽取2个班级进行调查结果的对比，求这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率．[解析](1)班级总数为18＋6＋6＝30，样本容量与总体中的个体数比为eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)，所以从高一、高二、高三这三个年级中分别抽取的班级个数为3,1,1.(2)从5个班级中随机抽取2个班级共有Ceq\o\al(2,5)＝10种抽法，抽取的两个班级中至少有一个班级来自高一年级的抽法有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝9种抽法．故所求概率P＝eq\f(9,10).16．某险种的基本保费为a(单位：元)，接着购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a1.251.51.752随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险状况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事务：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事务：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解析](1)事务A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事务B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85a1.251.51.752频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925aB组实力提升1．(2024·北京春考)在“二十四节气入选非遗”宣扬活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的改变规律，那么甲同学被选中的概率为(D)A．1 B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]从甲、乙、丙三位同学中任选两人有以下三种状况：(甲，乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，其中含有甲的有两种，所以甲同学被选中的概率为eq\f(2,3)，故选D.2．(2024·广东湛江调研)从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任取2人在班内进行读后共享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为(D)A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3[解析]P＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).3．(2024·江西宜春中学二模)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，全部人同时翻转自己的硬币．若硬币正面对上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人接着坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(15,32)C．eq\f(11,32) D．eq\f(5,16)[解析]设五个人的编号分别为1,2,3,4,5，由题意，全部事务共有25＝32种，没有相邻的两个人站起来的基本领件有(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，(2,5)，(3,5)以及没有人站起来，共11种状况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为eq\f(11,32)，故选C.4．(2024·湖南五十校联考)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场竞赛，则田忌的马获胜的概率为(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(4,9)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)[解析]记齐王的三匹马分别为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别为b1，b2，b3，齐王与田忌赛马，其状况有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)共9种；其中田忌的马获胜的状况有(a2，b1)，(a3，b1)，(a3，b2)共3种．则田忌的马获胜的概率为eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，故选A.5．(2024·课标全国Ⅲ)某超市安排按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20,25)，需求量