【创新设计】2022届-数学一轮(理科)浙江专用-第五章-平面向量-5-1

第五章数列第1讲数列的概念及简洁表示法基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于()A.eq\f(－1n＋1,2) B．coseq\f(nπ,2)C．coseq\f(n＋1,2)π D．coseq\f(n＋2,2)π解析令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．答案D2．(2022·东阳中学摸底考试)数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝()A．7B．6C．5D．4解析依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.答案D3．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于()A．3×44 B．3×44＋1C．45 D．45＋1解析当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从其次项开头是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,3×4n－2，n≥2.))∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.答案A4．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.eq\f(16,3)B.eq\f(13,3)C．4D．0解析∵an＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2＋eq\f(3,4)，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.答案D5．(2022·东北三校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ＜1”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an＞0，即2n＋1＞2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3＞2λ，λ＜eq\f(3,2).由λ＜1可推得λ＜eq\f(3,2)，但反过来，由λ＜eq\f(3,2)不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A.答案A二、填空题6．(2021·大连双基测试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________.解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.))答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1,2n＋1，n≥2))7．数列{an}中，a1＝1，对于全部的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.解析由题意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，∴an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)))2(n≥2)，∴a3＋a5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2＝eq\f(61,16).答案eq\f(61,16)8．数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a7＝________.解析由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.答案1三、解答题9．(2022·湖南卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n2＋n,2)－eq\f(n－12＋n－1,2)＝n.又a1＝1满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝eq\f(21－22n,1－2)＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，当n＝1时，a1＝a不适合上式，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n＝1，,2×3n－1＋a－32n－2，n≥2.))an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2＋a－3))，当n≥2时，an＋1≥an⇔12·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．力量提升题组(建议用时：35分钟)11．数列{an}的通项an＝eq\f(n,n2＋90)，则数列{an}中的最大项是()A．3eq\r(10)B．19C.eq\f(1,19)D.eq\f(\r(10),60)解析由于an＝eq\f(1,n＋\f(90,n))，运用基本不等式得，eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,2\r(90))，由于n∈N*，不难发觉当n＝9或10时，an＝eq\f(1,19)最大．答案C12．(2021·大庆质量检测)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是()A．a2014＝－1，S2014＝2 B．a2014＝－3，S2014＝5C．a2014＝－3，S2014＝2 D．a2014＝－1，S2014＝5解析由an＋1＝an－an－1(n≥2)，知an＋2＝an＋1－an，则an＋2＝－an－1(n≥2)，an＋3＝－an，…，an＋6＝an，又a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，所以当k∈N时，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＋ak＋5＋ak＋6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以a2014＝a4＝－1，S2014＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.答案D13．(2022·台州四校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝________.解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.答案2n－114．(2021·丽水五校模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－p，其中p是不为零的常数．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)当p＝3时，数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an(n∈N*)，b1＝2，求数列{bn}的通项公式．(1)证明由于Sn＝4an－p，所以Sn－1＝4an－1－p(n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得eq\f(an,an－1)＝eq\f(4,3).由Sn＝4an－p，令n＝1，得a1＝4a1－p，解得a1＝eq\f(p,3).所以{an}是首项为eq\f(p,3)，公比为eq\f(4,3)的等比数列．(2)解当p＝3时，由(1)知，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1，由bn＋1＝bn＋an，得bn＋1－bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1，当n≥2时，可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1,1－\f(4,3))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1－1，当n＝1时，上式也成立．∴数列{bn}的通项公式为bn＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1－1.15．已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a1＞0，λ＝100.当n为何值时，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,an)))的前n项和最大？解(1)取n＝1，得λaeq\o\al(2,1)＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，则Sn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，所以an＝0(n≥1)．若a1≠0，则a1＝eq\f(2,λ).当n≥2时，2an＝eq\f(2,λ)＋Sn,2an－1＝eq\f(2,λ)＋Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，所以an＝a1·2n－1＝eq\f(2,λ)·2n－1＝eq\f(2n,λ).综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝eq\f(2n,λ).(2)当a1＞0且λ＝100时，令bn＝lgeq\f(1,an)，由(1)有，bn＝lgeq\f(100,2