【全程复习方略】2020年数学文(广西用)课时作业：第六章-第二节不等式的证明

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十九)一、选择题1.要证明QUOTE+QUOTE<2QUOTE可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()(A)综合法 (B)分析法(C)类比法 (D)归纳法2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法证明a>0,b>0,c>0时的反设为()(A)a<0,b<0,c<0(B)a≤0,b>0,c>0(C)a,b,c不全是正数(D)abc<03.(2021·珠海模拟)设a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是()(A)QUOTE<QUOTE (B)QUOTE>QUOTE(C)a2>QUOTE (D)a>b24.若QUOTE<QUOTE<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④QUOTE+QUOTE>2中,正确的不等式是()(A)①② (B)②③(C)①④ (D)③④5.p=QUOTE+QUOTE,q=QUOTE(m,n,a,b,c,d均为正数),则p,q的大小为()(A)p≥q (B)p≤q (C)p>q (D)不确定6.(2021·桂林模拟)“a=QUOTE”是“对任意的正数x,2x+QUOTE≥1”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.设a,b,c,d∈R,若a,1,b成等比数列,且c,1,d成等差数列,则下列不等式恒成立的是()(A)a+b≤2cd (B)a+b≥2cd(C)|a+b|≤2cd (D)|a+b|≥2cd8.已知a,b为非零实数,则使不等式QUOTE+QUOTE≤-2成立的一个充分不必要条件是()(A)ab>0 (B)ab<0(C)a>0,b<0 (D)a>0,b>09.若a>b>1,P=QUOTE,Q=QUOTE(lga+lgb),R=lgQUOTE,则()(A)R<P<Q (B)P<Q<R(C)Q<P<R (D)P<R<Q10.(力气挑战题)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则QUOTE+QUOTE的最小值为()(A)4 (B)4QUOTE (C)8 (D)8QUOTE11.设0<a<b,则下列不等式中正确的是()(A)a<b<QUOTE<QUOTE (B)a<QUOTE<QUOTE<b(C)a<QUOTE<b<QUOTE (D)QUOTE<a<QUOTE<b二、填空题12.已知a1≤a2,b1≥b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是.13.设A=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,B=QUOTE,则A与B的大小关系是.14.(2021·崇左模拟)已知函数f(x)=x2-cosx,对于[-QUOTE,QUOTE]上的任意x1,x2,有如下条件:①x1>x2;②QUOTE>QUOTE;③x1>|x2|.其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是.15.(力气挑战题)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写出全部正确命题的编号).①ab≤1;②QUOTE+QUOTE≤QUOTE;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤QUOTE+QUOTE≥2.三、解答题16.(力气挑战题)(1)求证:当a>1时,不等式a3+QUOTE>a2+QUOTE成立;(2)要使上述不等式成立,能否将条件“a>1”适当放宽?若能,请放宽条件,并简述理由;若不能,也请说明理由;(3)请你依据(1)(2)的结果,写出一个更为一般的结论,并予以证明.答案解析1.【解析】选B.要证明QUOTE+QUOTE<2QUOTE,只需证QUOTE+QUOTE<QUOTE+QUOTE.两边平方有10+2QUOTE<10+10.即只要证2QUOTE<10.再两边平方有84<100成立.故QUOTE+QUOTE<2QUOTE成立.由证明过程可知分析法最合理.2.【解析】选C.反证法的原理是从假设结论不成立动身进行证明的,故反设为a,b,c不全是正数.3.【解析】选D.若b<0,则QUOTE<0,∴QUOTE>QUOTE,故A不正确.若b>0,由a>1>b>0,得QUOTE<QUOTE,故B也不正确.当a=2,b=QUOTE时,a2=4<9=QUOTE,故C也不正确.∵-1<b<1,∴0≤b2<1,∴a>1>b2,故D正确.4.【解析】选C.∵QUOTE<QUOTE<0,∴a<0,b<0,QUOTE-QUOTE=QUOTE<0,∴b-a<0,即b<a<0,故③不正确.∴|b|>|a|,故②不正确,ab>0,a+b<0,故①正确,∴QUOTE>0,QUOTE>0,又a≠b,∴QUOTE+QUOTE>2QUOTE=2,故④正确.5.【解析】选B.q=QUOTE≥QUOTE=QUOTE+QUOTE=p.6.【解析】选A.令p:“a=QUOTE”,q:“对任意的正数x,2x+QUOTE≥1”.若p成立,则a=QUOTE,则2x+QUOTE=2x+QUOTE≥2QUOTE=1,即q成立,pq;若q成立,则2x2-x+a≥0恒成立,解得a≥QUOTE,∴qp,∴p是q的充分不必要条件.7.【解析】选D.由题意可知,ab=1,c+d=2.故|a+b|≥2QUOTE=2,cd≤(QUOTE)2=1.∴|a+b|≥2cd.8.【解析】选C.∵QUOTE与QUOTE同号,由QUOTE+QUOTE≤-2,知QUOTE<0,QUOTE<0,即ab<0.又若ab<0,则QUOTE<0,QUOTE<0.∴QUOTE+QUOTE=-[(-QUOTE)+(-QUOTE)]≤-2QUOTE=-2,综上,ab<0是QUOTE+QUOTE≤-2的充要条件,∴a>0,b<0是QUOTE+QUOTE≤-2的一个充分不必要条件.9.【解析】选B.∵lga>lgb>0,∴QUOTE(lga+lgb)>QUOTE,即Q>P,又∵a>b>1,∴QUOTE>QUOTE,∴lgQUOTE>lgQUOTE=QUOTE(lga+lgb),即R>Q,∴有P<Q<R,选B.10.【思路点拨】结合“二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞)”建立a与c的关系,并用均值不等式求解.【解析】选A.∵f(x)=ax2+2x+c的值域为[0,+∞),则由Δ=0,a>0得c=QUOTE,∴QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=a2+a+QUOTE+QUOTE=(a2+QUOTE)+(a+QUOTE)≥4(当且仅当a=QUOTE,即a=1时取等号).11.【解析】选B.方法一∵0<a<b,∴ab<b2,a2<ab,2a<a+b<2b,∴a<QUOTE<b,a<QUOTE<b,又QUOTE>QUOTE,∴a<QUOTE<QUOTE<b.方法二(特值法):∵0<a<b,取a=1,b=4,则QUOTE=2,QUOTE=QUOTE,∴当a=1,b=4时,a<QUOTE<QUOTE<b,否定A,C,D,故选B.12.【解析】a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2),由于a1≤a2,b1≥b2,所以a1-a2≤0,b1-b2≥0,于是(a1-a2)(b1-b2)≤0,故a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.答案:a1b1+a2b2≤a1b2+a2b113.【解析】A=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≥QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE=B.答案:A≥B14.【解析】∵f(-x)=x2-cosx=f(x),且x∈[-QUOTE,QUOTE],∴f(x)为偶函数,又∵f'(x)=2x+sinx,当x∈[0,QUOTE]时,f'(x)≥0,∴f(x)在[0,QUOTE]上单调递增,结合f(x)的性质可知f(x)在[-QUOTE,0]上单调递减,明显当QUOTE>QUOTE时,有|x1|>|x2|,从而f(x1)>f(x2),当x1>|x2|时,也有f(x1)>f(x2),故使f(x1)>f(x2)恒成立的条件为②③.答案:②③15.【解析】令a=b=1,排解②.由2=a+b≥2QUOTEab≤1,①正确.a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,③正确.∵a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)=(a+b)[(a+b)2-3ab]≥(a+b)[(a+b)2-3(QUOTE)2]=2×(4-3)=2,④错误.QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE≥2,⑤正确.答案:①③⑤16.【思路点拨】(1)用比较法证明.(2)结合(1)的证明过程给出放宽条件及其理由.(3)结合类比归纳原理进行归纳,并给出理由.【解析】(1)a3+QUOTE-a2-QUOTE=QUOTE(a-1)(a5-1).由于a>1,所以QUOTE(a-1)(a5-1)>0,故原不等式成立.(2)由于a-1与a5-1对于任意的a>0且a≠1都保持同号,所以上述不等式对任何a>0且a≠1都成立,故条件可以放宽为a>0且a≠1.(3)依据(1)(2)的证明,可推知:若a>0且a≠1,m>n>0,则有am+QUOTE>an+QUOTE.证明如下:左边-右边=am-an+QUOTE-QUOTE=an(am-n-1)-QUOTE(am-n-1)=QUOTE(am-n-1)(am+n-1),若a>1,则由m>n>0得am-n-1>0,am+n-1>0,知不等式成立;若0<a<1,则由m>n>0得-1<am-n-1<0,-1<am+n-1<0,知不等式成立.综上,a>0且a≠1,m>n>0时,有am+QUOTE>an+QUOTE.【方法技巧】证明不等式的方法选择(1)不等式两边为多项式且作差后能分解因式或配方的宜用作差法.不等式两边为单项式,宜用作商法.(2)不等式一边为多项高次,另一边为低次或单项,宜用综合法.(3)不等式两边为分数指数或分式形式的多项式,宜用分析法.(4)直接证明不等式较困难或含有“至多”“至少”等问题的不等式证明宜用反证法.【变式备选】我们将具有下列性质的全部函数组成集合M:函数y=f(x)(x∈D),对任意x,y,QUOTE∈D均满足f(QUOTE)≥QUOTE[f(x)+f(y)],当且仅当x=y时等号成立.(1)若定义在(0,+∞)上的函数f(x)∈M,试比较f(3)+f(5)与2f(4)的大小.(2)给定两个函数:f1(x)=QUOTE(x>0),f2(x)=logax(a>1,x>0).证明:f1(x)M,f2(x)∈M.(3)试利用(2)的结论解决下列问题:若实数m,n满足2m+2n=1,求m+n的最大值.【解析】(1)QUOTE≤f(QUOTE),即f(3)+f(5)≤2f(4),但3≠5,所以f(3)+f(5)<2f(4).(2)①对于f1(x)=QUOTE(x>0),取x=1,y=2,则f1(QUOTE)=f1(QUOTE)=QUOTE,QUOTE[f1(x)+f1(y)]=QUOTE×(1+QUOTE)=QUOTE,所以f(QUOTE)<QUOTE[f(x)+f(y)],所以f1(x)M.②对于f2(x)=logax(a>1,x>0),任取x,y∈(0,+∞),则f(QUOTE)=logaQUOTE,∵QUOTE≥QUOTE,而函数f2(x)=logax(a>1,x>0)是增函数,∴logaQUOTE≥logaQUOTE,即logaQUOTE≥QUOTEloga(xy)=