【名师伴你行】2021届高考文科数学二轮复习提能专训15-概率

提能专训(十五)概率一、选择题1．(2022·浙江抽测)从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a，b，使得a2≥4b的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,12)答案：C解析：基本大事为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a2≥4b的概率是eq\f(1,2).2．(2022·邯郸二模)甲、乙、丙3位老师支配在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多支配1人，则恰好甲支配在另外两位老师前面值班的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(3,5)答案：A解析：第一种状况：甲支配在第一天，则有4×3＝12种；其次种状况：甲支配在其次天，则有3×2＝6种；甲支配在第三天，则有2×1＝2种，所以P＝eq\f(12＋6＋2,5×4×3)＝eq\f(1,3).3．(2022·景德镇第一次质检)甲、乙两名棋手竞赛正在进行中，甲必需再胜2盘才最终获胜，乙必需再胜3盘才最终获胜，若甲、乙两人每盘取胜的概率都是eq\f(1,2)，则甲最终获胜的概率是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(11,16)C.eq\f(5,8)D.eq\f(9,16)答案：B解析：甲、乙再打2局甲胜的概率eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)；甲、乙再打3局甲胜的概率2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)；甲、乙再打4局甲胜的概率3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,16)，所以甲最终获胜的概率为eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＋eq\f(3,16)＝eq\f(11,16)，故选B.4．(2022·山西康杰中学二模)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)答案：C解析：如图，AB为⊙O的一条直径，C，D分别是AO，BO的中点，易知取点C，D时，作出的弦的长度恰好等于圆内接正三角形的边长，而点取在C，D之间时，弦长超过圆内接正三角形的边长，故所求概率为P＝eq\f(|CD|,|AB|)＝eq\f(1,2).5．(2022·河北石家庄高三模拟)如下茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成果，其中有一个数字被污损，则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率是()A.eq\f(2,5)B.eq\f(7,10)C.eq\f(4,5)D.eq\f(9,10)答案：C解析：记其中被污损的数字为x，由题知甲的5次综合测评的平均成果是eq\f(1,5)×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成果是eq\f(1,5)×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝eq\f(442＋x,5)，令90>eq\f(442＋x,5)，解得x<8，即x的取值可以是0～7，因此甲的平均成果超过乙的平均成果的概率是eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，故选C.6．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)答案：D解析：从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数有5种选法，从{1,2,3}中随机选取一个数有3种选法，易知共有15种选法．而满足b>a的选法有：当b＝3时，a有2种，当b＝2时，a有1种，共有2＋1＝3(种)选法．由古典概型知b>a的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).7．(2022·沈阳质检一)在满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0))的平面点集中随机取一点M(x0，y0)，设大事A＝“y0<2x0”，那么大事A发生的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案：B解析：依据几何概型的概率公式求解．作出不等式组对应的平面区域，是图中的三角形ABC，其中大事A对应的区域如图中阴影部分，所以大事A发生的概率为eq\f(3,4)，故选B.8．(2022·河北三市二模)一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成果，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c[a，b，c∈[0,1)]，假如已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当eq\f(10,a)＋eq\f(1,9b)取最小值时，c的值为()A.eq\f(1,11)B.eq\f(2,11)C.eq\f(5,11)D．0答案：A解析：由于运动员射击一次击中环数的期望为9，所以有10a＋9b所以eq\f(10,a)＋eq\f(1,9b)＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,a)＋\f(1,9b)))(9b＋10a)＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(90b,a)＋\f(10a,9b)＋101))≥eq\f(121,9).当且仅当eq\f(90b,a)＝eq\f(10a,9b)时取等号，即a＝9b.将其和10a＋9b＝9联立可解得a＝eq\f(9,11)，b＝eq\f(1,11).又由于a＋b＋c＝1，所以c＝eq\f(1,11).9．(2022·东三省四市二联)P为圆C1：x2＋y2＝9上任意一点，Q为圆C2：x2＋y2＝25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为()A.eq\f(13,25)B.eq\f(3,5)C.eq\f(13,25π)D.eq\f(3,5π)答案：B解析：设Q(x0，y0)，中点M(x，y)，则P(2x－x0,2y－y0)，代入x2＋y2＝9，得(2x－x0)2＋(2y－y0)2＝9，化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x0,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y0,2)))2＝eq\f(9,4)，故M轨迹是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)，\f(y0,2)))为圆心、以eq\f(3,2)为半径的圆，又点(x0，y0)在圆x2＋y2＝25上，所以区域M为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带，即应有x2＋y2＝r2(1≤r≤4)，那么在C2内部任取一点落在M内的概率为eq\f(16π－π,25π)＝eq\f(3,5)，故选B.10．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,36)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,2)答案：C解析：由log2xy＝1⇒2x＝y，x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3,4,5,6}，∴x＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种状况，∴P＝eq\f(3,6×6)＝eq\f(1,12).11．记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的概率为()A.eq\f(5,18)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,10)D.eq\f(9,10)答案：B解析：由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a，b，则基本大事有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个．而方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的条件是a2－8b>0，因此满足此条件的基本大事有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共有9个，故所求的概率为eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).12．在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为()A．1－eq\f(π,8)B．1－eq\f(π,4)C．1－eq\f(π,2)D．1－eq\f(3π,4)答案：B解析：函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2＋b2≥π2的点(a，b)如图阴影部分所示，所求大事的概率为P＝eq\f(2π×2π－π3,2π×2π)＝eq\f(4π2－π3,4π2)＝1－eq\f(π,4)，故选B.二、填空题13．已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤2，x，y∈Z}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤2，x，y∈Z}，在集合A中任取一个元素a，则a∈B的概率是________．答案：eq\f(9,13)解析：满足集合A的点有：(－2,0)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－2)，(0，－1)，(0,1)，(0,0)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2,0)共13个，满足集合B的有：(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共9个，则a∈B的概率是eq\f(9,13).14．现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动，则甲被选中的概率为________．答案：eq\f(2,3)解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人，共有甲乙、甲丙、乙丙三种选法，其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为eq\f(2,3)，枚举法是求古典概率的一个有效方法．15．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．答案：eq\f(1,2)解析：从3只白球、1只黑球中任取两只颜色不同的小球，取法有3种，从4只小球中任取两只小球，取法有6种．故取出两只不同颜色小球的概率是P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).16．(2022·山东潍坊一模)如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场竞赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为________．答案：eq\f(7,10)解析：由茎叶图知甲在五场竞赛中的得分总和为18＋19＋20＋21＋22＝100；乙运动员在已知成果的四场竞赛中得分总和为15＋16＋18＋28＝77，乙的另一场得分是20到29十个数字中的任何一个的可能性是相等的，共有10个基本大事，而大事“甲的平均得分不超过乙的平均得分”就包含了其中的23,24,25,26,27,28,29共7个基本大事，所以甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为eq\f(7,10).三、解答题17．某城市要建成宜商、宜居的国际化现代新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分状况如茎叶图所示．(1)依据茎叶图推断哪个区域厂家的平均分较高；(2)规定85分以上(含85分)为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5的概率．解：(1)由茎叶图易知东城区的平均分较高．(2)从两个区域各选一个优秀厂家，则全部的基本大事有(88,85)，(88,94)，(88,94)，(88,85)，(88,94)，(88,94)，(89,85)，(89,94)，(89,94)，(93,85)，(93,94)，(93,94)，(94,85)，(94,94)，(94,94)，共15个，得分差距不超过5的大事有(88,85)，(88,85)，(89,85)，(89,94)，(89,94)，(93,94)，(93,94)，(94,94)，(94,94)，共9个．所以满足条件的概率为eq\f(3,5).18．一中食堂有一个面食窗口，假设同学买饭所需的时间相互独立，且都是整分钟，对以往同学买饭所需的时间统计结果如下：买饭时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个同学开头买饭时计时．(1)求第2分钟末没有人买到饭的概率；(2)估量第三个同学恰好等待4分钟开头买饭的概率．解：(1)记“第2分钟末没有人买到饭”为大事A，即是第一个同学买饭所需的时间超过2分钟，所以P(A)＝P(A>2)＝0.5.(2)大事A表示“第三个同学恰好等待4分钟开头买饭”，则A大事对应三种情形：①第一个同学买饭所需的时间为1分钟，且其次个同学买饭所需的时间为3分钟；②第一同学买饭所需的时间为3分钟，且其次个同学买饭所需的时间为1分钟；③第一个和其次个同学所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)·P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.19．(2022·陕西五校联考)近年来，我国很多省市雾霾天气频发，为增加市民的环境爱护意识，某市面对全市征召义务宣扬志愿者，成立环境爱护宣扬组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．(1)求该组织的人数；(2)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与某社区的宣扬活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(3)在(2)的条件下，该组织打算在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣扬阅历，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．解：(1)由题意得0.07×5×n＝35，∴n＝100.故该组织有100人．(2)第3组的人数为0.3×100＝30，第4组的人数为0.2×100＝20，第5组的人数为0.1×100＝10.∵第3,4,5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者．每组抽取的人数分别为第3组：eq\f(30,60)×6＝3；第4组：eq\f(20,60)×6＝2；第5组：eq\f(10,60)×6＝1.∴应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人．(3)记第3组的3名志愿者编号为1,2,3，第4组的2名志愿者编号为4,5，第5组的1名志愿者编号为6.从6名志愿者中随机抽取2名有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15种，其中没有第3组的有(4,5)，(4,6)，(5,6)，共3种，故所求的概率为P＝1－eq\f(3,