高中数学第三章导数及其应用3.3.2极大值与极小值课件7苏教版选修

导数与函数的极值、最值1.当函数y＝x·2x取极小值时，x＝______.激活思维：2.函数y＝ln

x－x在x∈(0，e]上的最大值为____.－13.函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的

任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是____.204.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，

则f(2)＝____.185.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是_______________________.(－∞，－3)∪(6，＋∞)思维升华(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.

题型一用导数解决函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值、极小值分别是___________.f(－2)、f(2)命题点2求函数的极值当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：命题点3已知极值求参数例3

(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝____.解析

由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.－7解析答案思维升华（3）.函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________.(－1,1)题型二用导数求函数的最值(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；解析答案(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值.即x－4y＋4ln2－4＝0.令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值.②若0<a<e，当x∈(0，a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，当x∈(a，e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln

a.(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值.③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，

综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；当0<a<e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln

a；令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值.②若0<a<e，当x∈(0，a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，当x∈(a，e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln

a.解析答案思维升华③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，

综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；当0<a<e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln

a；思维升华思维升华求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.解析由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.1跟踪训练2解析答案返回1题型三函数极值和最值的综合问题(1)求f(x)的单调区间；解析答案令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同.又因为a>0，所以－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值.解析答案思维升华解

由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，

解得a＝1，b＝5，c＝5，因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，解析答案思维升华所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.思维升华思维升华求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是_____.跟踪训练3解析答案返回－13解析对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.答案

－13返回小结用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题第一步：(求导数)