2019届江苏专用高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.8函数与方程讲义文苏教版

§2.8函数与方程基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝

的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与

有交点⇔函数y＝f(x)有

.知识梳理f(x)x轴零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有

，那么，函数y＝f(x)在区间

上有零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个

也就是方程f(x)＝0的根.2.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且

的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间

，使区间的两个端点逐步逼近

，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0

c

f(a)·f(b)<0一分为二零点3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点_____________________无交点零点个数_________(x1，0)，(x2，0)(x1，0)210知识拓展有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(

)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

)(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.(

)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(

)(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.(

)×××√√考点自测1.(教材改编)函数f(x)＝

－()x的零点个数为

.答案解析1f(x)是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝

，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点.2.(教材改编)已知f(x)＝ax2＋bx＋c的零点为1，3，则函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴是

.答案解析∵y＝a(x－1)(x－3)＝a(x－2)2－a，∴对称轴为x＝2.x＝2③答案解析4.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是

.答案解析∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)<0，∴(－3a＋1)·(1－a)<0，解得<a<1，∴实数a的取值范围是.5.(教材改编)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0，1)上有零点，则实数a的取值范围是

.答案解析(－2，0)结合二次函数f(x)＝x2＋x＋a的图象知题型分类深度剖析题型一函数零点的确定命题点1确定函数零点所在区间例1

(1)(2016·盐城调研)已知函数f(x)＝ln

x－

x－2的零点为x0，则x0所在的区间是

.(填序号)①(0，1)；

②(1，2)；③(2，3)；

④(3，4).答案解析③∴x0∈(2，3).(2)设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是

.答案解析令f(x)＝x3－()x－2，则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，∴x0所在的区间是(1，2).(1，2)命题点2函数零点个数的判断例2

(1)函数f(x)＝

的零点个数是

.答案解析2当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又因为f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是

.答案解析由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图，观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.4(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.思维升华跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝

－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是

.(填序号)①(0，1)；

②(1，2)；③(2，4)；

④(4，＋∞).答案解析所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4).③(2)(教材改编)已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数为

.答案解析2令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，如图所示，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.题型二函数零点的应用例3

(1)函数f(x)＝2x－

－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a

的取值范围是

.答案解析(0，3)因为函数f(x)＝2x－

－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－

－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0＜a＜3.(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是

.答案解析(0，1)∪(9，＋∞)几何画板展示设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示.由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，∴0<a<1或a>9.引申探究本例(2)中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是

.答案解析作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如下：当x＝0或x＝－3时，y1＝0，由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，0<a<.已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围.(2)方法：常利用数形结合法.思维升华跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0，1)上有零点，则a的取值范围为

.答案解析(－2，0)∵－a＝x2＋x在(0，1)上有解，∴函数y＝x2＋x，x∈(0，1)的值域为(0，2)，∴0<－a<2，∴－2<a<0.(2)(2016·江苏前黄中学调研)若函数f(x)＝

－kx2有4个零点，则实数k的取值范围是

.答案解析(－∞，－4)几何画板展示令f(x)＝0，则方程

＝kx2有4个不同的实数根，显然，x＝0是方程的一个实数根.当x≠0时，方程可化为

＝|x|(x－1)，设h(x)＝

，g(x)＝|x|(x－1)，由题意知h(x)与g(x)图象(如图所示)有三个不同的交点，题型三二次函数的零点问题例4

已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.解答方法一设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.方法二函数图象大致如图，则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1.故实数a的取值范围是(－2，1).解决与二次函数有关的零点问题(1)利用一元二次方程的求根公式.(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系.(3)利用二次函数的图象列不等式组.思维升华跟踪训练3(2016·江苏泰州中学质检)关于x的一元二次方程x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是

.答案解析设f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14，(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决.典例(1)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是

.(2)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为

.

利用转化思想求解函数零点问题思想与方法系列4(1，＋∞)思想方法指导答案解析几何画板展示函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，即方程ax－x－a＝0有两个根，即函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象有两个交点.当0<a<1时，图象如图(1)所示，此时只有一个交点.当a>1时，图象如图(2)所示，此时有两个交点.∴实数a的取值范围为(1，＋∞).课时作业123456789101112131.(2016·江苏东海中学期中)若函数f(x)＝

则函数g(x)＝f(x)－x的零点为

.答案解析题目转化为求方程f(x)＝x的根，2.若函数f(x)＝log3x＋x－3的零点所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝

.答案解析2由f(2)＝log32－1<0，f(3)＝1>0，知f(x)＝0的根在区间(2，3)内，即n＝2.123456789101112133.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为

.答案解析a<c<b12345678910111213故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1，0).∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2；且h(x)为(0，＋∞)上的增函数，12345678910111213方法二由f(x)＝0得2x＝－x；由h(x)＝0得log2x＝－x，作出函数y＝2x，y＝log2x和y＝－x的图象(如图).由图象易知a<0，0<c<1，而b＝2，故a<c<b.123456789101112134.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是

.答案解析(数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点.2123456789101112135.函数f(x)＝

的零点个数为

.答案解析当x≤0时，令f(x)＝0，得x2－1＝0，∴x＝－1，此时f(x)有一个零点；当x>0时，令f(x)＝0，得x－2＋ln

x＝0，在同一个坐标系中画出y＝2－x和y＝ln

x的图象(图略)，观察其图象可知函数y＝2－x和y＝ln

x的图象在(0，＋∞)上的交点个数是1，所以此时函数f(x)有一个零点，所以f(x)的零点个数为2.2123456789101112136.已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝

－a(x≠0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是

.答案解析12345678910111213123456789101112137.(2016·徐州模拟)已知函数f(x)＝

则函数f(x)的零点为

.答案解析x＝0当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；又因为x>1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.123456789101112138.已知函数f(x)＝

若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是_______.答案解析(0，1)由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0<m<1，即m∈(0，1).123456789101112139.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2015x＋log2015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为______.答案解析3函数f(x)为R上的奇函数，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.12345678910111213*10.若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则

的最小值为

.答案解析112345678910111213设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m>0，n>0).因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直线y＝x对称.又因为y＝x和h(x