高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单性质备课北师大版选修

§1.2椭圆的简单性质

做一个椭圆的人，太圆会让人厌恶，太方容易伤人。而椭圆恰到好处。

做一个椭圆的人，向前滚动得既不太快也不太慢，走得太快容易摔跤，走得太慢容易失败。

做一个椭圆的人，争取当一个离心率e为黄金分割比的优美椭圆，太趾高气昂容易招怨，太默默无闻容易被忽略。

做一个椭圆的人，其实就是追求一种中庸之道，水满则溢，月盈则亏。

做一个椭圆的人，也是保持一种适度之美，凡事不可太过。中庸即为美。回顾旧知（1）椭圆的定义是什么？

平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的集合叫作椭圆。两个定点叫作椭圆的焦点。即

（2）椭圆的标准方程是什么？

当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为

（3）椭圆中，的关系是什么？

独立思考，合作交流，探究新知和它的图像的研究，归纳椭圆的性质。通过对椭圆标准方程思考1如何根据两点的坐标判断两点是否关于

轴，轴，原点对称？探究一椭圆的对称性提示：若两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，则两点关于

轴对称；若两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，则两点关于

轴对称；若两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，则两点关于原点对称。yxOP（x，y）P3（-x，-y）P1（-x，y）P2（x，-y）结论：椭圆关于

轴、

轴、原点对称。从图形上分析:从方程上分析：（1）把

换成方程不变，图像关于

轴对称；（2）把

换成方程不变，图像关于

轴对称；（3）把

换成，同时把换成方程不变，图像关于原点成中心对称。对称性椭圆是以轴、轴为对称轴的_______图形，且是以原点为对称中心的_________图形，这个对称中心称为椭圆的中心。轴对称中心对称思考2椭圆与对称轴有几个交点，如何求出其交点坐标？探究二椭圆的顶点提示：有四个交点；设

，可求得与

轴的交点；设，可求得与

轴的交点。

oyB2B1A1A2F1F2cab令得

说明椭圆与

轴的交点。令

得说明椭圆与

轴的交点。顶点坐标__________________________________长轴:________短轴：________短半轴长长半轴长线段A1A2线段B1B2x思考3：若要画一个椭圆的草图，需先确定哪些量才能画出椭圆的草图？提示：首先确定椭圆的范围，可利用椭圆的四个顶点，及焦点位置用弧线画出椭圆的草图。思考4点

是椭圆上的任意一点，那么能取任意实数吗？为什么？提示：不可以取任意实数。如图，椭圆上的点都位于图中的矩形框及其内部。yB1

oB2A1A2F1F2探究三椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足yB1

oB2A1A2F1F2探究二椭圆的范围思考5观察下图思考椭圆的“扁的程度”与哪些量有关？能不能用一个量来表示其“扁的程度”？提示：由图形可知，椭圆中，

的大小可反映椭圆的“扁的程度”；可以用离心率来表示。Oxy探究四椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比，用

表示，即（1）

越接近1，

就越接近

，从而

就越小,椭圆就越扁；对离心率的两点说明1.范围：2.离心率对椭圆形状的影响（2）

越接近0，

就越接近0，从而

就越大,椭圆就越圆；（3）

与

的关系：【提升总结】椭圆的几何性质焦点的位置焦点在

轴上焦点在

轴上图形标准方程对称性对称轴_________，对称中心_______轴和

轴(0，0)焦点的位置焦点在

轴上焦点在

轴上顶点范围

轴长长轴长短轴长焦点的位置焦点在

轴上焦点在

轴上焦点焦距离心率

几何意义长半轴长：短半轴长：半焦距：例1求椭圆的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标。熟悉新知，初步应用答案：椭圆的长轴长为10，短轴长为2；焦点坐标为顶点坐标为解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质。反思与感悟例2求满足下列各条件的的椭圆的标准方程。

（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为焦距为8；

巩固深化，掌握理解答案：（1）（2）已知椭圆的离心率为短轴长为答案：（2）或者在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程（组）确定反思与感悟课堂小结基础知识：椭圆的几个简单的几何性质（对称性、顶点坐标、范围、离心率等）。基本技能和方法：利用椭圆的方程研究它的性质。根据几何条件求出椭圆方程（先定焦点位置，再定量的大小）。基本思想：类比、数形结合等。

做一个椭圆的人，太圆会让人厌恶，太方容易伤人。而椭圆恰到好处。

做一个椭圆的人，向前滚动得既不太快也不太慢，走得太快容易摔跤，走得太慢容易失败。

做一个椭圆的人，争取当一个离心率e为黄金分割比的优美椭圆，太趾高气昂容易招怨，太默默无闻容易被忽略。

做一个椭圆的人，其实就是追求一种中庸之道，水满则溢，月盈则亏。

做一个椭圆的人，也是保持一种适度之美，凡事不可太过。中庸即为美。必做题椭圆过点离心率

求椭圆的标准方程。选做题在平面直角坐标系中，是椭圆

的右焦点，直线与椭圆交于两点，且求椭圆的离心率。

思考题我国第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中