第三届“钓鱼杯”高中数学竞赛暨2022年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟（无答案）

暨2022年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟命题人：微分忧伤，积分希望注意事项：1.本试卷满分160分，分为选择题60分+填空题20分+解答题70分+附加题10分。2.答卷前，请将自己的学校（全称）、高中毕业年份、QQ昵称、电子邮箱填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1.已知：x+y+z=1，x2+y2+z2=2，x3+y3+z3=3，则x5+y5+z5的值为A.5B.6C.8D.92.m个人中存在两个人生日相同的概率最接近50%的m值是A.10B.20C.50D.1003.n个人编号1~n，n件快递编号1~n，人的编号和快递的编号一一对应，记n个人全部拿错快递的概率为pn，则limPn的值为n→∞A.B.C.D.4.圆内均匀随机地取三个点，三点确定的新圆在旧圆内的概率是A.0.4B.0.45C.0.5D.0.65.下面哪个式子进行因式分解后的各个最简因式的各项系数的绝对值不全是1A.x39−1B.x57−1C.x91−1D.x105−16.n∈[1,1000000]且n∈N+，能满足n3等于三个自然数的立方之和的n占全部n的比例在以下哪个区间A.[0%,30%)B.[30%,70%)C.[70%,99%)D.[99%,100%]7.已知直线方程为=1，n∈则该直线的轨迹的包络线与坐标轴围成的面积是A.B.C.D.8.已知n∈N+，记满足(n17+9,(n+1)17+A.11B.31C.51D.71二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.设非负整数a,b,C满足：∀u,v∈I0,11,u<v,∃n∈N+S.t.u<{an2+bn+C}<v，这里{x}表示实数x的小数部分，即x与不大于x的最大整数的差.下列四组(a,b,C)中，符合要求的是A.(0,3,1)B.(4,0,3)C.(2,2,2)D.(3,1,7)10.记复数z的实部和虚部分别为Rez和Imz，定义复数w=(z1+z1)2.已知z满足Rez2+2RezImz+2Imz2+Rez+Imz=1，则w的模长可能是A.0B.1C.6D.711.下列四个命题中，真命题有A.设x,y,z≥−1,x+y+z=1，则9xyz2+8xyz(x2+y2+z2)+1≥30xyz.B.存在正整数列{an}，使得只有有限个正整数k，满足ak+1>k2ak−1.C.存在积为1的正实数a,b,C,d，满足a−1+b−1+C−1+d−1+9(a+b+C+d)−1=6.D.对任意实数a1,a2,…,an和正实数b1,b2,…,bn,C，在一个n行n列的方格表中的位于第i行j列的方格里填入aiaj(bi+bj)−C，则所有方格的数之和非负.12.设函数00，定义f(x=fx，对正整数n，fnx为fn−1x的导函数，令Bn=下列结论中正确的是A.B122111=0.C.∀x∈R,n∈N+,−+tanx+1≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.设n为1~1000的整数，n除以7,11,13的余数分别为x,y,z，则n用含有x,y,z的表达式表示为▲.14.设抛物线的方程是x2=4y，当抛物线在x轴上作无滑动的滚动时，求焦点形成的轨迹的方程▲.15.网上有一张图流传甚广，如右图所示.已知两个二阶矩阵，左边矩阵的每个元素都是不超过99的正整数，右边矩阵的每个元素都是不超过9的正整数，求按照这种方法计算结果正确的概率是▲.16.数论娘和代数娘都是几何娘的好朋友，她们三个在玩猜生日的游戏，几何娘的生日是m月n日，数论娘和代数娘都知道几何娘的生日是下列10组日期中的一天，几何娘把m值告诉了数论娘，把n值告诉了代数娘，几何娘问她们是否知道她的生日是哪一天.数论娘说：如果我不知道的话，代数娘肯定也不知道.代数娘说：本来我也不知道，但是现在我知道了.数论娘说：哦，那我也知道了.请根据以上对话推断出几何娘的生日是▲.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）=1Xk2≥sec=1XkXk+1cosθk)，其中X1=Xn+1，n≥3，Σ=1θk=π,θk∈18.（本题满分12分）(1)已知四面体Ω是任意四面体，设a,b,c,d,e,f分别是四面体的六条边，直接写出四面体体积V关于a,b,c,d,e,f的表达式.(2)设θij是四面体Ω的内二面角，则对任意实数X1,X2,X3,X4,求证:Σ=1Xk2≥2Σ≤i<j≤4XiXjcosθij.19.（本题满分12分）(1)已知{Fn}是斐波那契数列，F1=F2=1，求Σ的值.(2)考虑数列满足X0=1，Xn=是否有{Xn}为整数数列，如果是，请给出证明；如果不是，请举一个反例.20.（本题满分12分）(1)证明π<2+3(不得直接代入数值计算).(2)已知θ1+θ2+θ3+θ4=π,求2sinθ1+3sinθ2+5sin21.（本题满分12分）记球体半径为r，我们熟知：二维球体(圆)的体积(面积)是V2=π∙r2，三维球体的体积是π∙r3.现已知：n维球体体积和rn成正比，记Vn=an∙rn(定义一维球体的体积为：V1=(1)求a4的值和{an}的通项公式.(2)求满足r=1的所有正偶数维度球体的体积的数值之和.22.（本题满分12分）设z∈C,a∈−1,1,n∈N+.定义多项式fnz=Σ=0Cakn−kzk.,n=5时，解方程：fnz=