【名师一号】2020-2021学年高中数学新课标人教A版选修1-1双基限时练7(第二章)

双基限时练(七)1．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)的关系为()A．有相等的长轴 B．有相等的短轴C．有相同的焦点 D．有相等的焦距答案D2．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案D3．直线y＝a与椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1恒有两个不同交点，则a的取值范围是()A．(－eq\r(3)，eq\r(3)) B．(－3,3)C．(－2,2) D．(－4,4)答案C4．已知点(3,2)在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上，则()A．点(－3，－2)不在椭圆上B．点(3，－2)不在椭圆上C．点(－3,2)在椭圆上D．无法判定(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)在椭圆上解析由椭圆的对称性知，点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)都在椭圆上．答案C5．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1和eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝k(k>0，a>0，b>0)具有()A．相同的顶点B．相同的离心率C．相同的焦点D．相同的长轴和短轴解析不妨设a>b，则椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率e1＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2－b2,a2)).而椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝k的离心率e2＝eq\r(\f(ka2－kb2,ka2))＝eq\r(\f(a2－b2,a2))，∴e1＝e2.答案B6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．解析由题意得2a＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝6，c＝3eq\r(3)，b＝3，故椭圆G的方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.答案eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝17．在一椭圆中以焦点F1，F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e等于________．解析由题可知b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，a＝eq\r(2)c.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)8．过椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.解析右焦点的坐标为(3,0)，当x＝3时，代入椭圆方程得eq\f(9,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴y2＝eq\f(16×16,25)，∴|y|＝eq\f(16,5).故|AB|＝2|y|＝eq\f(32,5).答案eq\f(32,5)9．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BF⊥BA，则称其为“美丽 椭圆”，那么“美丽 椭圆”的离心率为________．解析由题意知|BF|＝a，|AF|＝a＋c，|AB|＝eq\r(a2＋b2)，∵BF⊥BA，∴|BF|2＋|BA|2＝|AF|2，即a2＋a2＋b2＝(a＋c)2.化简得a2－ac－c2＝0，∴e2＋e－1＝0.解得e＝eq\f(－1±\r(5),2).∵0<e<1，∴e＝eq\f(－1＋\r(5),2).答案eq\f(－1＋\r(5),2)10．椭圆过(3,0)点，离心率e＝eq\f(\r(6),3)，求椭圆的标准方程．解当椭圆焦点在x轴上时，则a＝3，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴c＝eq\r(6)∴b2＝a2－c2＝3故椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，则b＝3，又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(6),3)，∴a2＝27.故椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,27)＝1，∴所求椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1，或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,27)＝1.11．如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的eq\f(2,3)，求椭圆的离心率．解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，eq\f(2,3)b)，则△MF1F2为直角三角形．∴|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2即4c2＋eq\f(4,9)b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝eq\r(4c2＋\f(4,9)b2)＋eq\f(2,3)b＝2a，整理得3c2＝3a2－2又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9).∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,9)，∴e＝eq\f(\r(5),3).12．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，假如F1到直线AB的距离为eq\f(b,\r(7))，求椭圆的离心率e.解由A(－a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝eq\f(b,a)，故AB所在的直线方程为y－b＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＋ab＝0.又F1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d＝eq\f(|－bc＋ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(b,\r(7))，∴eq\r(7)(a－c)＝eq\r(a2＋b2).又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5即8eq\b\lc\(\