保定高考一模数学试卷

保定高考一模数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=x^3-3x$，则函数的极值点为（）

A.$x=1$

B.$x=-1$

C.$x=0$

D.$x=\pm\sqrt{3}$

2.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则该数列的第$100$项为（）

A.$a_{100}=a_1+99d$

B.$a_{100}=a_1+98d$

C.$a_{100}=a_1-99d$

D.$a_{100}=a_1-98d$

3.若圆的方程为$x^2+y^2-4x-6y+9=0$，则该圆的半径为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(-1,2)$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为（）

A.$0^\circ$

B.$90^\circ$

C.$120^\circ$

D.$180^\circ$

5.已知函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$，则函数的定义域为（）

A.$x\neq1$

B.$x\neq0$

C.$x\neq-1$

D.$x\neq2$

6.若不等式$2x-3<5$的解集为$A$，则$A$的表示形式为（）

A.$A=(-\infty,4)$

B.$A=(-\infty,3)$

C.$A=(3,+\infty)$

D.$A=(4,+\infty)$

7.已知复数$z=1+i$，则$z$的模长为（）

A.$1$

B.$\sqrt{2}$

C.$2$

D.$\sqrt{3}$

8.若直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=1$相交于点$P$，则$P$的坐标满足方程（）

A.$x^2+(kx+1)^2=1$

B.$x^2+y^2=k^2+1$

C.$(kx+1)^2+y^2=1$

D.$x^2+(kx+1)^2=k^2+1$

9.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n$，则数列的前$5$项和为（）

A.$3^5+3^4+3^3+3^2+3^1$

B.$3^6-3$

C.$3^5-3$

D.$3^6+3$

10.若三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，则三角形的面积$S$与周长$P$的关系为（）

A.$S=\frac{P}{2}\timesh$

B.$S=\frac{P}{4}\timesh$

C.$S=\frac{P}{3}\timesh$

D.$S=\frac{P}{6}\timesh$

二、判断题

1.在函数$f(x)=\frac{1}{x}$中，当$x>0$时，函数的值域为$(0,+\infty)$。（）

2.在等差数列中，若首项$a_1>0$，公差$d>0$，则该数列单调递增。（）

3.圆的标准方程为$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$为圆心坐标，$r$为半径。（）

4.向量$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta$，其中$\theta$为向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。（）

5.在不等式$2(x-1)>3$中，解集为$x>\frac{5}{2}$。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，则系数$a$的取值范围是______。

2.在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线$x=1$的对称点B的坐标是______。

3.等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=20$，$S_8=50$，则该数列的公差$d$等于______。

4.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积是______。

5.解方程$\sqrt{4x+9}=2x-1$，得到方程的解为______。

四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明如何应用公式法解一元二次方程。

2.解释函数的单调性和周期性的概念，并举例说明如何判断一个函数的单调性和周期性。

3.简述向量的概念，并说明向量的坐标表示方法。同时，解释向量加法、减法和数乘运算的几何意义。

4.举例说明如何利用三角函数的知识来解决实际问题，例如计算直角三角形的边长或者求解角度问题。

5.简述数列的定义，并举例说明等差数列和等比数列的特点。同时，解释数列的前$n$项和的概念，并说明如何计算等差数列和等比数列的前$n$项和。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^2-4x+3$在$x=2$时的导数。

2.解一元二次方程$2x^2-5x-3=0$，并求出方程的解。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=3$，公差$d=2$，求该数列的第10项$a_{10}$。

4.已知向量$\vec{a}=(4,5)$和$\vec{b}=(2,-1)$，计算向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积。

5.已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长度。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司计划在直线$x=2$上种植树木，树木之间的间隔为5米。如果公司希望种植的树木数量尽可能多，且树木之间的距离保持一致，请计算公司至少需要购买多少棵树苗。

案例分析：

（1）首先，我们需要确定树木之间的间隔和直线的长度。

（2）由于树木之间的间隔为5米，我们可以将直线$x=2$视为一个长度为2米的线段。

（3）为了使树木数量尽可能多，我们需要计算在2米长的线段上可以种植多少个5米的间隔。

（4）计算方法为：将线段长度除以间隔长度，即$2\div5$。

（5）由于我们不能种植部分树木，我们需要向上取整到最接近的整数，即种植的树木数量。

请根据上述分析，计算并给出至少需要购买的树木数量。

2.案例背景：某班级正在进行一次数学测验，测验成绩分布如下：优秀（90分以上）有10人，良好（80-89分）有20人，及格（60-79分）有30人，不及格（60分以下）有10人。请根据上述数据，计算班级的平均成绩。

案例分析：

（1）首先，我们需要确定每个成绩段的分数范围和对应的人数。

（2）然后，计算每个成绩段的平均分。例如，优秀段的平均分为95分，良好段的平均分为85分，以此类推。

（3）接下来，将每个成绩段的平均分乘以对应的人数，得到每个成绩段的加权总分。

（4）将所有成绩段的加权总分相加，得到班级的总分。

（5）最后，将班级总分除以班级总人数，得到班级的平均成绩。

请根据上述分析，计算并给出班级的平均成绩。

七、应用题

1.应用题：某商店正在促销活动，规定顾客购买商品时，满100元减20元，满200元减50元，满300元减80元，以此类推。假设一位顾客一次性购买商品花费了450元，请问顾客实际需要支付的金额是多少？

2.应用题：一辆汽车从静止开始加速，加速度为$a=2\text{m/s}^2$，在$t=5\text{s}$后速度达到$v=10\text{m/s}$。求汽车在这段时间内行驶的距离。

3.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$l=12\text{cm}$，$w=8\text{cm}$，$h=6\text{cm}$。求这个长方体的表面积和体积。

4.应用题：一个班级有学生40人，期末考试数学成绩的均值为80分，标准差为10分。假设成绩服从正态分布，请计算该班级成绩在60分以下和90分以上的学生人数分别占班级总人数的百分比。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.A

2.A

3.C

4.C

5.A

6.A

7.B

8.C

9.B

10.A

二、判断题答案

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案

1.$a>0$

2.(-1,3)

3.2

4.23

5.$x=-\frac{1}{3}$或$x=3$

四、简答题答案

1.一元二次方程的解法包括公式法、配方法和因式分解法。公式法是通过求解一元二次方程的判别式来确定方程的解的性质，然后根据判别式的值来求解方程。例如，对于方程$x^2-5x+6=0$，我们可以通过公式法得到解$x=2$或$x=3$。

2.函数的单调性是指函数在其定义域内，随着自变量的增大或减小，函数值也随之增大或减小。周期性是指函数在其定义域内，存在一个非零实数$T$，使得对于所有$x$，都有$f(x+T)=f(x)$。例如，函数$f(x)=\sin(x)$在$[-\pi,\pi]$内是周期性的，周期为$2\pi$。

3.向量是由大小和方向组成的量。向量的坐标表示方法是将向量的起点和终点分别表示在坐标系中的两个点，然后通过这两个点来表示向量。向量加法、减法和数乘运算的几何意义可以通过向量图形来直观理解。例如，向量加法的平行四边形法则可以用来计算两个向量的和。

4.三角函数在解决实际问题中的应用非常广泛，例如在物理中的运动学、在建筑中的角度计算等。例如，在直角三角形中，可以通过正弦、余弦和正切函数来计算边长或角度。如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，可以使用勾股定理计算斜边长，即$\sqrt{3^2+4^2}=5$。

5.数列是一系列有序的数按照一定规律排列而成的。等差数列是每一项与它前一项的差都相等的数列，等比数列是每一项与它前一项的比都相等的数列。数列的前$n$项和是指数列的前$n$项相加的和。等差数列的前$n$项和可以用公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$来计算，等比数列的前$n$项和可以用公式$S_n=a_1\times\frac{1-r^n}{1-r}$来计算。

七、应用题答案

1.实际支付金额=450元-50元=400元

2.行驶距离=$\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}\times2\times5^2=25\text{m}$

3.表面积=$2(lw+lh+wh)=2(12\times8+12\times6+8\times6)=372\text{cm}^2$

体积=$lwh=12\times8\times6=576\text{cm}^3$

4.60分以下的学生人数占比=$\frac{1}{\sqrt{2\pi\times10}}\timese^{-\frac{(60-80)^2}{2\times10^2}}\approx0.0228\times40\approx0.912$

90分以上的学生人数占比=$\frac{1}{\sqrt{2\pi\times10}}\timese^{-\frac{(90-80)^2}{2\times10^2}}\approx0.0228\times40\approx0.912$

因此，60分以下和90分以上的学生人数分别占班级总人数的约9.12%。

知识点总结：

本试卷涵盖了中学数学中的基础知识点，包括函数、数列、向量、三角函数、几何图形、方程、不等式等。各题型所考察的知识点如下：

一、选择题：

-函数的单调性、周期性、值域

-等差数列、等比数列的性质

-圆的方程和性质

-向量的数量积、夹角

-函数的定义域、解集

-不等式的解法

-复数的模长

二、判断题：

-函数的单调性和周期性

-等差数列的性质

-圆的标准方程

-向量的数量积和夹角

-不等式的解集

三、填空题：

-函数的导数

-点的