2019届安徽专用中考数学复习第三章函数与图象3.4二次函数试卷部分讲义

第三章函数与图象§3.4二次函数中考数学

(安徽专用)A组2014—2018年安徽中考题组五年中考1.(2015安徽,10,4分)如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P、Q两点,则函

数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能为

(

)

答案

A由题图可知一元二次方程ax2+bx+c=x有两个不等的正实数根,即函数y=ax2+(b-1)x+

c的图象与x轴正半轴有两个交点,故选A.2.(2014安徽,12,5分)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与

上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=

.答案

a(1+x)2

解析∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长

率都是x,∴二月份新产品的研发资金为a(1+x)元,∴三月份新产品的研发资金为a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元,即y=a(1+x)2.3.(2018安徽,22,12分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计,盆景

的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉

售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大?最大总利润是多少?解析

(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000,W2=[100-(50+x)]×19=(50-x)×19=-19x+950.

(6分)(2)W=W1+W2=-2x2+41x+8950=-2

+

.∵x取整数,∴当x=10时,总利润W最大,最大总利润是9160元.

(12分)思路分析

(1)根据题意分别列出W1,W2关于x的函数表达式;(2)将二次函数的解析式配方,根据

x取整数及二次函数的性质求出W的最大值.4.(2017安徽,22,12分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不

高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据

如下表:售价x(元)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,

最大利润是多少?解析

(1)设y=kx+b(k≠0).由题意,得

解得

∴所求函数表达式为y=-2x+200.

(4分)(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000.

(7分)(3)W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800,其中40≤x≤80.∵-2<0,∴当40≤x<70时,W随x的增大而增大;当70<x≤80时,W随x的增大而减小;当售价为70元时,获得最大利润,最大利润为1800元.

(12分)思路分析

(1)由图表可根据待定系数法求出y与x之间的函数表达式;(2)根据公式即可求出W

与x之间的函数表达式;(3)利用配方法和二次函数的性质即可求出最大利润.5.(2016安徽,22,12分)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6).写出四边形OACB的面

积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.

解析

(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,得

解得

(5分)(2)如图,过A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F.

二次函数表达式为y=-

x2+3x.S△OAD=

OD·AD=

×2×4=4,S△ACD=

AD·CE=

×4×(x-2)=2x-4,S△BCD=

BD·CF=

×4×

=-x2+6x,

(8分)则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x.所以S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2<x<6).

(10分)因为S=-(x-4)2+16,所以当x=4时,四边形OACB的面积S取最大值,最大值为16.(12分)思路分析

(1)将A,B的坐标代入二次函数的解析式,解方程组即可;(2)利用割补思想将四边形

OACB分割成三个三角形,求出S关于x的函数表达式,最后求S的最大值.方法指导

求不规则四边形的面积往往采用割补思想将原图形的面积转化为我们所熟悉的

三角形或平行四边形的面积求解.考点一二次函数的图象与性质B组2014—2018年全国中考题组1.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是

(

)A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-3答案

D因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是

直线x=-1,选项B错误;当x<-1时,y随x的增大而减小,选项C错误;当x=-1时,y取得最小值,此时y=-

3,选项D正确.故选D.思路分析

根据题中的函数解析式以及二次函数的性质,可以判断各个选项中的结论是否成

立,从而解答本题.解题关键

解答本题的关键是理解二次函数的性质,会用配方法求二次函数的最值.2.(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为(

)A.y=(x-4)2+7

B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7

D.y=(x+4)2-25答案

B

y

x2-8x-9

x2-8x+16-16-9

(x-4)2-25,故选B.3.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y

轴右侧.有下列结论:①抛物线经过点(1,0);②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;③-3<a+b<3.其中,正确结论的个数为

(

)A.0

B.1

C.2

D.3答案

C∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),其对称轴在y轴右侧,∴抛物线

不能经过点(1,0),∴①错误.∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴

在y轴右侧,∴抛物线开口向下,与直线y=2有两个交点,∴方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数

根,故②正确.∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴-

>0.∵a<0,∴b>0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,∴b=a+3,a=b-3.∴-3<a<0,0<b<3.∴-3<a+b<3.故③正确.故选C.思路分析

抛物线经过点(-1,0),其对称轴在y轴右侧,由对称性可以判断①错误;由条件得抛物

线开口向下,作直线y=2,直线与抛物线有两个交点,可判断②正确;根据抛物线所经过的点及对

称轴的位置,可判断③正确,从而得结论.解后反思

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与系数的关系,二次函数

与一元二次方程的关系,不等式的性质等知识,a的符号决定抛物线的开口方向,-

的符号决定抛物线对称轴的位置,c的值决定了抛物线与y轴的交点坐标.4.(2016四川南充,5,3分)抛物线y=x2+2x+3的对称轴是

(

)A.直线x=1

B.直线x=-1C.直线x=-2

D.直线x=2答案

B抛物线的对称轴为直线x=-

=-

=-1,故选B.5.(2016湖南长沙,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴最多有一个交点.现有以下四个

结论:①该抛物线的对称轴在y轴左侧;②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;③a-b+c≥0;④

的最小值为3.其中,正确结论的个数为

(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个答案

D∵b>a>0,∴-

<0,∴①正确;∵抛物线与x轴最多有一个交点,∴b2-4ac≤0,∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0的判别式Δ=b2-4a(c+2)=b2-4ac-8a<0,∴②正确;∵a>0,且抛物线与x轴最多有一个交点,∴y≥0,∴当x=-1时,a-b+c≥0,∴③正确;∵y≥0,∴当x=-2时,4a-2b+c≥0,即a+b+c≥3b-3a,即a+b+c≥3(b-a),∵b>a,∴b-a>0,∴

≥3,∴④正确.故选D.6.(2015天津,12,3分)已知抛物线y=-

x2+

x+6与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,若D为AB的中点,则CD的长为(

)A.

B.

C.

D.

答案

D由题意知,点D是抛物线的对称轴与x轴的交点,所以点D的坐标为

.对于y=-

x2+

x+6,令x=0,得y=6,所以C(0,6).所以CD=

=

=

.故选D.7.(2015广西南宁,10,3分)如图,已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1.

下列结论中:①ab>0;②a+b+c>0;③当-2<x<0时,y<0.正确的个数是

(

)

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个答案

D因为对称轴为直线x=-

<0,所以ab>0,所以①正确;当x=1时,y=a+b+c>0,所以②正确;由图象可知抛物线与x轴的交点坐标为(-2,0),(0,0),所以-2<x<0时,图象在x轴下方,即y<0,所

以③正确.故选D.8.(2017甘肃兰州,18,4分)如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,

则Q点的坐标为

.

答案

(-2,0)解析

P,Q两点关于对称轴x=1对称,则P,Q两点到对称轴x=1的距离相等,设点Q的横坐标为m,

则

=1,解得m=-2.∴Q点的坐标为(-2,0).9.(2015宁夏,24,8分)已知点A(

,3)在抛物线y=-

x2+

x上,设点A关于抛物线对称轴对称的点为B.(1)求点B的坐标;(2)求∠AOB的度数.解析

(1)解法一:依题意,由对称轴方程x=-

得,x=2

,(1分)∵点A、B关于抛物线对称轴x=2

对称,∴由点A(

,3)知,点B的坐标为(3

,3).

(2分)解法二:∵点A、B关于抛物线的对称轴对称,∴点B也在抛物线上,当y=3时,-

x2+

x=3,整理,得x2-4

x+9=0,

(1分)解得x=3

或x=

,∴点B的坐标为(3

,3).

(2分)(2)由勾股定理,得OA=2

,OB=6,∵AB=2

,∴△OAB为等腰三角形.

(5分)过点A作AC⊥OB于点C,则OC=

OB=3.在Rt△AOC中,cos∠AOC=

=

,∴∠AOC=30°,即∠AOB=30°.

(8分)

评析

本题考查了对称的性质,二次函数图象的对称轴方程,以及根据三角函数值求某个特殊

角的度数.构造出恰当的直角三角形是解决本题的关键.属中档题.1.(2017甘肃兰州,5,4分)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是

(

)A.1

B.1.1

C.1.2

D.1.3x11.11.21.31.4y-1-0.490.040.591.16考点二二次函数与方程的联系答案

C由表格中的数据可以看出最接近于0的数是0.04,它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x-

5=0的一个近似根是1.2,故选C.2.(2016辽宁沈阳,10,2分)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示,点A(x1,y1),B

(x2,y2)是该二次函数图象上的两点,其中-3≤x1<x2≤0,则下列结论正确的是

(

)

A.y1<y2

B.y1>y2C.y的最小值是-3

D.y的最小值是-4答案

D二次函数y=x2+2x-3=(x+1)2-4图象的顶点坐标为(-1,-4).令x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,

则二次函数y=x2+2x-3的图象与x轴的两个交点为(-3,0),(1,0).由-3≤x1<x2≤0及二次函数的图象

可知,y1,y2的大小不能确定,∴选项A,B错误;ymin=-4,∴选项C错误,故选D.评析本题考查了二次函数的图象和性质,难度适中.3.(2016陕西,10,3分)已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连

接AC、BC,则tan∠CAB的值为

(

)A.

B.

C.

D.2答案

D不妨设点A在点B左侧,如图,作CD⊥AB交AB于点D,当y=0时,-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1,所以A(-3,0),B(1,0),所以AB=4,因为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,所以顶点C(-1,4),所以AD=2,CD=4,所以tan∠CAB=

=2,故选D.评析本题考查了二次函数的图象和性质,求某个角的三角函数值.属于容易题.4.(2015江苏苏州,8,3分)若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,

则关于x的方程x2+bx=5的解为

(

)A.x1=0,x2=4

B.x1=1,x2=5C.x1=1,x2=-5

D.x1=-1,x2=5答案

D设二次函数y=x2+bx的图象与x轴交点的横坐标为x1、x2,则x1+x2=-b,由题意知函数图

象的对称轴为直线x=2,则

=2,所以x1+x2=4,得b=-4.代入方程得x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,故选D.5.(2016宁夏,10,3分)若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是

.答案

m<1解析当二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点时,方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数

根,所以Δ=4-4m>0,解得m<1.所以m的取值范围是m<1.6.(2017上海,24,12分)已知在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2,2),

对称轴是直线x=1,顶点为B.(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;(2)点M在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为m,连接AM,用含m的代数式表示∠AMB的

余切值;(3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点C在x轴上.原抛物线上一点P平移后的对

应点为点Q,如果OP=OQ,求点Q的坐标.

解析

(1)依题意,得

解得

∴所求抛物线的表达式为y=-x2+2x+2.将x=1代入上式,得y=-1+2+2=3.∴顶点B的坐标为(1,3).(2)过点A作抛物线对称轴的垂线,垂足为N.

则AN=1,MN=m-2.∴cot∠AMB=

=m-2.(3)原二次函数配方得y=-(x-1)2+3,则平移后的抛物线的解析式为y=-(x-1)2,即y=-x2+2x-1.设点P的横坐标为t,则P(t,-t2+2t+2),Q(t,-t2+2t-1).∵OP=OQ,∴x轴垂直平分PQ,∴-t2+2t+2=-(-t2+2t-1),解得t=

,∴-t2+2t-1=-

.∴Q

或

.1.(2014辽宁沈阳,15,4分)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤

x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为

元.考点三二次函数的应用答案

25解析设利润为y元,则y=(x-20)(30-x)=-x2+50x-600=-(x-25)2+25,所以当每件的售价为25元时,利

润最大.2.(2018内蒙古呼和浩特,25,10分)某市计划在十二年内通过公租房建设,解决低收入人群的住

房问题.已知前7年,每年竣工投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关

系构成一次函数(1≤x≤7且x为整数),且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为

和

百万平方米;后5年每年竣工投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系是y=-

x+

(7<x≤12且x为整数).(1)已知第6年竣工投入使用的公租房面积可解决20万人的住房问题,如果人均住房面积最后

一年要比第6年提高20%,那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问

题?(2)受物价上涨等因素的影响,已知这12年中,每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同,且

第一年,一年38元/m2,第二年,一年40元/m2,第三年,一年42元/m2,第四年,一年44元/m2,……,以此

类推.分析说明每平方米的年租金和时间能否构成函数,如果能,直接写出函数解析式;(3)在(2)的条件下,假设每年的公租房当年全部出租完,写出这12年中每年竣工投入使用的公

租房的年租金W关于时间x的函数解析式,并求出W的最大值(单位:亿元).如果在W取得最大值的这一年,老张租用了58m2的房子,计算老张这一年应交付的租金.解析

(1)设y=kx+b(k≠0,1≤x≤7且x为整数).由已知得

解得

∴y=-

x+4(1≤x≤7),∴x=6时,y=-

×6+4=3,∴300÷20=15,15×(1+20%)=18,又x=12时,y=-

×12+

=

,∴

×100÷18=12.5万人.∴最后一年可解决12.5万人的住房问题.(2)由于每平方米的年租金和时间都是变量,且对于每一个确定的时间x的值,每平方米的年租

金m(元/m2)都有唯一的值与它对应,所以它们能构成函数.由题意知m=2x+36(1≤x≤12且x为整数).(3)W=

x为整数.∵当x=3时,W=147,当x=8时,W=143,147>143.∴当x=3时,年租金最大,Wmax=1.47亿元.当x=3时,m=2×3+36=42.∴58×42=2436元.∴老张这一年应交租金2436元.解题关键

解决本题的关键是要能从大量的文字信息中提取相关的已知条件,并能列出符合

题意的表达式,进而借助二次函数的顶点式(配方法)求出相应的最值.3.(2016山东青岛,20,8分)如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角

坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为

m,到墙边OA的距离分别为

m,

m.(1)求该抛物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为10m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案?

解析

(1)由题意可知B

,C

,代入y=ax2+bx得

解得

∴y=-x2+2x=-(x-1)2+1.答:该抛物线的函数关系式是y=-x2+2x,图案最高点到地面的距离是1m.

(5分)(2)当y=0时,-x2+2x=0,∴x1=0,x2=2,∴10÷2=5(个).答:最多可以连续绘制5个抛物线型图案.

(8分)4.(2015宁夏,25,10分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按拟定的价格

进行试销,通过对5天的试销情况进行统计,得到如下数据:(1)计算这5天销售额的平均数;(销售额=单价×销量)(2)通过对上面表格中的数据进行分析,发现销量y(件)与单价x(元/件)之间存在一次函数关系,

求y关于x的函数关系式;(不需要写出函数自变量的取值范围)(3)预计在今后的销售中,销量与单价仍然存在(2)中的关系,且该产品的成本是20元/件.为使工

厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少?单价(元/件)3034384042销量(件)4032242016解析

(1)

=934.4.

(2分)(2)设所求一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),将(30,40)、(40,20)代入y=kx+b,得

解得

∴y=-2x+100.

(5分)(3)设利润为ω元,根据题意,得ω=(x-20)(-2x+100)

(7分)=-2x2+140x-2000=-2(x-35)2+450,

(9分)则当x=35时,ω取最大值.即当该产品的单价为35元/件时,工厂获得最大利润450元.

(10分)评析

本题考查了加权平均数的计算,一次函数解析式的确定,二次函数最值的实际应用,需要

结合题意提取出有效信息,同时要理解顶点坐标与最值的关系.属中档题.考点一二次函数的图象与性质C组教师专用题组1.(2015甘肃兰州,3,4分)在下列二次函数中,其图象的对称轴为x=-2的是

(

)A.y=(x+2)2

B.y=2x2-2

C.y=-2x2-2

D.y=2(x-2)2

答案

A根据二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的对称轴为直线x=h,知只有A选项符合题意.2.(2015辽宁沈阳,8,3分)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是

(

)

答案

D二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象的顶点坐标为(h,0),由于该点的纵坐标为0,所以该

点在x轴上,符合这一条件的图象只有D.故选D.3.(2015福建福州,10,3分)已知一个函数图象经过(1,-4),(2,-2)两点,在自变量x的某个取值范围

内,都有函数值y随x的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是

(

)A.正比例函数

B.一次函数C.反比例函数

D.二次函数答案

D易知经过点(1,-4),(2,-2)的直线不经过原点,所以所求函数不是正比例函数,A不符

合;若为一次函数或反比例函数,则在自变量x的某个取值范围内,函数值y随x的增大而增大,所

以B、C不符合题意;只有D正确,故选D.4.(2015浙江宁波,11,4分)二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方,在6

<x<7这一段位于x轴的上方,则a的值为

(

)A.1

B.-1

C.2

D.-2答案

A∵二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方,在6<x<7这一段

位于x轴的上方,∴当x=

时,二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象位于x轴的下方;当x=

时,二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象位于x轴的上方,∴

⇒

⇒

<a<

.结合各选项知a的值为1.故选A.5.(2015内蒙古包头,12,3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),对

称轴为直线x=1,与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:

①当x>3时,y<0;②3a+b<0;③-1≤a≤-

;④4ac-b2>8a.其中正确的结论是

(

)A.①③④

B.①②③

C.①②④

D.①②③④答案

B由已知条件可知a<0,-

=1,抛物线与x轴另一交点坐标为(3,0),2≤c≤3,∴当x>3时,y<0;2a+b=0,∴2a+b+a<0,即3a+b<0;∵当x=-1时,a-b+c=0,∴3a+c=0,∴c=-3a,即2≤-3a≤3,亦即-1≤a≤-

;由题意知抛物线顶点的纵坐标y=

>2,∴4ac-b2<8a.故④错,①②③正确.故选B.6.(2014广西南宁,10,3分)如图,已知二次函数y=-x2+2x,当-1<x<a时,y随x的增大而增大,则实数a

的取值范围是

(

)

A.a>1

B.-1<a≤1

C.a>0

D.-1<a<2答案

B因为二次函数y=-x2+2x的图象开口向下,对称轴是x=1,且在对称轴左侧y随x的增大

而增大,在对称轴右侧y随x的增大而减小,所以由图象及解析式可知-1<a≤1,故选B.评析本题是对二次函数的增减性、数形结合思想以及学生的观察能力和推理能力的综合

考查.熟练掌握二次函数的性质、善于运用数形结合思想是解答此类题的关键,属中等难度题.7.(2014甘肃兰州,6,4分)抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是

(

)A.y轴

B.直线x=-1C.直线x=1

D.直线x=-3答案

C抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是直线x=1,故选C.8.(2014江苏苏州,8,3分)二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则代数式1-a-b的值为

(

)A.-3

B.-1

C.2

D.5答案

B把点(1,1)代入函数解析式,得a+b-1=1,则1-a-b=-1,故选B.9.(2014浙江宁波,12,4分)已知点A(a-2b,2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,则点A关于抛物线对称轴

的对称点坐标为

(

)A.(-3,7)

B.(-1,7)C.(-4,10)

D.(0,10)答案

D∵点A(a-2b,2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,∴(a-2b)2+4×(a-2b)+10=2-4ab,a2-4ab+4b2+4a-8b+10=2-4ab,(a+2)2+4(b-1)2=0,∴a+2=0,b-1=0,解得a=-2,b=1,∴a-2b=-2-2×1=-4,2-4ab=2-4×(-2)×1=10,∴点A的坐标为(-4,10).∵对称轴为直线x=-

=-2,∴点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为(0,10).故选D.评析本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的对称性,把点的坐标代入抛物线

解析式并整理成一边是非负数,一边是0的方程形式是解题的关键.10.(2015山东聊城,16,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①2a+b=0;②a

+c>b;③抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);④abc>0.其中正确的结论是

(填写序号).

答案①④解析①因为抛物线的对称轴是直线x=1,所以-

=1,-b=2a,2a+b=0,故①正确;②由题中图象知,当x=-1时,y=a-b+c<0,所以a+c<b,故②错误;③抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称,所以两

交点到对称轴x=1的距离都是1-(-2)=3,所以另一交点的横坐标为1+3=4,即另一交点为(4,0),故

③不正确;④抛物线开口向上,所以a>0,又-

>0,所以b<0,抛物线与y轴交于负半轴,故c<0,所以abc>0,故④正确.评析

(1)由抛物线在直角坐标系中的位置,确定a、b、c的符号:抛物线的开口方向决定了a的

符号,当开口向上时,a>0,当开口向下时,a<0;抛物线的对称轴在y轴左侧,a、b同号,抛物线的对

称轴在y轴右侧,a、b异号;抛物线与y轴交点的位置决定了c的符号,当交点在y轴正半轴上时,c>

0,当交点在y轴负半轴上时,c<0,当交点为坐标原点时,c=0.(2)根据抛物线判断的式子中只含有

a和b,一般根据对称轴位置来解答;含有a、b、c的式子,一般根据自变量取特殊值时对应的函

数值来判断.11.(2014江苏扬州,16,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直

线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a-2b+c的值为

.

答案

0解析点(4,0)关于对称轴x=1对称的点为(-2,0),当x=-2时,y=4a-2b+c=0.评析利用数形结合思想,找出点(4,0)关于对称轴x=1对称的点为(-2,0),进而求解.12.(2016吉林,26,10分)如图①,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB

为边向上作等边三角形AOB,抛物线l:y=ax2+bx+c经过O,A,B三点.(1)当m=2时,a=

,当m=3时,a=

;(2)根据(1)中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论;(3)如图②,在图①的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P,Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等

腰直角三角形时,a与n的关系式为

;(4)利用(2),(3)中的结论,求△AOB与△APQ的面积比.

解析

(1)-

;

(1分)-

.

(2分)(2)猜想:a=-

.

(3分)证明:∵等边三角形OAB的边长为2m,∴点A的坐标为A(m,

m).

(4分)∵点A为抛物线l的顶点,∴可设抛物线l:y=a(x-m)2+

m.把O(0,0)代入,得am2+

m=0.∴a=-

.

(6分)(3)a=-

.

(8分)(4)S△AOB=

×2m×

m=

m2,S△APQ=

×2n×n=n2,

(9分)∵a=-

,a=-

,∴m=

n.∴

=

=

=3

.∴△AOB与△APQ的面积比为3

∶1.

(10分)评分说明:(1)第(2)小题只要a与m的关系证明正确,不先写出结论不扣分.(2)第(4)小题△AOB与△APQ的面积比写成3

不扣分.13.(2015辽宁沈阳,25,14分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-

x2-

x+2与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),与y轴交于点A,抛物线的顶点为D.(1)填空:点A的坐标为(

,

),点B的坐标为(

,

),点C的坐标为(

,

),点D的坐标为(

,

);(2)点P是线段BC上的动点(点P不与点B、C重合).①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE=PC,求点E的坐标;②在①的条件下,点F是坐标轴上的点,且点F到EA和ED的距离相等,请直接写出线段EF的长;③若点Q是线段AB上的动点(点Q不与点A、B重合),点R是线段AC上的动点(点R不与点A、C

重合),请直接写出△PQR周长的最小值.解析

(1)点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(-3,0),点C的坐标为(1,0),点D的坐标为

.(2)①设点P的坐标为(n,0).∵EP⊥x轴,点E在抛物线上,∴点E的坐标为

.又∵PE=PC,∴-

n2-

n+2=1-n,∴n1=-

,n2=1(不符合题意,舍去),∴当n=-

时,-

n2-

n+2=-

×

-

×

+2=

,∴E

.②

或

.③

.14.(2015北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,过点(0,2)且平行于x轴的直线与直线y=x-1交于

点A,点A关于直线x=1的对称点为B,抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B.(1)求点A,B的坐标;(2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标;(3)若抛物线C2:y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.

备用图解析

(1)由题意可得,点A的纵坐标为2.∴x-1=2.解得x=3.∴点A的坐标为(3,2).∵点B与点A关于直线x=1对称,∴点B的坐标为(-1,2).(2)∵抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B,∴

解得

∴抛物线C1的表达式为y=x2-2x-1.∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2,∴抛物线C1的顶点坐标为(1,-2).(3)由题意可知,a>0.当抛物线C2经过点B时,a=2,此时抛物线C2与线段AB有两个公共点,不符合题意.当抛物线C2经过点A时,a=

.结合函数的图象可知,a的取值范围为

≤a<2.

评析

本题考查了对称点的坐标、函数解析式的确定以及临界点问题,解决最后一问的关键

是画图.属中档题.15.(2014内蒙古呼和浩特,25,12分)如图,已知直线l的解析式为y=

x-1,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(m,0),B(2,0),D

三点.(1)求抛物线的解析式及A点的坐标,并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象;(2)已知点P(x,y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点,过点P作PE垂直x轴于点E,延长PE与

直线l交于点F,请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数,并求出S的最大值及S

最大时点P的坐标;(3)将(2)中S最大时的点P与点B相连,求证:直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在

直线上.

解析

(1)∵y=ax2+bx+2经过点B、D,∴

解之得a=-

,b=-

,∴y=-

x2-

x+2.

(2分)∵A(m,0)在抛物线上,∴0=-

m2-

m+2,解得m=-4(m=2舍),∴A(-4,0),

(3分)图象(略).

(4分)(2)已知直线l的解析式为y=

x-1,∴S=

AB·PF=

×6·PF=3

(5分)=-

x2-3x+9=-

(x+2)2+12,

(6分)其中-4<x<0,

(7分)∴S最大=12,此时点P的坐标为(-2,2).

(9分)(3)证明:∵直线PB过点P(-2,2)和点B(2,0),∴PB所在直线的解析式为y=-

x+1,

(10分)设Q

是y=

x-1上的任一点,则Q点关于x轴的对称点为

,将

代入y=-

x+1显然成立,

(11分)∴直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上.

(12分)16.(2014山东济南,28,9分)如图1,抛物线y=-

x2平移后过点A(8,0)和原点,顶点为B,对称轴与x轴相交于点C,与原抛物线相交于点D.(1)求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影;(2)如图2,直线AB与y轴相交于点P,点M为线段OA上一动点,∠PMN为直角,边MN与AP相交于

点N.设OM=t,试探究:①t为何值时△MAN为等腰三角形?②t为何值时线段PN的长度最小?最小长度是多少?

图1

图2

备用图解析

(1)设平移后的抛物线解析式为y=-

x2+bx+c.

(1分)∵平移后的抛物线过原点和A(8,0),∴

解得

∴平移后的抛物线的解析式为y=-

x2+

x.

(2分)S阴影=12.

(3分)(2)①如图,由(1)可知顶点B的坐标为(4,3).

∵BC垂直平分线段OA,∴OP=2BC=6.

(4分)∵∠MNA为Rt△PMN的外角,∴∠MNA一定为钝角,∴△MAN为等腰三角形时,只能是∠NMA=∠NAM.∵∠OPM+∠OMP=90°,∠NMA+∠OMP=90°,∴∠OPM=∠NMA,∴∠OPM=∠NAM,∴△OPM∽△OAP,

(5分)∴

=

,即

=

.∴t=

,即当t=

时,△MAN是等腰三角形.

(6分)②如图,以PN为直径作☉Q,当☉Q与x轴相切时,PN的值最小.

(7分)由OA=8,OP=6,可得AP=10.连接QM,则QM⊥OA,

∴△AMQ∽△AOP,∴

=

,∴

=

,即

=

,∴QM=

,∴AQ=10-

=

,AM=

=5,∴当OM=3,即t=3时,PN的长度最小.

(8分)PN的最小长度为

.

(9分)评析此题涉及一次函数、二次函数、三角形、相似、圆,渗透了分类讨论、数形结合、函

数、转化等数学思想,难度大.第(2)问②的关键是构造圆,运用圆及其切线的关系判断最小值.1.(2016广西南宁,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=

x的图象如图所示,则方程ax2+

x+c=0(a≠0)的两根之和

(

)

A.大于0

B.等于0

C.小于0

D.不能确定考点二二次函数与方程的联系答案

A根据题图可知a>0,b<0,b2-4ac>0.在方程ax2+

x+c=0(a≠0)中,Δ=

-4ac=b2-

b+

-4ac=b2-4ac-

b+

>0,设此方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-

=-

+

>0,故选A.2.(2014江苏南京,16,2分)已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:则当y<5时,x的取值范围是

.x…-10123…y…105212…答案

0<x<4解析由抛物线的对称性及题中表格可知,当x=0或4时,y=5,又抛物线开口向上,故当0<x<4时,y

<5.3.(2016陕西,24,10分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点.抛物线y=ax2+bx+5经过点M

(1,3)和N(3,5).

(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(-2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为

顶点的三角形是等腰直角三角形.请你写出平移过程,并说明理由.解析

(1)由题意,得

解之,得

∴抛物线的表达式为y=x2-3x+5.

(2分)∵Δ=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0,∴抛物线与x轴无交点.

(3分)(2)∵△AOB是等腰直角三角形,A(-2,0),点B在y轴上,∴点B的坐标为(0,2)或(0,-2).

(5分)设平移后的抛物线的表达式为y=x2+mx+n.①当抛物线过点A(-2,0),B1(0,2)时,

解之,得

∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2.

(7分)∴该抛物线顶点坐标为

.而原抛物线顶点坐标为

,∴将原抛物线先向左平移3个单位,再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线.

(8分)

②当抛物线过点A(-2,0),B2(0,-2)时,

解之,得

∴平移后的抛物线为y=x2+x-2.

(9分)∴该抛物线顶点坐标为

.而原抛物线顶点坐标为

,∴将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线.

(10分)评析本题考查了二次函数的图象和性质,用待定系数法求二次函数的解析式,图象的平移,属

于中等难度题.4.(2016黑龙江哈尔滨,27,10分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+2ax+c经

过A(-4,0),B(0,4)两点,与x轴交于另一点C,直线y=x+5与x轴交于点D,与y轴交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点,连接EP,过点E作EP的垂线l,在l上截取线段EF,使EF=

EP,且点F在第一象限,过点F作FM⊥x轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的长为d,求d与t之

间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)在(2)的条件下,过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H,连接DH,点G为DH的中点,当直线PG

经过AC的中点Q时,求点F的坐标.

解析

(1)把A(-4,0),B(0,4)代入y=ax2+2ax+c,得

∴

(1分)∴y=-

x2-x+4.

(2分)(2)易知E(0,5),即OE=5.如图1,过点P、F分别作y轴的垂线,垂足分别为点I、R,

图1∴∠PIE=∠FRE=∠FRO=90°,∵EP⊥EF,∴∠PEI+∠FER=90°,∵∠EFR+∠FER=90°,∴∠PEI=∠EFR,FR⊥OR,∵EP=EF,∴△PEI≌△EFR,

(3分)∴PI=ER.∵FM⊥x轴,∴∠FMO=90°,∵∠ROM=90°,∴四边形ORFM为矩形,∴FM=OR,

(4分)∵点P横坐标为t,点P在第二象限,∴PI=-t,∵OR=OE-RE=5-(-t),∴d=t+5.

(5分)(3)如图2,y=-

x2-x+4,y=0时,-

x2-x+4=0,

图2x1=-4,x2=2,∴C(2,0),∵Q为AC中点,∴Q(-1,0),∴OQ=1,∵直线y=x+5与x轴交于点D、与y轴交于点E,∴D(-5,0),E(0,5),∴OD=OE=5,连接OG、GE、GM,过G、P、F分别作y轴的垂线,垂足分别为K、I'、R',∵EH⊥DE,MF⊥DM,∴△DEH与△DMH为直角三角形.∵点G为DH中点,∴GE=GM=GD.

(6分)过点G作GN⊥DM于点N,∵OD=OE,OG=OG,∴△DOG≌△EOG,∴∠GON=∠GOK=45°,

(7分)∴GK=GN,∵∠GKO=∠KON=∠ONG=90°,∴四边形OKGN为正方形,∴Rt△EGK≌Rt△MGN,∴EK=MN.由(2)得△EPI'≌△FER',四边形OMFR'为矩形,设GN=n,∴ON=OK=n,MN=EK=5-n,EI'=FR'=OM=MN-ON=5-2n,∴I'O=OE-EI'=2n,过点P作PT⊥x轴于点T,∴四边形PTOI'为矩形,∴PT=2n,∴PT=2GN,

(8分)∵tan∠GQN=

=

,∴TQ=2NQ,NQ=n-1,TQ=2n-2,∴OT=TQ+OQ=2n-2+1=2n-1,∴P(1-2n,2n),

(9分)∴2n=-

(1-2n)2-(1-2n)+4,解得n1=

,n2=

<0(舍去),∴OM=5-2n=4-

,OT=2n-1=

,∴t=1-2n=-

,∵FM=d=t+5=5-

,∴F(4-

,5-

).

(10分)评析本题主要考查了二次函数解析式的求法,一元二次方程的应用,图形面积的求法,三角形

全等的判定,函数图象的交点等知识,既考查了数学的综合应用能力,又考查了解决问题的能

力,注意求点的坐标一般要归结为求线段的长度.(以上各解答题如有不同解法并且正确,请按相应步骤给分)5.(2016新疆乌鲁木齐,24,12分)如图,抛物线y=-x2+2x+n经过点M(-1,0),顶点为C.(1)求点C的坐标;(2)设直线y=2x与抛物线交于A、B两点(点A在点B的左侧):①在抛物线的对称轴上是否存在点G,使∠AGC=∠BGC?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请

说明理由;②点P在直线y=2x上,点Q在抛物线上,当以O,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点Q的

坐标.

解析∵抛物线y=-x2+2x+n过点M(-1,0),∴0=-(-1)2+2×(-1)+n,解得n=3,∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(1)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的顶点C的坐标为(1,4).(2)①存在.联立

解得

∴A(-

,-2

),B(

,2

),∴点B(

,2

)关于对称轴x=1的对称点为B'(2-

,2

).∵∠AGC=∠BGC,∴点B'在直线AG上.设直线AB'的方程为y=kx+b(k≠0),由

得

∴y=2

x+6-2

,令x=1,得y=6,∴G(1,6).②设P(m,2m),当四边形OMPQ为平行四边形时,则Q(m+1,2m),∵点Q在抛物线y=-x2+2x+3上,∴2m=-(m+1)2+2(m+1)+3,解得m=-1±

,∴Q1(-

,-2-2

),Q2(

,-2+2

);当四边形OMQP为平行四边形时,则Q(m-1,2m),∵点Q在抛物线y=-x2+2x+3上,∴2m=-(m-1)2+2(m-1)+3,解得m=0或2,∴Q3(1,4),Q4(-1,0)(舍);当OM为平行四边形对角线时,则Q(-1-m,-2m),∵点Q在抛物线y=-x2+2x+3上,∴-2m=-(-m-1)2+2(-m-1)+3,解得m=-2或0,∴Q5(1,4),Q6(-1,0)(舍).综上所述:点Q的坐标为(-

,-2-2

)或(

,-2+2

)或(1,4).6.(2016湖北武汉,24,12分)抛物线y=ax2+c与x轴交于A,B两点,顶点为C,点P在抛物线上,且位于x

轴下方.(1)如图1,若P(1,-3),B(4,0).①求该抛物线的解析式;②若D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标;(2)如图2,已知直线PA,PB与y轴分别交于E,F两点,当点P运动时,

是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.

解析

(1)①依题意有

(1分)解得

∴抛物线的解析式为y=

x2-

.

(3分)②当点D在OP左侧时,∵∠DPO=∠POB,∴PD∥OB.∴D,P两点关于y轴对称,∴D(-1,-3).

(4分)当点D在OP右侧时,延长PD交x轴于点G.作PH⊥OB于点H,则OH=1,PH=3.

∵∠DPO=∠POB,∴PG=OG.设OG=x,则PG=x,HG=x-1.Rt△PGH中,由x2=(x-1)2+32,得x=5.∴点G(5,0).

(6分)∴直线PG的解析式为y=

x-

.解方程组

得

∵P(1,-3),∴D

.∴点D的坐标为(-1,-3)或

.

(8分)(2)解法一:

的值为定值2.理由如下:

(9分)作PQ⊥AB于Q点.

设P(m,am2+c),A(-t,0),B(t,0),则at2+c=0,c=-at2.∵PQ∥OF,∴

=

,∴OF=

=

=

=amt+at2.

(10分)同理,OE=-amt+at2.

(11分)∴OE+OF=2at2=-2c=2OC,∴

=2.

(12分)解法二:

的值为定值2.理由如下