【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第8章-第7节-空间向量及其运算(理)

第八章第七节一、选择题1．已知空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c[答案]B[解析]明显eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→)).2．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直 B．平行C．异面 D．相交但不垂直[答案]B[解析]由题意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3,3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，又eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))没有公共点，∴AB∥CD．3．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4,5)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3，x，y)，若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq\f(15,2)C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝eq\f(15,2)[答案]D[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))⇔eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(CD,\s\up6(→))，得2＝3k，∴k＝eq\f(2,3).∴x＝6，y＝eq\f(15,2).4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则x，y的值分别为()A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2) D．x＝eq\f(1,2)，y＝1[答案]C[解析]如图，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos<eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))>的值为()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(2),2)[答案]A[解析]设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c由已知条件<a，b>＝<a，c>＝eq\f(π,3)，且|b|＝|c|，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝eq\f(1,2)|a||c|－eq\f(1,2)|a||b|＝0，∴cos<eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))>＝0.6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于()A．eq\f(62,7) B．eq\f(63,7)C．eq\f(64,7) D．eq\f(65,7)[答案]D[解析]由于a，b，c三向量共面．所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＝2m－n,5＝－m＋4n,λ＝3m－2n))，解得m＝eq\f(33,7)，n＝eq\f(17,7)，λ＝eq\f(65,7).故选D．二、填空题7．(2021·西安模拟)在z轴上求一点A，使它到点B(1,1,2)的距离为3eq\r(2)，则A的坐标是________．[答案](0,0,6)或(0,0，－2)[解析]设A(0,0，a)，则|AB|＝eq\r(1－02＋1－02＋2－a2)＝3eq\r(2)，即(a－2)2＝16.∴a＝6或a＝－2.∴A(0,0,6)或(0,0，－2)．8．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.[答案]2[解析]c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－x)．∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2－2x＝－2.∴x＝2.9．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为________[答案](1，eq\f(3,2)，1)[解析]由长方体的几何性质得，M为AC1的中点，在所给的坐标系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)．∴中点M的坐标为(1，eq\f(3,2)，1)．三、解答题10．如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，(1)求AC1的长；(2)求eq\o(BD1,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))夹角的余弦值．[解析]记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，<a，b>＝<b，c>＝<c，a>＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).(1)|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6).(2)eq\o(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，∴|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos<eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))>＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||AC|)＝eq\f(\r(6),6).∴eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD1,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq\f(\r(6),6).一、选择题1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b确定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zC．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]①错，向量a，b所在的直线可能重合；②错，向量a，b可以平行移动到同一平面内；③错，如从三棱锥的一个顶点动身的三条棱所对应的三个向量；④错，a，b，c要求不共面．2．(2022·广东高考)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1,1,0) B．(1，－1,0)C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)[答案]B[解析]本题考查空间向量所成的角公式，逐一验证：A．cosθ＝eq\f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,2)，则θ＝120°.B．cosθ＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴θ＝60°.C．cosθ＝eq\f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,2)，θ＝120°.D．cosθ＝eq\f(－2,\r(2)×\r(2))＝－1，θ＝180°.选B．留意两向量夹角公式cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z2)·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))，同时留意夹角范围．二、填空题3．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，则△BCD的外形是________．[答案]锐角三角形[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.∴AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD．∴BC2＋CD2＝AB2＋AC2＋AC2＋AD2>AB2＋AD2＝BD2，∴∠BCD为锐角．同理∠BDC，∠CBD也为锐角．∴△BCD为锐角三角形．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出四个命题①|eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))|2＝3|eq\o(A1B1,\s\up6(→))|2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为60°；④此正方体体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|.则错误命题的序号是________(填出全部错误命题的序号)．[答案]③④[解析]∵|eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))|＝|eq\o(A1C,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(A1B1,\s\up6(→))|，∴①正确；∵eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))，由三垂线定理知eq\o(A1C,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，∴②正确；③AD1与A1B异面直线的夹角为60°，但eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(D1C,\s\up6(→))，留意方向．④由于eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0，正确的应是|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AA1,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|.三、解答题5．如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60°，N是CM的中点．(1)以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))为基向量表示出向量eq\o(CM,\s\up6(→))，并求CM的长；(2)求BN的长．[解析](1)eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，|eq\o(CM,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2－2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝b2＋a2＋a2－2bacos60°－2bacos60°＋2a2＝2a2－2ab＋b2∴CM＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝eq\r(2a2－2ab＋b2).(2)eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴|eq\o(BN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(eq\o(AM,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2－2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(2a2＋b2)∴BN＝|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(2a2＋b2).6．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；(3)求证：A1B⊥C1M[分析]建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示出各向量，利用两向量的数量积的夹角公式及模长公式