2022届《创新设计》数学一轮(文科)北师大版课时作业-4-6正弦定理、余弦定理及解三角形

第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2022·北京西城区模拟)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cosA＝eq\f(1,3)，则B＝()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,6) D.eq\f(2π,3)解析由于cosA＝eq\f(1,3)，所以sinA＝eq\r(1－\f(1,9))＝eq\f(2\r(2),3)，由正弦定理，得eq\f(4,sinA)＝eq\f(3,sinB)，所以sinB＝eq\f(\r(2),2)，又由于b＜a，所以B＜eq\f(π,2)，B＝eq\f(π,4)，故选A.答案A2．(2021·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则BC的长为 ()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3) C．2eq\r(3) D．2解析由于S＝eq\f(1,2)×AB×ACsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝eq\r(3).答案B3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,4)，则△ABC的面积为 ()A．2eq\r(3)＋2 B.eq\r(3)＋1C．2eq\r(3)－2 D.eq\r(3)－1解析由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)及已知条件，得c＝2eq\r(2)，又sinA＝sin(B＋C)＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).从而S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝eq\r(3)＋1.答案B4．(2022·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的 ()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析依题意，由a＝2bcosC及正弦定理，得sinA＝2sinBcosC，sin(B＋C)－2sinBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC－2sinBcosC＝sin(C－B)＝0，C＝B，△ABC是等腰三角形；反过来，由△ABC是等腰三角形不能得知C＝B，a＝2bcosC．因此，“a＝2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.答案A5．(2022·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于 ()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，在Rt△ACD中，CD＝eq\f(AD,tan∠ACD)＝eq\f(60,tan30°)＝60eq\r(3)(m)，在Rt△ABD中，BD＝eq\f(AD,tan∠ABD)＝eq\f(60,tan75°)＝eq\f(60,2＋\r(3))＝60(2－eq\r(3))(m)，∴BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m)．答案C二、填空题6．(2022·新余模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的值为________．解析由余弦定理，得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).答案eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝________．解析由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，将8b＝5c及C＝2B代入得eq\f(b,sinB)＝eq\f(\f(8,5)b,sin2B)，化简得eq\f(1,sinB)＝eq\f(\f(8,5),2sinBcosB)，则cosB＝eq\f(4,5)，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(7,25).答案eq\f(7,25)8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝eq\f(1,4)，则sinB＝________．解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.由cosC＝eq\f(1,4)得sinC＝eq\f(\r(15),4).由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(2,2)×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),4)(或者由于c＝2，所以b＝c＝2，即三角形为等腰三角形，所以sinB＝sinC＝eq\f(\r(15),4))．答案eq\f(\r(15),4)三、解答题9．(2021·广州测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝5，c＝7.(1)求角C的大小；(2)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))的值．解(1)由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2).∵0＜C＜π，∴C＝eq\f(2π,3).(2)由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(5sin\f(2π,3),7)＝eq\f(5\r(3),14)，∵C＝eq\f(2π,3)，∴B为锐角，∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),14)))\s\up12(2))＝eq\f(11,14).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))＝sinBcoseq\f(π,3)＋cosBsineq\f(π,3)＝eq\f(5\r(3),14)×eq\f(1,2)＋eq\f(11,14)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),7).10．(2022·杭州检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ac＝3，S△ABC＝eq\f(3\r(3),4).(1)求B；(2)若b＝eq\r(2)，求△ABC的周长．解(1)由于S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB，所以eq\f(1,2)×3sinB＝eq\f(3\r(3),4)，即sinB＝eq\f(\r(3),2).又由于0＜B＜π，所以B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).(2)由(1)可知，B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)，当B＝eq\f(π,3)时，由于a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝2，ac＝3，所以a＋c＝eq\r(11)；当B＝eq\f(2π,3)时，由于a2＋c2＋ac＝2，ac＝3，所以a2＋c2＝－1(舍去)，所以△ABC的周长为a＋c＋b＝eq\r(11)＋eq\r(2).力气提升题组(建议用时：25分钟)11．(2022·东北三省四市联考)在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1，则角A的范围是 ()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))解析由eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1，得b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得b2＋c2－a2≥bc，即eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(1,2)，即cosA≥eq\f(1,2)(0＜A＜π)，所以0＜A≤eq\f(π,3)，故选A.答案A12．(2021·咸阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝eq\r(3)acosC，则sinA＋sinB的最大值是 ()A．1 B.eq\r(2) C.eq\r(3) D．3解析由csinA＝eq\r(3)acosC，得sinCsinA＝eq\r(3)sinAcosC，又在△ABC中sinA≠0，所以sinC＝eq\r(3)cosC，tanC＝eq\r(3)，C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,3).所以sinA＋sinB＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋A))＝eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以当A＝eq\f(π,3)时，sinA＋sinB取得最大值eq\r(3)，故选C.答案C13．在△ABC中，B＝60°，AC＝eq\r(3)，则AB＋2BC的最大值为________．解析由正弦定理知eq\f(AB,sinC)＝eq\f(\r(3),sin60°)＝eq\f(BC,sinA)，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋eq\r(3)cosC＋sinC)＝2(2sinC＋eq\r(3)cosC)＝2eq\r(7)sin(C＋α)，其中tanα＝eq\f(\r(3),2)，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2eq\r(7).答案2eq\r(7)14．已知函数f(x)＝eq\r(3)sinxcosx－cos2x＋eq\f(1,2).(1)求f(x)的最小正周期及对称轴方程；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝eq\f(1,2)，bc＝6，求a的最小值．解(1)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx－cos2x＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，故最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.令2x－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)．故图像的对称轴为x＝eq\f(kπ,2)＋e