【全程复习方略】2020年北师版数学文(陕西用)课时作业：第二章-第十节导数与导数的运算

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十三)一、选择题1.函数y=x5·ax(a>0且a≠1)的导数是()(A)y′=5x4·axlna(B)y′=5x4·ax+x5·axlna(C)y′=5x4·ax+x5·ax(D)y′=5x4·ax+x5·axlogax2.(2021·合肥模拟)若抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则a=()(A)4(B)±4(C)8(D)±83.(2021·宝鸡模拟)若函数f(x)=excosx,则此函数图像在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为()(A)0(B)锐角(C)直角(D)钝角4.(2021·赣州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数,若f(2)=2,且QUOTE=-2,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是()(A)y=-2x+2(B)y=-4x+2(C)y=4x+2(D)y=-QUOTEx+25.如图,其中有一个是函数f(x)=QUOTEx3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图像,则f(-1)为()(A)2 (B)-QUOTE (C)3 (D)-QUOTE6.(2021·安庆模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+QUOTEx-9都相切,则a等于()(A)-1或-QUOTE (B)-1或QUOTE(C)-QUOTE或-QUOTE (D)-QUOTE或7二、填空题7.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2xf′(2),则f′(5)=.8.(2021·宜春模拟)若过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为.9.(力气挑战题)若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.三、解答题10.求下列各函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=.(3)y=QUOTE.11.(2021·宿州模拟)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.12.(力气挑战题)设函数y=x2-2x+2的图像为C1,函数y=-x2+ax+b的图像为C2,已知过C1与C2的一个交点的两条切线相互垂直.(1)求a,b之间的关系.(2)求ab的最大值.答案解析1.【解析】选B.y′=(x5)′·ax+x5·(ax)′=5x4ax+x5·axlna.2.【解析】选B.y′=2x,所以在点(a,a2)处的切线方程为:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=QUOTEa,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=QUOTE×|-a2|×|QUOTEa|=QUOTE|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】选D.由已知得:f′(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx),∴f′(1)=e(cos1-sin1).∵QUOTE>1>QUOTE,而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1.∴f′(1)<0,即f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率k<0,∴切线的倾斜角是钝角.4.【解析】选B.由于f(x)的周期为2,所以f(0)=f(2)=2.由QUOTE=-2得QUOTE=-2,即QUOTEf′(0)=-2,得f′(0)=-4,故曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=-4x+2.5.【解析】选B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f′(x)的图像开口向上.又∵a≠0,∴其图像必为(3).由图像特征知f′(0)=0,且对称轴x=-a>0,∴a=-1,故f(-1)=-QUOTE.6.【思路点拨】先设出切点坐标,再依据导数的几何意义写出切线方程,最终由点(1,0)在切线上求出切点后再求a的值.【解析】选A.设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,QUOTE),所以切线方程为y-QUOTE=3QUOTE(x-x0),即y=3QUOTEx-2QUOTE.又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=QUOTE,当x0=0时,由y=0与y=ax2+QUOTEx-9相切可得Δ=(QUOTE)2-4a(-9)=0,解得a=-QUOTE,同理,当x0=QUOTE时,由y=QUOTEx-QUOTE与y=ax2+QUOTEx-9相切可得a=-1,所以选A.【方法技巧】导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=QUOTE求解.7.【解析】对f(x)=3x2+2xf′(2)求导,得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6.答案:68.【解析】y′=ex,设切点坐标为(x0,y0),则QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,∴x0=1,因此切点的坐标为(1,e),切线的斜率为e.答案:(1,e)e9.【思路点拨】求出导函数,依据导函数有零点,求a的取值范围.【解析】由题意可知f′(x)=3ax2+QUOTE,又由于存在垂直于y轴的切线,所以3ax2+QUOTE=0⇒a=QUOTE(x>0)⇒a∈(-∞,0).答案:(-∞,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(2)∵y=QUOTE+QUOTE=QUOTE,∴y′=(QUOTE)′=QUOTE=QUOTE.(3)∵y=QUOTE=cosx-sinx,∴y′=-sinx-cosx.11.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=QUOTEx-3.当x=2时,y=QUOTE.又f′(x)=a+QUOTE,于是QUOTE解得QUOTE故f(x)=x-QUOTE.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+QUOTE知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+QUOTE)(x-x0),即y-(x0-QUOTE)=(1+QUOTE)(x-x0).令x=0得y=-QUOTE,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-QUOTE).令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0),所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为S=QUOTE|-QUOTE||2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.【变式备选】已知函数f(x)=x3+x-16.(1)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.(2)假如曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-QUOTEx+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)方法一:设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3QUOTE+1,∴直线l的方程为y=(3QUOTE+1)(x-x0)+QUOTE+x0-16.又∵直线l过点(0,0),∴0=(3QUOTE+1)(-x0)+QUOTE+x0-16,整理得,QUOTE=-8,∴x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),则k=QUOTE=QUOTE.又∵k=f′(x0)=3QUOTE+1,∴QUOTE=3QUOTE+1,解得x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(2)∵切线与直线y=-QUOTEx+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3QUOTE+1=4,∴x0=±1,∴QUOTE或QUOTE∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,设C1与C2的一个交点为(x0,y0),由题意知过交点(x0,y0)的两条切线相互垂直,∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即4