【-学案导学设计】2020-2021学年高中人教B版数学选修2-1课时作业：3.1.2

3.1.2空间向量的基本定理课时目标1.利用空间向量的数乘运算，理解共线向量、共面对量的意义，把握它们的表示方法.2.理解共线向量定理、共面对量定理和空间向量分解定理，能运用它们解决一些几何问题．1．共线向量定理两个空间向量a，b(__________)，a∥b的充要条件是______________________，使____________．2．向量共面的条件(1)向量a平行于平面α的定义已知向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，假如a的基线OA__________________________，则就说向量a平行于平面α，记作__________．(2)共面对量的定义平行于______________的向量，叫做共面对量．(3)共面对量定理假如两个向量a，b__________，则向量c与向量a，b共面的充要条件是____________，使________________．3．空间向量分解定理(1)空间向量分解定理假如三个向量a，b，c__________，那么对空间任一向量p，________，使__________．(2)基底假如三个向量a，b，c是三个________________，则a，b，c的线性组合____________能生成全部的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个________，记作__________，其中a，b，c都叫做__________．表达式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的__________．一、选择题1．下列命题中正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))D.|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|3.如图，空间四边形OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，则=xeq\o(OA,\s\up6(→))＋y＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则()A．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,6)C．x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,3)D．x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)4．在下列条件中，使M与A、B、C确定共面的是()A.＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－－eq\o(OC,\s\up6(→))B.＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C.＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝05.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))是()A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面对量D．不共面对量6．下列命题中是真命题的是()A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面对量B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C.若向量eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(CD,\s\up6(→))，满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))同向，则eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D.若两个非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))满足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，则eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))题号123456答案二、填空题7.在空间四边形ABCD中，连结AC、BD,若△BCD是正三角形，且E为其中心，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))的化简结果为________．8.在正四周体O－ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝______________(用a，b，c表示)．9.已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，则λ＝________.三、解答题10．已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体．(1)化简eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝αeq\o(AB,\s\up6(→))＋βeq\o(AD,\s\up6(→))＋γeq\o(AA′,\s\up6(→))，试求α，β，γ的值．11．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．力气提升12.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c13.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).（1）推断eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)推断点M是否在平面ABC内．1．利用共线向量定理可以判定两条直线平行或三点共线．2．空间任意三个不共面对量可以线性表示空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．3．利用共面对量定理可以判定空间三个向量共面或四点共面．3．1.2空间向量的基本定理学问梳理1．b≠0存在唯一的实数xa＝xb2．(1)平行于平面α或在α内a∥α(2)同一平面(3)不共线存在唯一的一对实数x，yc＝xa＋yb3．(1)不共面存在一个唯一的有序实数组x，y，zp＝xa＋yb＋zc(2)不共面的向量xa＋yb＋zc基底{a，b，c}基向量线性表示式或线性组合作业设计1．C[A中，若b＝0，则a与c不愿定共线；B中，共面对量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不愿定共面；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ.]2．C[由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\x\to(BC)知eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线．]3．D[∵eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))，①eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(NG,\s\up6(→))，②eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NG,\s\up6(→))，③又eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\o(CN,\s\up6(→))，eq\o(MG,\s\up6(→))＝－2eq\o(NG,\s\up6(→))，∴①＋②＋③，得3eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，即x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).]4．C[∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)).∴M与A、B、C必共面．只有选项C符合．]5．C[如图所示，由于eq\o(D1C,\s\up6(→))－eq\o(D1A,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，而eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，∴eq\o(D1C,\s\up6(→))－eq\o(D1A,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，即eq\o(D1C,\s\up6(→))＝eq\o(D1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))，而eq\o(D1A,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))不共线，所以eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))三向量共面．]6．D[A错．由于空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．B错．由于|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．C错．由于空间向量不争辩大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))这种写法．D对．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，故eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))正确．]7．0解析如图，取BC的中点F，连结DF，则eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.8.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c解析如图，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.9．－2解析P与不共线三点A，B，C共面，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．10．解(1)方法一取AA′的中点为E，则eq\f(1,2)eq\o(AA',\s\up6(→))＝eq\o(EA',\s\up6(→)).又eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(A'D',\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(D'C',\s\up6(→))，取F为D′C′的一个三等分点(D′F＝eq\f(2,3)D′C′)，则eq\o(D'F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\f(1,2)eq\o(AA',\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(EA',\s\up6(→))＋eq\o(A'D',\s\up6(→))＋eq\o(D'F,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→)).方法二取AB的三等分点P使得eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，取CC′的中点Q，则eq\f(1,2)eq\o(AA',\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CC',\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→)).(2)连结BD，则M为BD的中点，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC',\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC',\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA',\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AA',\s\up6(→)).∴α＝eq\f(1,2)，β＝eq\f(1,4)，γ＝eq\f(3,4).11．证明∵eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2eq\o(NP,\s\up6(→)).又∵eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))，①又A，B，C及A1，B1，C1分别共线，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＝2λeq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝ωeq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2ωeq\o(NP,\s\up6(→)).代入①式，得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(2λeq\o(NM,\s\up6(→))＋2ωeq\o(NP,\s\up6(→)))＝λeq\o(N