【高考聚焦】2021届高考数学(理)一轮复习题库(梳理自测+重点突破+能力提升)：8.6双曲线

第6课时双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简洁性质．2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简洁应用．3．理解数形结合的思想．[对应同学用书P140]【梳理自测】一、双曲线的概念(教材改编)已知点F1(－4，0)和F2(4，0)，一曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，该曲线方程是________．答案：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的确定值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0；(1)当2a＜2c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝2c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞2c时，P点不存在．二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线eq\f(x2,10)－eq\f(y2,2)＝1的焦距为()A．3eq\r(2)B．4eq\r(2)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)2．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是()A．y＝±xB．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)xD．y＝±2x3．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于()A.eq\f(3\r(14),14)B.eq\f(3\r(2),4)C.eq\f(3,2)D.eq\f(4,3)4．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________．答案：1.D2.A3.C4.－eq\f(1,4)◆此题主要考查了以下内容：标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴；坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)【教导迷津】1．一条规律依据方程中x2与y2的系数的正负来确定实轴与虚轴的位置，即焦点在实轴上．2．两种方法(1)定义法：由题目条件推断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；假如焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再依据条件求λ的值．3．三个关注点——双曲线几何性质的关注点双曲线的几何性质从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．[对应同学用书P141]考向一双曲线的定义及标准方程(1)(2022·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为()A．19B．26C．43D．50(2)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)和椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【审题视点】(1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求解．(2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程．【典例精讲】(1)如图，由双曲线的定义可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF2|－|PF1|＝2a，,|QF2|－|QF1|＝2a，))将两式相加得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a，∴△F2PQ的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点坐标为F1(－eq\r(7)，0)，F2(eq\r(7)，0)，离心率为e＝eq\f(\r(7),4).由于双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.又双曲线的离心率e＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(7),a)，所以eq\f(\r(7),a)＝eq\f(2\r(7),4)，所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.【答案】(1)B(2)eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1【类题通法】(1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义．(2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)，这样可避开争辩和简单的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．依据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2eq\r(3))；(2)与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有公共焦点，且过点(3eq\r(2)，2)．解析：(1)设所求双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝λ(λ≠0)，将点(－3，2eq\r(3))代入得λ＝eq\f(1,4)，∴所求双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝eq\f(1,4)，即eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1.(2)设双曲线方程为eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,4＋k)＝1，将点(3eq\r(2)，2)代入得k＝4(k＝－14舍去)．∴所求双曲线方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.考向二双曲线的性质及应用(1)(2022·哈尔滨模拟)已知P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是eq\f(5,4)，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为()A．5B．6C．7D．8(2)F1、F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A．2B.eq\r(7)C.eq\r(13)D.eq\r(15)【审题视点】(1)利用eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0及e＝eq\f(5,4)转化为a，b的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a与c的关系．【典例精讲】(1)由eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，得eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，设|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝m，|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝n，不妨设m＞n，则m2＋n2＝4c2，m－n＝2a，eq\f(1,2)mn＝9，eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,c＝5，))∴b＝3，∴a＋b＝7，故选C.(2)如图，由双曲线定义得，|BF1|－|BF2|＝|AF2|－|AF1|＝2a，由于△ABF2是正三角形，所以|BF2|＝|AF2|＝|AB|，因此|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，且∠F1AF2＝120°，在△F1AF2中，4c2＝4a2＋16a2＋2×2a×4a×eq\f(1,2)＝28a2，所以e＝eq\r(7)，故选B.【答案】(1)C(2)B【类题通法】(1)求双曲线的离心率，就是求c与a的比值，一般不需要具体求出a，c的值，只需列出关于a，b，c的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着亲密的联系，二者之间可以互求．2．(2022·济南模拟)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析：如图所示，不妨设F为右焦点，过F作FP垂直于一条渐近线，垂足为P，过P作PM⊥OF于M.由已知得M为OF的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c，0)，渐近线方程为bx－ay＝0，∴|PF|＝eq\f(bc,\r(b2＋a2))＝b，∴b2＝eq\f(c,2)·c，即2b2＝c2＝a2＋b2，∴a2＝b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)考向三直线与双曲线的综合应用已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)与l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B，l与y轴交于点P，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，则a＝________．【审题视点】联立方程组，利用P、A、B坐标之间的关系，建立a的方程．【典例精讲】由于双曲线C与直线l相交于两个不同的点，故知方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－y2＝1，,x＋y＝1))有两组不同的实数解，消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，实数a应满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,1－a2≠0，,4a4＋8a2（1－a2）＞0，))解得0＜a＜eq\r(2)且a≠1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝eq\f(2a2,a2－1)，①x1x2＝eq\f(2a2,a2－1)，②又P(0，1)，由eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，得(x1，y1－1)＝eq\f(5,12)(x2，y2－1)，从而x1＝eq\f(5,12)x2，③由①③，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,17)·\f(2a2,a2－1)，,x2＝\f(12,17)·\f(2a2,a2－1)))代入②，得eq\f(5,17)×eq\f(12,17)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2,a2－1)))eq\s\up12(2)＝eq\f(2a2,a2－1)，即eq\f(2a2,a2－1)＝eq\f(289,60)，解得a＝eq\f(17,13)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(17,13)舍去)).【答案】eq\f(17,13)【类题通法】(1)推断直线l与双曲线E的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入双曲线E的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,F（x，y）＝0，))消去y后得ax2＋bx＋c＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊状况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－eq\r(2)，0)，点B(eq\r(2)，0)，且动点P满足|PA|－|PB|＝2，则动点P的轨迹与直线y＝k(x－2)有两个交点的充要条件为k∈________．解析：由已知得动点P的轨迹为一双曲线的右支且2a＝2，c＝eq\r(2)，则b＝eq\r(c2－a2)＝1，∴P点的轨迹方程为x2－y2＝1(x＞0)，其一条渐近线方程为y＝x.若P点的轨迹与直线y＝k(x－2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)[对应同学用书P142]双曲线与渐近线的关系不清致误(2022·浙江温州适应性测试)已知F1，F2为双曲线Ax2－By2＝1的焦点，其顶点是线段F1F2的三等分点，则其渐近线的方程为()A．y＝±2eq\r(2)xB．y＝±eq\f(\r(2),4)xC．y＝±xD．y＝±2eq\r(2)x或y＝±eq\f(\r(2),4)x【正解】依题意c＝3a，∴c2＝9a2.又c2＝a2＋b2，∴eq\f(b2,a2)＝8，eq\f(b,a)＝2eq\r(2)，eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),4).故选D.【答案】D【易错点】(1)默认为双曲线焦点在x轴其渐近线为y＝±eq\f(b,a)x，而错选为A.(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C.(3)把a，b，c的关系与椭圆c2＝a2－b2混淆致错．【警示】(1)对于方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1来说，求渐近线方程就相当于求eq\f(b,a)的值，但要分焦点的位置是在x轴还是在y轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种状况．(2)渐近线为y＝±eq\f(b,a)x所对应的双曲线为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．1．(2021·高考福建卷)双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(4\r(5),5)解析：选C.求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y＝±eq\f(1,2)x，即x±2y＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d＝eq\f(|±2±0|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).2．(2021·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于eq\f(3,2)，则C的方程是()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,\r(5))＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,\r(5))＝1解析：选B.求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a，b的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c＝3.又离心率为eq\f(c,