《数字通信原理》课件第2章VIP

第2章信道和噪声2.1信道的基本概念2.2调制信道及其对信号传输的影响2.3信道中的噪声

2.4随机信号和噪声分析2.5信道容量

2.1信道的基本概念

2.1.1信道的定义及分类

信道分为两类：狭义信道和广义信道。调制信道和编码信道的示意图如图2-1所示。图2-1调制信道与编码信道示意图2.1.2信道的数学模型

1.调制信道模型

在频带传输系统中，已调信号离开调制器便进入调制

信道。

(1)若有一对(或多对)输入端，则必然有一对(或多对)输

出端；

(2)绝大部分信道是线性的，即满足线性叠加原理；

(3)信号通过信道有一定的时延；

(4)信道对信号有损耗(固定损耗或时变损耗)；

(5)即使没有信号输入，在信道的输出端仍可能有一定的输出(噪声)。根据上述五个特性，可用一个二对端(或多对端)的时变线性网络来代替调制信道，这个网络就称做调制信道模型，如图2-2所示。图2-2调制信道模型对于二对端的信道模型来说，它的输入和输出之间的关系式可表示成

eo(t)=f［ei(t)］+n(t)

(2-1)

式中，ei(t)为输入的已调信号；eo(t)为信道的输出信号；

n(t)为信道噪声(或称信道干扰)；f［ei(t)］为用某种函数关系(变换)表示信道对信号的影响。由于f［ei(t)］形式是个高度概括的结果，因此为了进一

步理解信道对信号的影响，假定能把f［ei(t)］简化成k(t)·ei(t)的形式，则式(2-1)可写成

eo(t)=k(t)·ei(t)+n(t)(2-2)

式(2-2)即为二对端信道的数学模型。其中，k(t)依赖于网络特性，反映了网络特性对ei(t)的作用。k(t)的存在对ei(t)来说是一种干扰，通常称其为乘性干扰，

它对信号ei(t)的影响较大。n(t)与ei(t)之间无依赖关系，或

者说n(t)独立于ei(t)，称其为加性干扰。这样，信道对信号的影响可归纳为两方面：一是乘性干扰k(t)的影响；二是加性干扰n(t)的影响。如果了解了k(t)和

n(t)的特性，则信道对信号的具体影响就清楚了。不同特性的信道，仅仅是信道模型有不同的k(t)和n(t)而已。理想信道，即能无失真地传输信号，应是k(t)=常数，n(t)=0，即

eo(t)=k·ei(t)

(2-3)

实际中，乘性干扰k(t)一般是一个复杂函数，它可能包括各种线性失真、非线性失真、交调失真、衰落失真等，而且往往只能用随机过程加以表述，这是由于网络的延迟特性和损耗特性随时间随机变化的结果。但是，经大量观察表明，有些信道的k(t)基本不随时间变

化，或变化极为缓慢，称这一类信道为恒参信道；有些信道却不然，它们的k(t)是随机快变化的，称这一类信道为随参信道(或称变参信道)。因此，在分析研究乘性干扰k(t)时，在相对的意义上可把调制信道分为两大类：恒参信道和随参信道。

2.编码信道模型

编码信道是包括调制信道及调制器、解调器在内的信道。它与调制信道模型相比有明显的不同：调制信道对信号的影

响是通过k(t)和n(t)使调制信号发生“模拟”变化；而编码信道

对信号的影响则是一种数字序列的变换，即把一种数字序列变换成另一种数字序列，故有时可把编码信道看成是一种数字信道。例如，在最常见的二进制数字传输系统中，一个简单的二进制无记忆编码信道模型如图2-3所示。之所以说这个模型是“简单的”，是因为在这个假设模型中每个数字码元发生差错是相互独立的，用编码的术语来说，这种信道是无记忆的(即某一码元的差错与其前、后码元是否发生差错无关)。图2-3二进制无记忆编码信道模型在图2-3中，把P(0/0)、P(1/0)、P(0/1)、P(1/1)称为信道转移概率，具体地，把P(0/0)和P(1/1)称为正确转移概率，

而把P(1/0)和P(0/1)称为错误转移概率。根据概率性质可知

P(0/0)+P(1/0)=1

P(1/1)+P(0/1)=1信道分类归纳如下：

2.2调制信道及其对信号传输的影响

2.2.1恒参信道

1.恒参信道举例

(1)对称电缆。对称电缆是在同一保护套内有许多对相互绝缘的双导线的传输媒质。

(2)同轴电缆。同轴电缆由同轴的两个导体构成，外导体是一个圆柱形的空管(在可弯曲的同轴电缆中，它可以由金属丝编织而成)，内导体是金属线(芯线)。

(3)光纤信道。以光导纤维(简称光纤)为传输媒质、光波为载波的光纤信道，可提供极大的传输容量。

(1)无线电视距中继。无线电视距中继是指工作频率在超短波和微波波段时，电磁波基本上沿视线传播，通信距离

依靠中继方式延伸的无线电线路。相邻中继站间的距离一般在40km～50km。它主要用于长途干线、移动通信网及某些数据收集(如水文、气象数据的测报)系统中。无线电中继信道的构成如图2-4所示,它由终端站、中继站及各站间的电波传播路径所构成。图2-4无线电中继信道的构成

(2)人造卫星中继信道。人造卫星中继信道可视为无线电中继信道的一种特殊形式。轨道在赤道平面上的人造卫星，

当它离地面的高度为35860km时，绕地球运行一周的时间恰为24h，这种卫星称为同步通信卫星。使用它作为中继站，可以实现地球上18000km范围内的多点之间的联接。采用三个适当配置的同步卫星中继站就可以覆盖全球(除两极盲区外)。

2.恒参信道特性及不失真条件

恒参信道对信号传输的影响不随时间而变化，或者随时间变化得很缓慢，因此其信道模型可以等效为一个线性时不变网络，该线性网络的传输特性H(ω)可用幅度-频率特性

|H(ω)|和相位-频率特性j(ω)来表征,即

H(ω)=|H(ω)|ejj

(ω)

(2-4)

(1)幅度-频率特性是一个不随频率变化的常数，即通带内应是水平直线，如图2-5(a)所示，其中A是常数。这样，信号的各个频率分量不会因通过信道传输而发生失真。

(2)相位-频率特性与频率呈直线关系，如图2-5(b)所示，其中K是常数。

网络的相位-频率特性还经常用群迟延-频率特性τ(ω)来衡量。所谓群迟延-频率特性是指相位-频率特性的导数，即图2-5信道不失真传输特性(a)幅度-频率特性;(b)相位-频率特性;(c)群迟延-频率特性

3.失真及其对信号传输的影响

1)幅度-频率失真

图2-6示出了典型音频电话信道的总衰耗-频率特性曲线。图中低频截止约从300Hz开始。在300Hz以下，每倍频程衰耗升高15dB～25dB；在300Hz～1100Hz范围内,衰耗比较

平坦；在1100Hz～2900Hz范围内，衰耗通常是线性上升的(2600Hz的衰耗比1100Hz时的高8dB)；在2900Hz以上，衰

耗增加很快，每倍频程增加80dB～90dB。图2-6典型电话信道的总衰耗-频率特性

2)相位-频率失真(群迟延失真)

信道的相频特性在信号频带内不是频率的线性函数，信号的各频率分量通过信道后将产生不同的迟延，从而引起波形的群迟延失真。一个典型的电话信道的群迟延-频率特性如图2-7所示。图2-7典型电话信道的群迟延-频率特性

【例2-1】设某恒参信道的传输特性为

其中，T0和td为常数。试确定信号s(t)通过该信道后的输出信号表示式，并讨论该信道对信号传输的影响。解恒参信道的传输特性为冲激响应为输出信号为幅频特性为

|H(ω)|=1+cosωT0相频特性为

j(ω)=－ωtd2.2.2随参信道

1.随参信道的特点

1)短波电离层反射信道

短波是指波长为100m～10m(相应的频率为3MHz～

30MHz)的无线电波。电离层是指60km～2000km的高空大气层，它主要是由太阳光中的紫外线照射高空大气使之电离而形成的。电离层一般分为四层:60km～80km为D层，100km～120km为E层，200km左右为F1层，350km～400km为F2层。电离层的厚度、电子浓度和高度受日照的影响极大。D层只有

在白天日照时才存在，它主要对长波起反射作用，而对短波和中波则起吸收作用。

E层主要由氧原子电离形成，可反射中波和短波，白天和晚上都存在。在E层之上是F层，夏季白天此层又可分为

F1层(高约180km～240km)和F2层(高约300km～500km),其

中F1层只有白天存在，F2层白天、晚上都存在。利用F层

的反射作用，可进行短波远距离通信，通信距离为1000km～2000km,该层是远距离传输的重要信道之一。

(1)电波经电离层的一次反射和多次反射；

(2)几个反射层高度不同；

(3)地球磁场引起的电磁波束分裂成寻常波与非寻常波；

(4)电离层不均匀性引起的漫射现象。

以上四种情况下的多径传播示意图如图2-8所示。图2-8多径传播的几种主要形式示意图(a)一次反射和两次反射;(b)反射层高度不同;(c)寻常波与非寻常波;(d)漫射现象

2)对流层散射信道

对流层散射信道是一种超视距的传播信道，其中一跳的传播距离约为100km～500km，可工作在超短波和微波波段。

设计良好的对流层散射线路可提供12～240个频分复用(FDM)的话路，而传播的可靠性可达99.9%。离地面10km～12km以下的大气层称为对流层。在对流层中，由于大气湍流运动等原因产生了不均匀性，因此引起电波的散射。图2-9示出了对流层散射传播路径的示意图。图2-9对流层散射传播路径示意图

(1)衰落。

①慢衰落。在一年之内，夏季的信号比冬季强(约为

10dB)；在一天之内，中午的信号比早、晚的弱(约为5dB)。慢衰落用小时中值(有的取5min中值，但分钟中值与小时中值接近)相对于月中值的起伏来表示。②快衰落。散射体积内各不均匀气团散射的电波是经过不同路径到达接收点的，即有多条路径。这种多径传播的影响之一是形成了接收信号的快衰落，即信号振幅和相位的快速随机变化。理论与实测均表明，散射接收信号的振幅服从瑞利分布，相位服从均匀分布。

(2)传播损耗。

(3)信道的允许频带。散射信道是典型的多径信道。多径传播不仅引起信号电平的快衰落，而且还会导致波形失真。

如图2-10所示，某时刻发出的窄脉冲经过不同长度的路程到达接收点。图2-10多径时散示意图脉冲信号通过带限系统后，波形也被展宽，而且系统频带越窄，波形展宽就越多。从这一角度来看，散射信道好像是一个带限滤波器，其允许频带(又称相关带宽)定义为

式中,τm为最大多径时延差。(2-6)

2.随参信道对信号传输的影响

1)一般衰落(频率弥散现象)

假设发射信号为单一频率正弦波Acosωct，那么经过n

条路径传播后的接收信号R(t)可用下式表述:

(2-7)式中，ai(t)为第i条路径到达接收端的信号的随机幅度；

tdi(t)为第i条路径的传输时延；ji(t)为第i条路径到达接收端的

信号的随机相位，即

ji(t)=－ωctdi(t)(2-8)

由于ai(t)和ji(t)随时间的变化要比信号载频的周期变化慢得多，因此式(2-7)可写成(2-9)令并代入式(2-9)后得(2-10)(2-11)(2-12)其中a(t)是多径信号合成后的包络，即(2-13)而j(t)是多径信号合成后的相位，即(2-14)由于ai(t)和ji(t)都是随机过程，因此aI(t)、aQ(t)、a(t)和j(t)也都是随机过程。由式(2-12)可以看出，R(t)可视为一个窄带随机过程。图2-11给出了R(t)的波形和频谱示意图，从图中可得到如下结论：

(1)从波形图上看，多径传播使单一频率的正弦信号变成了包络和相位随机缓慢变化的窄带信号，这种信号称为衰落信号，即多径传播使信号产生瑞利型衰落；

(2)从频谱图上看，多径传播使单个频率变成了窄带频谱，即多径传播引起了频率弥散。图2-11R(t)的波形及频谱示意图(a)R(t)波形;(b)R(t)频谱

2)频率选择性衰落

为了分析方便，我们假设多径传播的路径只有两条，

且到达接收点的两路信号具有相同的强度和一个相对时延差，如图2-12所示。其中，t0是固定的时延,τ是两条路径

信号的相对时延差，V0为某一确定值。图2-12两径传播模型当发射信号为f(t)时，经两条路径传播后的接收信号为

R(t)=V0f(t－t0)+V0f(t－t0－τ)

(2-15)

设发射信号的傅里叶变换对为

(2-16)

则接收信号的频谱为

(2-17)

两径信道的传输特性为(2-18)由此可见，所求的传输特性除常数因子V0外，是由一个模值为1、固定时延为t0的网络与另一个特性为1+e－jωt的网络级联所组成。而后一个网络的幅度-频率特性为(2-19)图2-13表示了上述关系。图2-13频率选择性衰落示意图多径传播时相对时延差(简称多径时延差)通常用最大多径时延差表示，并用它来估算传输零、极点在频率轴上的位置。设最大多径时延差为τm，则定义(2-20)即为相邻传输零点的频率间隔。

3.改善随参信道特性的措施

(1)空间分集。

(2)频率分集。

(3)角度分集。

(4)极化分集。

各分散的合成信号进行合并的方法如下。

(1)最佳选择式。从几个分散信号中设法选择其中信噪比最好的一个作为接收信号。

(2)等增益相加式。将几个分散信号以相同的支路增益进行直接相加，相加后的结果作为接收信号。

(3)最大比值相加式。控制各支路增益，使它分别与本支路的信噪比成正比，然后相加获得接收信号。以上合并方式在改善总接收信噪比上均有差别，如图

2-14所示。图中k为分集的重数，r为合并后输出信噪比的

平均值。由图2-14可见，最大比值相加方式的性能最好，

等增益相加方式的次之，最佳选择方式的最差。图2-14三种合并方式的比较2.3信道中的噪声

(1)无线电噪声。

(2)工业噪声。

(3)天电噪声。

(4)内部噪声。

按噪声性质区分如下:

(1)单频噪声。它主要指无线电干扰。因为电台发射的频谱集中在比较窄的频率范围内，所以可以近似地看做是单频性质的。

(2)脉冲干扰。它包括工业干扰中的电火花、断续电流以及天电干扰中的雷电等。它的特点是波形不连续，呈脉冲性质。这类干扰发生的时间很短，强度很大，而周期是随机的，因此它可以用随机的窄脉冲序列来表示。

(3)起伏噪声。它主要指信道内部的热噪声和器件噪声以及来自空间的宇宙噪声。它们都是不规则的随机过程，只能采用大量统计的方法来寻求其统计特性。

2.4随机信号和噪声分析

2.4.1随机过程的一般表述

1.定义及其特征

设有n台性能完全相同的通信机，它们的工作条件也都相同,现用n部记录仪同时记录各部通信机的输出噪声波形。测试结果将会表明，得到的n张记录图形并不因为有相同的条件而输出相同的波形。恰恰相反，即使n足够的大，也找不到两个完全相同的波形，如图2-15所示。图2-15n部通信机的输出记录从数学角度说，随机过程ξ(t)的定义如下：设随机试

验E的可能结果为ξ(t)，试验的样本空间S为{x1(t),x2(t),…,xi(t),…}，i为正整数，xi(t)为第i个样本函数(又称之为实现)，每次试验之后，ξ(t)取空间S中的某一样本函数，于

是称此ξ(t)为随机函数。当t代表时间量时，称此ξ(t)为随机过程。

2.随机过程的统计特性

1)概率分布

设ξ(t)表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1上ξ(t1)是一个随机变量。显然，这个随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数描述，称

F1(x1,t1)=P{ξ(t1)≤x1}

(2-21)

为随机过程ξ(t)的一维分布函数。如果存在(2-22)则称f1(x1,t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。无疑，在一般情况下用一维分布函数去描述随机过程的完整统计特性是极不充分的，通常需要在足够多的时刻上考虑随机过程的多维分布函数。

ξ(t)的n维分布函数被定义为如果存在(2-24)则称其为ξ(t)的n维概率密度函数。

2)数字特征

(1)数学期望。随机过程ξ(t)的数学期望又称统计平均值或均值，定义为

(2-25)

并记为E［ξ(t)］=a(t)。它是时间t的函数，表示随机过程在不同时刻所得的随机变量分布的中心值。

(2)方差。随机过程ξ(t)的方差定义为

D［ξ(t)］=E{ξ(t)－E［ξ(t)］}2(2-26)

由此还可得

(2-27)常记为D［ξ(t)］=σ2(t)。

(3)自相关函数。数学期望和方差只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们只是描述了随机过程在各个孤立时刻的特征，而不能反映随机过程内在的联系。为了衡量

随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性，常用自相关函数R(t1,t2)来表示。自相关函数R(t1,t2)定义为从以上对随机过程的一般表述看到，随机过程的统计特性原则上都与时刻t1、t2有关。就自相关函数而言，它的相

关程度与选择时刻t1及t2有关。如果t2>t1，并令t2=t1+τ，即τ是t2与t1之间的时间间隔，则自相关函数R(t1,t2)可表示为R(t1,t1+τ)。

【例2-2】设随机过程ξ(t)可表示成ξ(t)=2cos(2πt+θ)。

式中θ是一个离散随机变量，且求Eξ(1)及Rξ(0,1)。解因为θ是一个离散随机变量，所以例2-2的关键是要清楚Eξ(1)和Rξ(0,1)的含义，Eξ(1)是指当t=1时，所得随机变量的数学期望；Rξ(0,1)是指当t1=0，t2=1时，所得的两个随机变量的相关函数。2.4.2平稳随机过程

1.定义

平稳随机过程是通信系统中应用最广泛的一类重要的随机过程。平稳随机过程，是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，如果对于任意的正整数n和任意实数t1，t2，…，tn，τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足(2-29)则称ξ(t)是平稳随机过程。显然，如果考虑的是平稳随机过程，则它的一些数字特征也变得简明了：平稳随机过程的数学期望与t无关，为常数a；方差与t无关，也为常数；它的自相关函数只与时间间隔τ有关，即

R(t1,t1+τ)=R(τ)(2-30)

2.各态历经性

“各态历经”的意思是说，从随机过程中得到的任一实现，似乎经历了随机过程的所有可能状态。如果一个平稳随机过程具有各态历经性，那么它的统计平均值就等于其时间平均值。也就是说，假设x(t)是平稳随机过程ξ(t)的任一实现，若满足(2-31)则称此随机过程为具有各态历经性的平稳随机过程。

3.自相关函数和功率谱密度

1)自相关函数的性质

设ξ(t)为实平稳随机过程，那么它的自相关函数有如下主要性质。

(1)R(0)=E［ξ2(t)］=S(ξ(t)的平均功率)。

平稳随机过程的总能量往往是无限的，而其平均功率却是有限的。

(2)R(τ)=R(－τ)(R(τ)是偶函数)。

这一点可直接由定义式得到证明。

(3)|R(τ)|≤R(0)(R(τ)的上界)。

可由非负式E［ξ(t)±ξ(t+τ)］2≥0推演而得，表示同一点的相关性最强。

(4)R(∞)=E2［ξ(T)］(ξ(t)的直流功率)。

因为

这里利用了当τ→∞时ξ(t)与ξ(t+τ)没有依赖关系，即统计独立，而且也认为ξ(t)不含有周期分量。

(5)R(0)－R(∞)=σ2(方差，ξ(t)的交流功率)。图2-16给出了一条典型的R(τ)曲线，并且从图形上可以反映出它的全部特点。图2-16平稳随机过程R(τ)的典型曲线

2)功率谱密度

对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度PS(ω)可表示成

式中，FT(ω)是f(t)的截短函数fT(t)的频谱函数。f(t)和fT(t)的波形如图2-17所示。它的平均功率可表示为(2-32)(2-33)图2-17功率信号f(t)及其截短函数fT(t)的波形(a)f(t)的波形;(b)fT(t)的波形设ξ(t)的功率谱密度为Pξ(ω)，ξ(t)的某一实现之截短函数为ξT(t)，且，于是有

ξ(t)的平均功率S可表示成(2-34)(2-35)

3)自相关函数与功率谱密度的关系(维纳-辛钦定理)

平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即式(2-36)可简写为

(2-37)这个公式也称之为维纳-辛钦定理。证明因为

其中(2-38)利用二重积分换元法，令τ=t－t′，则式(2-38)可化简为(2-39)于是(2-40)即。

【例2-3】已知随机相位正弦波ξ(t)=sin(ω0t+θ)，其中ω0是常数，θ是在区间(0,2π)上均匀分布的随机变量，试求：

(1)ξ(t)的数学期望、方差和自相关函数，并判断ξ(t)是否广义平稳。

(2)ξ(t)的功率谱密度和平均功率。解(1)由题意可知，θ的概率密度函数为因此，数学期望为方差为自相关函数为其中，在上式推导中令t1=t，t2=t+τ。

(2)由维纳-辛钦定理可知功率谱密度

平均功率或2.4.3通信系统中常见的几种噪声分析

1.高斯噪声

1)定义及特性

在实际通信信道中，高斯型噪声(即高斯噪声)是一种常见的噪声。高斯噪声的概率密度函数服从高斯分布(即正态分布)，其一维概率密度函数表示式为(2-41)式中，a为噪声的数学期望;σ2为噪声的方差。f(x)的曲线如图2-18所示。图2-18高斯分布的概率密度函数曲线由式(2-41)和图2-18容易看到f(x)具有如下特性。

(1)f(x)对称于x=a直线，即有f(a+x)=f(a－x)。

(2)f(x)在区间(－∞，a)内单调上升，在区间(a，+∞)内单调下降，且在点(a,0)处达到极大值，当x→±∞时,f(x)→0。

(3)且有

(4)对不同的a，表现为f(x)的图形左、右平移；对不同的σ，f(x)的图形将随σ的减小而变高和变窄。

(5)当a=0，σ=1时，则称式(2-41)为标准化的正态分布，这时有(2-44)通常通信信道中噪声的均值a=0，由此可得到一个重要的结论，即在噪声均值为0时，噪声的平均功率等于噪声的方

差,即

Sn=R(0)=E［ξ2(t)］=σ2

(2-45)

式(2-45)是个非常有用的结果，在通信理论分析中，常常通过求其自相关函数或方差来计算噪声的功率。

2)正态分布函数和误差函数

正态分布函数是概率密度函数的积分，即

(2-46)式中，Φ(x)称为概率积分函数，简称概率积分。其定义为(2-47)由于式(2-46)的积分不易计算，因此常引入误差函数和互补误差函数表示正态分布。误差函数的定义式为互补误差函数的定义式为(2-48)(2-49)式(2-48)和式(2-49)是在讨论通信系统抗噪声性能时常用到的基本公式。其好处是：借助于一般数学手册所提供的误差函数表，可方便地查出不同x值时误差函数的近似值，避免了式(2-46)的复杂积分运算。此外，误差函数的简明特性有助于通信系统的抗噪性能分析。

2.白噪声

1)理想白噪声

理想白噪声的功率谱密度通常被定义为

(2-50)称为双边功率谱密度。式中，n0是一个常数，单位是W/Hz。若采用单边频谱，即频率在0到无穷大范围内时，称为单边功率谱密度，记为

Pn(ω)=n0(0<ω<+∞)

(2-51)

由维纳-辛钦定理可以求得白噪声的自相关函数为

(2-52)式(2-52)表明，白噪声的自相关函数是一个位于τ=0处的冲激函数，它的强度为n0／2。理想白噪声的功率谱和自相关函数图形如图2-19所示。图2-19理想白噪声的功率谱和自相关函数图形(a)功率谱;(b)自相关函数

2)带限白噪声

当白噪声通过信道时，频带将受到限制，称为带限白噪声，其功率谱密度定义为(2-53)带限白噪声的自相关函数为(2-54)式(2-54)表明，带限白噪声的自相关函数是Sa(x)函数的形式，中心位于t=0，第一零点在τ=π／ω0处，如图2-20所示。图2-20带限白噪声的功率谱和自相关函数图形(a)功率谱;(b)自相关函数

3.高斯白噪声

白噪声是根据噪声的功率谱密度是否均匀来定义的，而高斯噪声则是根据它的概率密度函数是否服从正态分布来定义的。高斯白噪声是指噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时它的功率谱密度函数是常数的一类噪声。

4.窄带高斯噪声

当高斯噪声通过以ωc为中心角频率的窄带系统时，就可形成窄带高斯噪声。窄带系统是指系统的频带宽度B比起中心频率小很多的通信系统，即B<<fc=ωc/2π的系统。窄带高斯噪声可表示为

n(t)=ρ(t)cos［ωct+j(t)］(2-55)

式中，j(t)为噪声的随机相位；ρ(t)为噪声的随机包络。

窄带高斯噪声的频谱和波形示意图如图2-21所示。图2-21窄带高斯噪声的频谱和波形示意图(a)频谱;(b)波形窄带高斯噪声的表达式(2-55)可写成另一种形式，即

n(t)=ρ(t)cosj(t)cosωct－ρ(t)sinj

(t)sinωct

=nI(t)cosωct－nQ(t)sinωct(2-56)

式中，nI(t)称为噪声的同相分量，即

nI(t)=ρ(t)cosj(t)(2-57)

nQ(t)称为噪声的正交分量，即

nQ(t)=ρ(t)sinj(t)(2-58)

通过分析，可得到如下结论。

(1)一个均值为0、方差为σ2n的窄带平稳高斯噪声n(t)，它的同相分量nI(t)和正交分量nQ(t)也是平稳高斯过程，而且

均值也都为0，方差也相同。另外，同一时刻上得到的nI(t)

和nQ(t)是不相关的或统计独立的，即式中，σ2I和σ2Q分别表示同相分量和正交分量的方差(即功率)。(2-59)(2-60)(2-61)

(2)一个均值为0、方差为σ2n的窄带平稳高斯噪声n(t)，其包络ρ(t)的一维分布服从瑞利分布，其相位j(t)的一维分

布服从均匀分布。就一维分布而言，ρ(t)和j(t)是统计独立的,即(2-62)(2-63)(2-64)

5.余弦信号加窄带高斯噪声

在对通信系统性能的分析中，常有余弦信号加窄带高斯噪声的形式，即Acosωct+n(t)的形式。如分析2ASK、2FSK、2PSK等信号抗噪声性能时，其信号均为Acosωct的形式，那么信号加上信道噪声后多为以下形式：

式中

(1)余弦信号和窄带高斯噪声的随机包络服从广义瑞利分布(也称莱斯分布)。若信号幅度A→0时，其随机包络服从瑞利分布。广义瑞利分布表达式为(ρ>0)式中，I0(x)为零阶修正贝赛尔函数。I0(x)在x>0时是单调上升函数，且I0(0)=1。2.4.4随机过程通过线性系统

线性系统的输出响应信号vo(t)等于输入激励信号vi(t)与

冲激响应h(t)的卷积，即

若线性系统是物理可实现的，则

(2-71)(2-70)(2-69)假设线性系统的激励信号vi(t)可以看成是输入随机过程的一个实现，那么响应信号vo(t)可以看成是输出随机过程的一个实现。因此，只要输入有界且系统物理可实现，当输入是随机过程ξi(t)时，其输出为随机过程ξo(t)，且有(2-72)

1)ξo(t)的数学期望E［ξo(t)］

输出随机过程的数学期望等于输入随机过程的数学期望与H(0)的乘积，且E［ξo(t)］与时间t无关，表示式如下:

E［ξo(t)］=E［ξi(t)］H(0)=aH(0)

(2-73)

证明(2-74)因为求得将式(2-76)代入式(2-74)得

E［ξo(t)］=aH(0)

2)ξo(t)的自相关函数Ro(t1,t1+τ)

输出随机过程的自相关函数只与时间间隔τ有关而与时间起点t1无关，即

Ro(t1,t1+τ)=Ro(τ)

(2-77)

证明(2-78)由平稳性得

E［ξi(t1－α)ξi(t1+τ－β)］=Ri(τ+α－β)(2-79)

将式(2-79)代入式(2-78)得

由式(2-73)和式(2-77)可以看出，当线性系统的输入是平稳随机过程时，它的输出也是广义平稳随机过程。

3)ξo(t)的功率谱密度Pξo(ω)

输出随机过程的功率谱密度是输入随机过程功率谱密度与系统传输函数模的平方的乘积，即

Pξo(ω)=|H(ω)|2Pξi(ω)

(2-80)

证明由维纳-辛钦定理可知:令τ′=τ+α－β，代入式(2-81)得(2-82)

4)输出过程ξo(t)的概率分布

证明因为式(2-72)可以表示成一个和式的极限，即由于输入过程已假设为高斯型的，因此，在任一时刻上的每一项ξi(t－τk)h(τk)Δτk都是一个正态随机变量。

【例2-4】某系统由一个延迟器和一个加法器所组成，如图2-22所示。若输入ξ(t)为平稳随机过程，其自相关函数为Rξ(τ)，功率