【创新设计】2021高考数学(理)(江西)二轮专题限时练4

eq\a\vs4\al\co1(限时练四)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知i为虚数单位，a∈R，若(a－1)(a＋1＋i)是纯虚数，则a的值为()．A．－1或1 B．1C．－1 D．3解析∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a2－1)＋(a－1)i是纯虚数，∴a2－1＝0，且a－1≠0，∴a＝－1.答案C2．若命题p：φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的 ()．A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析当φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z时，f(x)＝±cosωx是偶函数，所以p是q的充分条件；若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sinφ＝±1，即φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以p是q的必要条件，故p是q的充要条件．答案A3．已知a＝21.2，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为 ()．A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a解析先把不同底指数化成同底指数，再利用指数函数的单调性比较大小，最终利用中间值与对数函数值进行比较大小．a＝21.2>2，而b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.8＝20.8，所以1<b<2，c＝2log52＝log54<1，所以c<b<a.答案A4．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 ()．A．24 B．39C．52 D．104解析∵3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，由等差数列的性质得6a4＋6a10＝48，∴a7＝4，∴数列{an}的前13项和为13a7＝52.答案C5.执行如图的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为()．A．1 B．2C．3 D．4解析此程序框图的算法功能是分段函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞2，,x2－1，x≤2))的求值，当y＝3时，相应的x值分别为±2,8.答案C6．登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对比表：气温(℃)181310－1山高(km)24343864由表中数据，得到线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋eq\o(a,\s\up6(^))(eq\o(a,\s\up6(^))∈R)．由此估量山高为72(km)处气温的度数为 ()．A．－10 B．－8C．－6 D．－4解析∵eq\x\to(x)＝10，eq\x\to(y)＝40，∴样本中心点为(10,40)，∵回归直线过样本中心点，∴40＝－20＋eq\o(a,\s\up6(^))，即eq\o(a,\s\up6(^))＝60，∴线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60，∴山高为72(km)处气温的度数为－6.答案C7．曲线f(x)＝ex(其中e为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线与直线y＝－x＋3和x轴所围成的区域为D(包含边界)，点P(x，y)为区域D内的动点，则z＝x－3y的最大值为 ()．A．3 B．4C．－1 D．2解析∵f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1，∴曲线f(x)＝ex在点(0,1)处的切线方程为y＝x＋1，其与直线y＝－x＋3及x轴围成的平面区域如图阴影部分所示，当直线z＝x－3y过点A(3,0)时，目标函数z＝x－3y取得最大值3.答案A8．三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为 ()．A．2eq\r(11) B．4eq\r(2)C.eq\r(38) D．16eq\r(3)解析取AC的中点D，连接BD，SD，由正视图及侧视图得，BD⊥平面SAC，SC⊥平面ABC，则∠SDB＝90°，且BD＝2eq\r(3)，SD＝2eq\r(5)，∴SB＝4eq\r(2).答案B9．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足csinA＝eq\r(3)acosC，则sinA＋sinB的最大值是 ()．A．1 B．eq\r(2)C．3 D．eq\r(3)解析∵csinA＝eq\r(3)acosC∴sinCsinA＝eq\r(3)sinAcosC，∵sinA≠0，∴tanC＝eq\r(3)，∵0＜C＜π，∴C＝eq\f(π,3)，∴sinA＋sinB＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，∵0＜A＜eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,6)＜A＋eq\f(π,6)＜eq\f(5π,6)，∴eq\f(\r(3),2)＜eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤eq\r(3)，∴sinA＋sinB的最大值为eq\r(3).答案D10．已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2.若线段MF1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为 ()．A．4＋2eq\r(3) B．eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)＋1解析∵正三角形MF1F2的边长为2c，设MF1的中点为N，∴F2N⊥NF1，在Rt△NF1F2中，简洁求得，|NF2|＝eq\r(3)c，|NF1|＝c，又N在双曲线上，∴|NF2|－|NF1|＝2a，∴2a＝eq\r(3)c－c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.答案D11．若k∈[－3,3]，则k的值使得过A(1,1)可以做两条直线与圆(x－k)2＋y2＝2相切的概率等于 ()．A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切，故需圆心与点A距离大于半径即可，即(1－k)2＋1＞2，解得k＜0或k＞2，所以所求k∈[－3,0)∪(2,3]，概率为P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案C12．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，下列关于函数f(x)的四个命题：x－1045f(x)1221①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③假如当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中真命题的个数是 ()．A．4 B．3C．2 D．1解析首先排解①，不能确定周期性，f(x)在[0,2]上时f′(x)<0，故②正确，当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，结合原函数的单调性知0≤t≤5，所以排解③；不能确定在x＝2时函数值和a的大小，故不能确定几个零点，故④错误．答案D二、填空题13．已知a＝(1,2)，b＝(x,6)，且a∥b，则|a－b|＝________.解析∵a∥b，∴1×6－2x＝0，∴x＝3.故|a－b|＝eq\r(3－12＋6－22)＝2eq\r(5).答案2eq\r(5)14.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x3)))5开放式中的常数项为________．解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x3)))r＝Ceq\o\al(r,5)(－2)rx10－5r，令10－5r＝0得r＝2.所以常数项为T3＝Ceq\o\al(2,5)(－2)2＝40.答案4015．在三棱锥P­ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥的外接球的表面积为________．解析∵侧棱PA，PB，PC两两垂直，∴三棱锥P­ABC的外接球就是以PC，PB，PA为长，宽，高的长方体的外接球，∵PA＝1，PB＝2，PC＝3，∴长方体的体对角线即外接球的直径为eq\r(14)，∴此三棱锥的外接球的表面积为14π.答案14π16．若实数a，b，c，d满足|b＋a2－3lna|＋(c－d＋2)2＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为______．解析∵|b＋a2－3lna|＋(c－d＋2)2＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3lna－a2，,d＝