【优化方案】2022高考数学(文)(新课标)一轮复习知能训练：第八章-平面解析几何-第6讲-双曲线

1．已知0＜θ＜eq\f(π,4)，则双曲线C1：eq\f(x2,sin2θ)－eq\f(y2,cos2θ)＝1与C2：eq\f(y2,cos2θ)－eq\f(x2,sin2θ)＝1的()A．实轴长相等 B．虚轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等解析：选D．由双曲线C1知：a2＝sin2θ，b2＝cos2θ⇒c2＝1，由双曲线C2知：a2＝cos2θ，b2＝sin2θ⇒c2＝1．2．(2021·福建宁德模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>0)与双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1有相同的焦点，则a的值为()A．eq\r(2) B．eq\r(10)C．4 D．eq\r(34)解析：选C．由于椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>0)与双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1有相同的焦点(±eq\r(7)，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4．3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A．eq\r(3) B．3C．eq\r(3)m D．3m解析：选A．双曲线C的标准方程为eq\f(x2,3m)－eq\f(y2,3)＝1(m>0)，其渐近线方程为y＝±eq\r(\f(3,3m))x＝±eq\f(\r(m),m)x，即eq\r(m)y＝±x，不妨选取右焦点F(eq\r(3m＋3)，0)到其中一条渐近线x－eq\r(m)y＝0的距离求解，得d＝eq\f(\r(3m＋3),\r(1＋m))＝eq\r(3)．4．(2021·河南开封模拟)设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为()A．eq\f(4,3) B．eq\f(5,3)C．eq\f(5,4) D．eq\f(\r(41),4)解析：选B．易知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以由双曲线的定义知|PF1|＝2a＋2c，由于F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，所以(a＋c)2＋(2a)2＝(2c)2，即3c2－2ac－5a2＝0，两边同除以a2，得3e2－2e－5＝0，解得e＝eq\f(5,3)或e＝－1(舍去)．5．(2021·兰州市、张掖市高三联考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为()A．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1解析：选C．由题意知，圆的半径为5，又点(3，4)在经过第一、三象限的渐近线y＝eq\f(b,a)x上，因此有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝25,4＝3×\f(b,a)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝4))，所以此双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1．6．已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,a)＝1的右焦点的坐标为(eq\r(13)，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：依题意知(eq\r(13))2＝9＋a，所以a＝4，故双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，则渐近线方程为eq\f(x,3)±eq\f(y,2)＝0．即2x±3y＝0．答案：2x＋3y＝0或2x－3y＝07．(2021·浙江六市六校联盟模拟)如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2，0)，C(2，3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝a2＋b2，,\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝3，))∴双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1．答案：x2－eq\f(y2,3)＝18．(2021·武汉模拟)已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点．若eq\f(|PF1|2,|PF2|)＝8a，则双曲线的离心率e的取值范围是________．解析：设|PF2|＝y，则(y＋2a)2＝8ay⇒(y－2a)2＝0⇒y＝2a≥c－a⇒e＝eq\f(c,a)≤3．答案：(1，3]9．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．解：切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10．∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为3x±y＝0．设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，∴所求的双曲线方程为eq\f(x2,\f(80,9))－eq\f(y2,80)＝1．10．已知离心率为eq\f(4,5)的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2eq\r(34)．(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在其次象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，求四边形ANBM的面积．解：(1)设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则依据题意知双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1且满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a2－b2),a)＝\f(4,5)，,2\r(a2＋b2)＝2\r(34)，))解方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝25，,b2＝9.))∴椭圆的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，双曲线的方程为eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1．(2)由(1)得A(－5，0)，B(5，0)，|AB|＝10，设M(x0，y0)，则由eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x0－5，2y0)．将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),25)＋\f(yeq\o\al(2,0),9)＝1，,\f(（2x0－5）2,25)－\f(4yeq\o\al(2,0),9)＝1，))消去y0，得2xeq\o\al(2,0)－5x0－25＝0．解得x0＝－eq\f(5,2)或x0＝5(舍去)．∴y0＝eq\f(3\r(3),2)．由此可得M(－eq\f(5,2)，eq\f(3\r(3),2))，∴P(－10，3eq\r(3))．则直线PA的方程是y＝－eq\f(3\r(3),5)(x＋5)，代入eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，得2x2＋15x＋25＝0．解得x＝－eq\f(5,2)或x＝－5(舍去)，∴xN＝－eq\f(5,2)，则xN＝xM，所以MN⊥x轴．∴S四边形ANBM＝2S△AMB＝2×eq\f(1,2)×10×eq\f(3\r(3),2)＝15eq\r(3)．1．(2021·唐山市高三班级统考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝4，则双曲线C的离心率为()A．eq\f(\r(10),2) B．eq\r(5)C．eq\f(5,2) D．5解析：选D．依题意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝eq\r(|PF2|2＋|PF1|2)＝5，因此该双曲线的离心率e＝eq\f(|F1F2|,|PF2|－|PF1|)＝5．2．(2021·山西阳泉高三第一次诊断)已知F1、F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B．由题意知a＝1，b＝1，c＝eq\r(2)，∴|F1F2|＝2eq\r(2)，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝8，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，①由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，②①－②得|PF1||PF2|＝4．3．(2021·浙江杭州调研)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若|eq\o(PA1,\s\up6(→))|是|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|和|eq\o(A1F2,\s\up6(→))|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意可知|eq\o(PA1,\s\up6(→))|2＝|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|×|eq\o(A1F2,\s\up6(→))|，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a)))eq\s\up12(2)＋(a＋c)2＝2c(a＋c)，化简可得a2＝b2，则e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(2)．答案：eq\r(2)4．已知c是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的半焦距，则eq\f(b－c,a)的取值范围是________．解析：eq\f(b－c,a)＝eq\f(\r(c2－a2)－c,a)＝eq\r(e2－1)－e＝－eq\f(1,\r(e2－1)＋e)，由于e＞1，且函数f(e)＝－eq\f(1,\r(e2－1)＋e)在(1，＋∞)上是增函数，那么eq\f(b－c,a)的取值范围是(－1，0)．答案：(－1，0)5．(2021·湛江模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－eq\r(3)，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，∴a＝b，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1．(2)设点A的坐标为(x0，y0)，∴直线AO的斜率满足eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1，∴x0＝eq\r(3)y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c，∴x0＝eq\f(\r(3),2)c，∴点A的坐标为(eq\f(\r(3),2)c，eq\f(1,2)c)，代入双曲线方程得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2，②又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0，∴3(eq\f(c,a))4－8(eq\f(c,a))2＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝eq\r(2)，∴双曲线的离心率为eq\r(2)．6．(选做题)直线l：y＝eq\r(3)(x－2)和双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且|AB|＝eq\r(3)，又l关于直线l1：y＝eq\f(b,a)x对称的直线l2与x轴平行．(1)求双曲线C的离心率e；(2