成都自主招生数学试卷

成都自主招生数学试卷一、选择题

1.在成都自主招生考试中，以下哪个函数的单调区间是（）。

A.$f(x)=x^2-4x+3$

B.$f(x)=-x^2+4x-3$

C.$f(x)=2x^3-3x^2+2x-1$

D.$f(x)=x^3-3x^2+2x-1$

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5=35$，$S_8=64$，则$a_6=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

二、判断题

1.在成都自主招生数学考试中，二次函数的顶点坐标可以通过公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$直接计算得到。（）

2.如果一个数列的前$n$项和为$S_n$，那么数列的第$n$项$a_n$可以表示为$a_n=S_n-S_{n-1}$。（）

3.在直角坐标系中，点到直线的距离公式是$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其中$A$、$B$和$C$是直线方程$Ax+By+C=0$的系数。（）

4.在成都自主招生数学考试中，解一元二次方程$ax^2+bx+c=0$时，判别式$\Delta=b^2-4ac$的值决定了方程的根的性质。（）

5.在成都自主招生数学考试中，如果$n$是奇数，那么$n^2$一定是偶数。（）

三、填空题

1.在函数$f(x)=2x^3-3x^2+2x-1$中，若$f(x)$的图像在点$x=1$处的切线斜率为__________。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的第三项$a_3=7$，公差$d=3$，则该数列的第一项$a_1=__________$。

3.在直角坐标系中，点$P(2,3)$到直线$x-2y+4=0$的距离为__________。

4.解一元二次方程$x^2-5x+6=0$，得到两个根$x_1$和$x_2$，若$x_1+x_2=__________$，则该方程有两个相等的实数根。

5.在函数$f(x)=\frac{1}{x-2}$的定义域中，若要使$f(x)$有意义，则$x$的取值范围是__________。

四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明如何使用配方法解一元二次方程。

2.请解释等差数列和等比数列的定义，并给出一个例子，说明如何计算这两个数列的前$n$项和。

3.如何在直角坐标系中找到直线$y=mx+b$的斜率$m$和截距$b$？请给出一个具体的例子。

4.简述函数的奇偶性定义，并举例说明如何判断一个函数是奇函数、偶函数还是非奇非偶函数。

5.请解释什么是函数的极值，并说明如何通过导数来判断函数的单调性和极值点。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在$x=2$处的导数值。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=3n^2-n$，求该数列的第一项$a_1$和公差$d$。

3.求直线$2x-3y+6=0$与直线$x+4y-5=0$的交点坐标。

4.解一元二次方程$x^2-6x+8=0$，并求出方程的判别式$\Delta$。

5.计算函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$在其定义域内的极值点，并判断该极值点是极大值还是极小值。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司计划推出一款新产品，根据市场调研，该产品在市场上的需求量$Q$与价格$P$的关系可以近似表示为$Q=100-2P$。同时，该公司的成本函数为$C(P)=50P+5000$，其中$P$是每件产品的价格，$C(P)$是总成本。

案例分析：

（1）请根据上述需求函数和成本函数，写出该公司的利润函数$L(P)$。

（2）求出利润函数$L(P)$的最大值，并确定实现最大利润时的产品价格$P$。

2.案例背景：某城市交通管理部门正在研究一条新修建道路的收费策略。假设道路的固定成本为$20000$元，每辆车的可变成本为$0.5$元/公里。根据交通流量数据，每辆车的平均行驶距离$D$与收费标准$R$的关系可以表示为$D=100-R$。

案例分析：

（1）请根据上述关系，建立道路运营的收益函数$R(R)$。

（2）求出收益函数$R(R)$的最大值，并确定实现最大收益时的收费标准$R$。同时，分析此收费标准对道路使用量的影响。

七、应用题

1.应用题：某班级有学生50人，根据成绩分布，成绩在60-70分的学生占30%，70-80分的学生占40%，80-90分的学生占20%，90分以上的学生占10%。请问该班级平均分是多少？

2.应用题：一个长方形的长是宽的两倍，如果长方形的周长是20厘米，求长方形的长和宽。

3.应用题：某工厂生产一批产品，如果每天生产10件，则可以在规定的时间内完成；如果每天生产15件，则可以提前一天完成。请计算该工厂需要多少天才能完成这批产品的生产？

4.应用题：某市自来水公司的水费计算方式为：每月用水量不超过15吨的部分，每吨水费2元；超过15吨的部分，每吨水费3元。如果某用户一个月的水费是45元，求该用户一个月的用水量。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.B

2.19

3.3

4.B

5.3

6.2

7.1

8.A

9.4

10.C

二、判断题答案：

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.-2

2.5

3.2

4.5

5.$x\neq2$

四、简答题答案：

1.一元二次方程的解法包括公式法、因式分解法、配方法等。配方法解一元二次方程的步骤如下：首先，将方程$ax^2+bx+c=0$的左边化为完全平方的形式；然后，根据配方法得到的完全平方公式，解出$x$的值。

2.等差数列的定义是：数列中，任意相邻两项之差为常数，这个常数称为公差。等比数列的定义是：数列中，任意相邻两项之比为常数，这个常数称为公比。等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，等比数列的前$n$项和公式为$S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$，其中$r$为公比。

3.在直角坐标系中，直线$y=mx+b$的斜率$m$就是直线的倾斜程度，截距$b$是直线与$y$轴的交点坐标。斜率$m$可以通过直线上任意两点的坐标计算得到，即$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。

4.函数的奇偶性定义如下：若对于函数$f(x)$的定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若对于函数$f(x)$的定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数；否则，称$f(x)$为非奇非偶函数。

5.函数的极值是指函数在某一点附近的函数值中，该点的函数值比其附近的函数值都要大（或小），这个点称为极值点。通过求函数的导数，当导数为0时，可能是极值点。进一步判断极值点的类型，如果导数从正变负，则该点是极大值点；如果导数从负变正，则该点是极小值点。

五、计算题答案：

1.$f'(2)=6$

2.$a_1=5,d=5$

3.交点坐标为$(3,1)$

4