【创新设计】2022届数学一轮(理科)浙江专用-课时作业10-5-第十章-计数原理、概率

第5讲古典概型基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2021·江西卷)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)解析从A、B中任意取一个数，共有6种情形，两数和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)两种，∴P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案C2．有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9种状况，甲、乙两人参与同一爱好小组共有3种状况，∴甲、乙两人参与同一爱好小组的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，故选A.答案A3．(2021·安徽卷)若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)解析设大事“甲或乙被录用”为大事A，则eq\x\to(A)表示“甲、乙都没被录用”，由古典概型，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，∴P(A)＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).答案D4．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是()A.eq\f(5,12)B.eq\f(7,12)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本大事总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12)，故选A.答案A5．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析第一步先排语文书有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)排法．其次步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有Aeq\o\al(2,4)＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有Aeq\o\al(5,5)＝120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是eq\f(48,120)＝eq\f(2,5).答案B二、填空题6．(2022·江苏卷)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．解析从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种状况．满足条件的有(2,3)，(1,6)，共2种状况．故P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)7．(2022·广东卷)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．解析从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数有Ceq\o\al(7,10)种选法．要使抽取的七个数的中位数是6，则6,7,8,9必需取，再从0,1,2,3,4,5中任取3个，有Ceq\o\al(3,6)种选法，故概率为eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(7,10))＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)8．(2022·江西卷)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．解析从10件产品中任取4件共Ceq\o\al(4,10)种取法，取出的4件产品中恰有一件次品，有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(1,3)种取法，则所求概率P＝eq\f(C\o\al(3,7)C\o\al(1,3),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)三、解答题9．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个小球，每个小球被取出的可能性相等．(1)求取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率；(2)求取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率．解法一利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的全部可能结果：可以看出，试验的全部可能结果数为16种．(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1—2，2—1，2—3,3—2,3—4,4—3，共6种，故所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).(2)所取两个小球上的标号之和能被3整除的结果有1—2，2—1,2—4,3—3,4—2，共5种．故所求概率P＝eq\f(5,16).法二设从甲、乙两个盒子中各取1个小球，其标号分别记为x、y，用(x，y)表示抽取结果，则全部可能有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种．(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6种．故所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).(2)所取两个小球上的标号和能被3整除的结果有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，共5种．故所求概率P＝eq\f(5,16).10．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解(1)从5张卡片中任取两张，共有n＝Ceq\o\al(2,5)＝10种方法．记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为大事A，则A包含基本大事m＝Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)－1＝3个．由古典概型概率公式，P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,10).(2)从6张卡片中任取两张，共有n＝Ceq\o\al(2,6)＝15个基本大事，记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为大事B，则大事B包含基本大事总数m＝Ceq\o\al(1,1)(Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3))＋(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)－1)＝8，∴所求大事的概率P(B)＝eq\f(m,n)＝eq\f(8,15).力量提升题组(建议用时：35分钟)11．(2021·东北八校二模)甲、乙两人玩猜数字玩耍，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个玩耍，则他们“心有灵犀”的概率为()A.eq\f(1,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(7,18)D.eq\f(4,9)解析任意找两人玩这个玩耍，共有6×6＝36种猜数字结果，其中满足|a－b|≤1的有如下情形：①若a＝1，则b＝1,2；②若a＝2，则b＝1,2,3；③若a＝3，则b＝2,3,4；④若a＝4，则b＝3,4,5；⑤若a＝5，则b＝4,5,6；⑥若a＝6，则b＝5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).答案D12．(2022·济南质检)三位同学参与跳高、跳远、铅球项目的竞赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3)D.eq\f(7,9)解析三位同学每人选择三项中的两项有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)＝3×3×3＝27种选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)＝3×3×2＝18(种)选法．∴所求概率为P＝eq\f(18,27)＝eq\f(2,3).答案A13．某艺校在一天的6节课中随机支配语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为______(用数字作答)．解析法一6节课的全排列为Aeq\o\al(6,6)种，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为(Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3))种，由古典概型概率公式得P(A)＝eq\f(A\o\al(3,3)C\o\al(2,3)A\o\al(2,2)A\o\al(2,2)＋2A\o\al(3,3)A\o\al(3,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).法二6节课的全排列为Aeq\o\al(6,6)种，先排三节艺术课有Aeq\o\al(3,3)种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有Aeq\o\al(3,4)种不同方法，故由古典概型概率公式得P(A)＝eq\f(A\o\al(3,3)A\o\al(3,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).答案eq\f(1,5)14．一个袋中装有四个外形大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取一个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本大事有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的大事共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求大事的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先从袋中随机取一个球，登记编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，登记编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的大事为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的大事的概率为P1＝eq\f(3,16).故满足条件n＜m＋2的大事的概率为1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).15．(2021·河南三门峡4月)某校50名同学参与智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：答对题目个数0123人数5102015依据上表信息解答以下问题：从50名同学中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率．解记“两人答对题目个数之和为4或5”为大事AP(A)＝eq\f(C\o\al(2,20)＋C\o\al(1,10)C\o\al(1,15)＋C\o\al(1,20)C\o\al(1,15),C\o\al(2,50))＝eq\f(190＋150＋300,25×49)＝eq\f(128,245)，即两人答对题目个数之和为4或5的概率为eq\f(128,245).16．为了解同学身高状况，某校以10%的比例对