高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和1课件新人教版A

§2.5

等比数列的前n项和(一)第二章数列1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．

学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考

知识点一等比数列的前n项和公式的推导对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?答案设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得．Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn. ②由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.梳理当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.结合通项公式可得：等比数列前n项和公式：知识点二等比数列的前n项和公式的应用思考

答案要求等比数列前8项的和：(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？答案(2)若已知a1，a9，q的值．用哪个公式比较合适？梳理一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1)一定不要忽略q＝1的情况；(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．题型探究命题角度1前n项和公式的直接应用例1

求下列等比数列前8项的和：类型一等比数列前n项和公式的应用

解答

解答求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．反思与感悟跟踪训练1

若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝___；前n项和Sn＝________.

设等比数列的公比为q，∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解得q＝2，且a1＝2.22n＋1－2答案解析命题角度2通项公式、前n项和公式的综合应用例2在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.

由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，q＝1，a3＝a1＝2.若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，解答解得q＝－2.此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用反思与感悟跟踪训练2

在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.解答

方法二若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.

类型二等比数列前n项和的实际应用例3

借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051，精确到整数)解答方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6，n∈N*)，则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，

故每月应支付1739元．

方法二一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)，另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a故每月应支付1739元．反思与感悟解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．跟踪训练3

一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解答

用an表示热气球在第n分钟上升的高度，故这个热气球上升的高度不可能超过125m.当堂训练1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于答案解析

当x＝1时，Sn＝n；1234√

1234答案解析√3.等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是A.179 B.211C.243 D.275

1234答案解析√4.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为___________.去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1).1234答案解析11a(1.15－1)规律与方法1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.2.