2025届高考数学二轮复习题型练7大题专项五解析几何综合问题理含解析

题型练7大题专项(五)解析几何综合问题题型练第70页

一、解答题1.(2024全国Ⅱ,理19)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.解：(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×c解得ca=-2(舍去),ca=12(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,所以C1的标准方程为x236+y

227=1,C22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=(1)求椭圆C的方程;(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P0,-32,求直线l的方程.解：(1)由题意得ca=32,1故椭圆C的方程是x24+y2=(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+t,x24+y2=1,消去y,得(1+4k2则有x1+x2=-8kt1+4k2,xΔ>0⇒4k2+1>t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=2ty1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k24t2-41+4k因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.因为x1x2+y1y2=4t2所以5t2=4+4k2.因为Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-32或t>又设A,B的中点为D(m,n),则m=x1+x因为直线PD与直线l垂直,所以kPD=-1k=-由t1+4k当t=-35时,Δ>0不成立.当t=1时,k=±1所以直线l的方程为y=12x+1或y=-12x+3.(2024全国Ⅰ,理20)已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG·GB=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.答案：(1)解由题设得点A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则AG=(a,1),GB=(a,-1).由AG·GB=8得a2-1=8,即a=所以E的方程为x29+y2=(2)证明设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3<n<3.因为直线PA的方程为y=t9(x+3),所以y1=t9(x1+直线PB的方程为y=t3(x-3),所以y2=t3(x2-可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).由于x229+y22可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),即(27+m2)y1y2+m(n+3)·(y1+y2)+(n+3)2=0.①将x=my+n代入x29+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=所以y1+y2=-2mnm2+9,y1代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0.解得n=-3(舍去),n=3故直线CD的方程为x=my+32,即直线CD过定点若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点3综上,直线CD过定点34.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,QM=λQO,QN=μQO,求证答案：(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由y2=4x,y=kx+1,得k2x2依题意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或0<k<1.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k≠-3.所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(2)证明设点A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知x1+x2=-2k-4k2,x直线PA的方程为y-2=y1-2x令x=0,得点M的纵坐标为yM=-y1+2x1-1同理得点N的纵坐标为yN=-kx2由QM=λQO,QN得λ=1-yM,μ=1-yN.所以1=x=1k-1所以1λ+5.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解：由题知点F1设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且点Aa22,a,Bb22,b,记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于点F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a|x1-12由题设可得2×12|b-a|所以x1=0(舍去),x1=1.设满意条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=y而a+b2=y,所以y2=x-1(x当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,且圆x2+y2-(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线y=mx+n与椭圆C只有一个公共点M,且与直线x=4相交于点N,问x轴上是否存在点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解：(1)由e=12(其中e为椭圆C的离心率),得a2-b2a2=1-b2又圆x2+y2-2x-3y=0的圆心为1,32在椭圆C上,所以1联立3a2故椭圆C的标准方程为x24+(2)联立y=mx+n,x24+y23=1,消去y,整理得(3+4m2因为直线y=mx+n与椭圆C只有一个公共点M,所以Δ=64m2n2-4(3+4m2)(4n2-12)=0,即n2=3+4m2.设点M的坐标为(xM,yM),则xM=-4