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文档简介
[基础达标]1.(2022·四川成都调研)抛物线y=x2到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是()A.(eq\f(3,2),eq\f(5,4)) B.(1,1)C.(eq\f(3,2),eq\f(9,4)) D.(2,4)解析:选B.设P(x,y)为抛物线y=x2上任意一点,则P到直线的距离d=eq\f(|2x-y-4|,\r(5))=eq\f(|x2-2x+4|,\r(5))=eq\f((x-1)2+3,\r(5)),∴x=1时,d取最小值eq\f(3\r(5),5),此时P(1,1).2.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点,若直线l的倾斜角为45°,则弦AB的中点坐标为()A.(1,0) B.(2,2)C.(3,2) D.(2,4)解析:选C.依题意得,抛物线C的方程是y2=4x,直线l的方程是y=x-1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2=4x,y=x-1))消去y得(x-1)2=4x,即x2-6x+1=0,因此线段AB的中点的横坐标是eq\f(6,2)=3,纵坐标是y=3-1=2,所以线段AB的中点坐标是(3,2).3.若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为()A.2 B.3C.6 D.8解析:选C.由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),则yeq\o\al(2,0)=3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(xeq\o\al(2,0),4)))(-2≤x0≤2),eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))=x0(x0+1)+yeq\o\al(2,0)=xeq\o\al(2,0)+x0+3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(xeq\o\al(2,0),4)))=eq\f(1,4)(x0+2)2+2,当x0=2时,eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取得最大值6.4.(2022·辽宁大连质检)已知双曲线eq\f(x2,12)-eq\f(y2,4)=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3))) B.(-eq\r(3),eq\r(3))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3))) D.[-eq\r(3),eq\r(3)]解析:选C.由题意知,F(4,0),双曲线的两条渐近线方程为y=±eq\f(\r(3),3)x.当过点F的直线与渐近线平行时,满足与右支只有一个交点,画出图象,数形结合可知应选C.5.若一条双曲线的焦距是8,经过其一个焦点的直线被双曲线截得的最短弦长是4,则此双曲线的离心率为________.解析:此题有两种状况:(1)当直线被双曲线的一支所截时,截得的最短弦长是通径(即过焦点且和对称轴垂直的弦),通径长等于eq\f(2b2,a),故eq\f(2b2,a)=4,即b2=2a,而由已知得c=4,∴c2=a2+b2=16,16=a2+2a,解得a=eq\r(17)-1,此时e=eq\f(4,\r(17)-1)=eq\f(\r(17)+1,4);(2)当直线被双曲线的两支所截时,截得的最短弦长是两顶点连线的线段长,即2a=4,此时a=2,e=eq\f(c,a)=eq\f(4,2)=2.答案:eq\f(\r(17)+1,4)或26.(2022·浙江省名校联考)已知P为双曲线C:eq\f(x2,9)-eq\f(y2,16)=1上的一点,点M满足|eq\o(OM,\s\up6(→))|=1,且eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))=0,则当|eq\o(PM,\s\up6(→))|取得最小值时,点P到双曲线C的渐近线的距离为________.解析:由eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))=0,得OM⊥PM,依据勾股定理,求|eq\o(PM,\s\up6(→))|的最小值可以转化为求|eq\o(OP,\s\up6(→))|的最小值,当|eq\o(OP,\s\up6(→))|取得最小值时,点P的位置为双曲线的顶点(±3,0),而双曲线的渐近线方程为4x±3y=0,所以所求的距离d=eq\f(12,5).答案:eq\f(12,5)7.(2022·河南省三市其次次调研)已知圆G:x2+y2-2x-eq\r(2)y=0经过椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m>a)作倾斜角为eq\f(5,6)π的直线l交椭圆于C、D两点.(1)求椭圆的方程;(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.解:(1)∵圆G:x2+y2-2x-eq\r(2)y=0经过点F、B,∴F(2,0),B(0,eq\r(2)),∴c=2,b=eq\r(2),∴a2=b2+c2=6,∴椭圆的方程为eq\f(x2,6)+eq\f(y2,2)=1.(2)由题意知直线l的方程为y=-eq\f(\r(3),3)(x-m),m>eq\r(6),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,6)+\f(y2,2)=1,y=-\f(\r(3),3)(x-m))),消去y得2x2-2mx+(m2-6)=0.由Δ=4m2-8(m2-6)>0,解得-2eq\r(3)<m<2eq\r(3).∵m>eq\r(6),∴eq\r(6)<m<2eq\r(3).设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=m,x1x2=eq\f(m2-6,2),∴y1y2=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3)(x1-m)))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3)(x2-m)))=eq\f(1,3)x1x2-eq\f(m,3)(x1+x2)+eq\f(m2,3).∵eq\o(FC,\s\up6(→))=(x1-2,y1),eq\o(FD,\s\up6(→))=(x2-2,y2),∴eq\o(FC,\s\up6(→))·eq\o(FD,\s\up6(→))=(x1-2)(x2-2)+y1y2=eq\f(4,3)x1x2-eq\f(m+6,3)(x1+x2)+eq\f(m2,3)+4=eq\f(2m(m-3),3).∵点F在圆E的内部,∴eq\o(FC,\s\up6(→))·eq\o(FD,\s\up6(→))<0,即eq\f(2m(m-3),3)<0,解得0<m<3.又eq\r(6)<m<2eq\r(3),∴eq\r(6)<m<3.即m的取值范围是(eq\r(6),3).8.已知直线y=x-1被抛物线C:y2=2px(p>0)截得的弦长为2eq\r(6),点P是抛物线C上横坐标大于2的动点,点B,C在y轴上,圆(x-1)2+y2=1内切于△PBC.(1)求抛物线C的方程;(2)求△PBC面积的最小值,并确定取到最小值时点P的位置.解:(1)设直线与抛物线两个交点的坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2=2px,y=x-1)),得到x2-2(1+p)x+1=0,Δ=4(p2+2p),所以|P1P2|=eq\r(2)|x2-x1|=2eq\r(2(p2+2p))=2eq\r(6),解得p=1,p=-3(舍去),故所求抛物线方程为y2=2x.(2)设P(x0,y0)(x0>2)、B(0,b)、C(0,c),不妨设b>c,lPB:y-b=eq\f(y0-b,x0)x,(y0-b)x-x0y+x0b=0.又圆心(1,0)到PB的距离为1,即eq\f(|y0-b+x0b|,\r((y0-b)2+xeq\o\al(2,0)))=1,(x0>2),化简得(x0-2)b2+2y0b-x0=0,同理,(x0-2)c2+2y0c-x0=0.所以b,c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两个根,b+c=eq\f(-2y0,x0-2),bc=eq\f(-x0,x0-2).则(b-c)2=eq\f(4xeq\o\al(2,0)+4yeq\o\al(2,0)-8x0,(x0-2)2).由于P(x0,y0)是抛物线上的点,所以yeq\o\al(2,0)=2x0.则(b-c)2=eq\f(4xeq\o\al(2,0),(x0-2)2)⇒b-c=eq\f(2x0,x0-2).故S△PBC=eq\f(1,2)(b-c)x0=eq\f(x0,x0-2)·x0=(x0-2)+eq\f(4,x0-2)+4≥2eq\r(4)+4=8.当(x0-2)2=4时,上式取等号,此时,x0=4,y0=±2eq\r(2).因此,△PBC面积的最小值为8,取到最小值时点P的坐标为(4,±2eq\r(2)).9.(2022·安徽合肥市质量检测)已知椭圆:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的长轴长为4,且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3),\f(1,2))).(1)求椭圆的方程;(2)设A,B,M是椭圆上的三点.若eq\o(OM,\s\up6(→))=eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→)),点N为线段AB的中点,Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(6),2),0)),Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2),0)),求证:|NC|+|ND|=2eq\r(2).解:(1)由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=2,\f(3,a2)+\f(1,4b2)=1)),故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=1)),所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)+y2=1.(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则eq\f(xeq\o\al(2,1),4)+yeq\o\al(2,1)=1,eq\f(xeq\o\al(2,2),4)+yeq\o\al(2,2)=1.由eq\o(OM,\s\up6(→))=eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→)),得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)x1+\f(4,5)x2,\f(3,5)y1+\f(4,5)y2)).由于M是椭圆C上一点,所以eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)x1+\f(4,5)x2))\s\up12(2),4)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)y1+\f(4,5)y2))eq\s\up12(2)=1,即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),4)+yeq\o\al(2,1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,2),4)+yeq\o\al(2,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)+2×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1x2,4)+y1y2))=1,得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)+2×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1x2,4)+y1y2))=1,故eq\f(x1x2,4)+y1y2=0.又线段AB的中点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1+x2,2),\f(y1+y2,2))),所以eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1+x2,2)))\s\up12(2),2)+2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1+y2,2)))eq\s\up12(2)=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),4)+yeq\o\al(2,1)))+eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,2),4)+yeq\o\al(2,2)))+eq\f(x1x2,4)+y1y2=1,从而线段AB的中点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1+x2,2),\f(y1+y2,2)))在椭圆eq\f(x2,2)+2y2=1上.又椭圆eq\f(x2,2)+2y2=1的两焦点恰为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(6),2),0)),Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2),0)),所以|NC|+|ND|=2eq\r(2).[力气提升]1.已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知圆O:x2+y2=1,直线l:mx+ny=1,试证:当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.解:(1)直线x+ky-3=0经过定点F(3,0),即点F(3,0)是椭圆C的一个焦点.设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),由于椭圆C上的点到点F的最大距离为8,所以a+3=8,即a=5.所以b2=a2-32=16.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1.(2)证明:由于点P(m,n)在椭圆C上,所以eq\f(m2,25)+eq\f(n2,16)=1,即n2=16-eq\f(16m2,25)(0≤m≤5).所以原点到直线l的距离d=eq\f(1,\r(m2+n2))=eq\f(1,\r(\f(9,25)m2+16))<1.所以直线l与圆O恒相交.L2=4(r2-d2)=4(1-eq\f(1,\f(9,25)m2+16)).由于0≤m≤5,所以eq\f(\r(15),2)≤L≤eq\f(4\r(6),5).2.(2022·安徽省“江南十校”联考)在圆C1:x2+y2=1上任取一点P,过P作y轴的垂线段PD,D为垂足,动点M满足eq\o(MD,\s\up6(→))=2eq\o(MP,\s\up6(→)).当点P在圆C1上运动时,点M的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C2的方程;(2)是否存在过点A(2,0)的直线l交曲线C2于点B,使eq\o(OT,\s\up6(→))=eq\f(\r(5),5)(eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))),且点T在圆C1上?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解:(1)设M(x,y),∵eq\o(MD,\s\up6(→))=2eq\o(MP,\s\up6(→)),∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2),y)).又P在圆C1上,∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)+y2=1,即C2的方程是eq\f(x2,4)+y2=1.(2)当直线l的斜率不存在时,点B与点A重合,此时点T坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5),0)),明显点T不在圆C1上,故不合题意,∴直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-2),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=k(x-2),\f(x2,4)+y2=1)),得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0,解得xB=eq\f(8k2-2,1+4k2),∴yB=-eq\f(4k,1+4k2),即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2-2,1+4k2),\f(-4k,1+4k2))).∴eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16k2,1+4k2),\f(-4k,1+4k2))),∴eq\o(OT,\s\up6(→))=eq\f(\r(5),5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16k2,1+4k2),\f(-4k,1+4k2))).∵T在圆C1上,∴eq\f(1,5)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16k2,1+4k2)))\s\up12(2)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(-4k,1+4k2)))\s\up12(2)))=1,化简得,176k4-24k2-5=0,解得k2=eq\f(1,4)或k2=-eq\f(5,44)(舍去),∴k=±eq\f(1,2).故存在满足题意的直线l,其方程为y=±eq\f(1,2)·(x-2).3.(2021·高考广东卷)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为eq\f(3\r(2),2).设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解:(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy(c>0),由点到直线的距离公式,得eq\f(|0-c-2|,\r(1+1))=eq\f(3\r(2),2),解得c=1(负值舍去),故抛物线C的方程为x2=4y.(2)由x2=4y,得y=eq\f(1,4)x2,其导数为y′=eq\f(1,2
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