2024高考数学一轮复习统考第10章统计统计案例第2讲用样本估计总体学案含解析北师大版

PAGE13-第2讲用样本估计总体基础学问整合1．用样本的频率分布估计总体分布(1)作频率分布直方图的步骤①求极差(即一组数据中eq\x(\s\up1(01))最大值与eq\x(\s\up1(02))最小值的差)．②确定eq\x(\s\up1(03))组距与eq\x(\s\up1(04))组数．③将数据eq\x(\s\up1(05))分组．④列eq\x(\s\up1(06))频率分布表．⑤画eq\x(\s\up1(07))频率分布直方图．(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的eq\x(\s\up1(08))中点，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着eq\x(\s\up1(09))样本容量的增加，作图时eq\x(\s\up1(10))所分的组数增加，eq\x(\s\up1(11))组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．(3)茎叶图茎是指eq\x(\s\up1(12))中间的一列数，叶是从茎的eq\x(\s\up1(13))旁边生长出来的数．2．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．(3)平均数：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\x(\s\up1(14))eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，反映了一组数据的平均水平．(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s＝eq\x(\s\up1(15))eq\a\vs4\al(\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2])).(5)方差：s2＝eq\x(\s\up1(16))eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2](xn是样本数据，n是样本容量，eq\o(x,\s\up6(－))是样本平均数)．1．频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．2．标准差与方差的特点反映了各个样本数据聚集于样本平均数四周的程度．标准差(方差)越小，表明各个样本数据在样本平均数四周越集中；标准差(方差)越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散．3．平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则：①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.1．(2024·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数答案B解析因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应当用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.2．(2024·云川贵百校联考)某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量/度120140160180200户数23582则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是()A．180,170 B．160,180C．160,170 D．180,160答案A解析用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，解除B，C；将用电量按从小到大的依次排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A.3．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的eq\f(2,5)，且样本容量为140，则中间一组的频数为()A．28 B．40C．56 D．60答案B解析设中间一个小长方形的面积为x，其他8个长方形的面积为eq\f(5,2)x，因此x＋eq\f(5,2)x＝1，所以x＝eq\f(2,7).所以中间一组的频数为140×eq\f(2,7)＝40.故选B.4．(2024·全国卷Ⅱ)演讲竞赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成果时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差答案A解析中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A.5．(2024·江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．答案eq\f(5,3)解析这组数据的平均数为8，故方差为s2＝eq\f(1,6)×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝eq\f(5,3).6．(2024·全国卷Ⅱ)我国高铁发展快速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为________．答案0.98解析因为平均正点率eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98，所以经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为0.98.核心考向突破考向一频率分布直方图及应用例1(1)(2024·秦皇岛模拟)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为()A．8万元 B．10万元C．12万元 D．15万元答案C解析由频率分布直方图，知9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为eq\f(3,0.1)＝30万元．又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为0.4×30＝12万元．故选C.(2)某高校随机抽取20个班，调查各班有出国意向的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以5为组距将数据分组为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，所作的频率分布直方图是()答案A解析以5为组距将数据分组为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，各组的频数依次为1,1,4,2,4,3,3,2，可知画出的频率分布直方图为选项A.1．频率、频数、样本容量的计算方法(1)eq\f(频率,组距)×组距＝频率．(2)eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．2．绘制频率分布直方图时需留意(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是不是1来检验该表是否正确．(2)频率分布直方图的纵坐标是eq\f(频率,组距)，而不是频率．(3)频率分布直方图中各小矩形的高的比就是相应各组的频率之比．[即时训练]1.(2024·贵州黔东南州联考)近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在[30,40)岁的有2500人，年龄在[20,30)岁的有1200人，则m的值为()A．0.013 B．0.13C．0.012 D．0.12答案C解析由题意，得年龄在[30,40)岁的频率为0.025×10＝0.25，则赞成高校招生改革的市民有eq\f(2500,0.25)＝10000人，又因为年龄在[20,30)岁的有1200人，则m＝eq\f(\f(1200,10000),10)＝0.012.故选C.2．为了解某校高三学生联考的数学成果状况，从该校参与联考学生的数学成果中抽取一个样本，并分成五组，绘成如图所示的频率分布直方图，已知第一组至第五组的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，第五组的频数为6，则样本容量为________．答案40解析因为第一组至第五组的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，所以可设第一组至第五组的频率分别为k,2k,8k,6k,3k，又频率之和为1，所以k＋2k＋8k＋6k＋3k＝1，解得k＝eq\f(1,20)＝0.05，所以第五组的频率为3×0.05＝0.15，又第五组的频数为6，所以样本容量为eq\f(6,0.15)＝40.考向二茎叶图的应用例2(1)(2024·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7答案A解析甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等，得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，∴eq\f(1,5)×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq\f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故选A.(2)(2024·郑州质量预料)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是依据某地某日早7点到晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是()A．甲 B．乙C．甲、乙相等 D．无法确定答案A解析从茎叶图上可以视察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小．茎叶图的绘制及应用(1)制作茎叶图的一般方法是：将全部两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大依次由上到下列出．(2)估计数字特征，给定两组数据的茎叶图，“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．[即时训练]3.(2024·唐山五校联考)某校开展摄影竞赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发觉有一个数字(茎叶图中的x)无法看清．若记分员计算无误，则数字x应当是()A．1 B．2C．3 D．4答案A解析当x≥4时，eq\f(89＋89＋92＋93＋92＋91＋94,7)＝eq\f(640,7)≠91.当x<4时，eq\f(89＋89＋92＋93＋90＋x＋92＋91,7)＝91，所以x＝1，故选A.精准设计考向，多角度探究突破考向三数字特征的应用角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))样本的数字特征与直方图例3(2024·益阳模拟)为了了解某校九年级1600名学生的体能状况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成果(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，依据统计图的数据，下列结论错误的是()A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32答案D解析由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是26.25；众数是最高矩形的中间值27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为160.故D错误．角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))样本的数字特征与茎叶图例4为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中依据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案B解析由茎叶图，得eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，∴eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲>s乙，故选B.众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的状况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小．(2)方差的简化计算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]，或写成s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原始数据平方的平均数减去平均数的平方．[即时训练]4.如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为________mm.答案22.75解析依据频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为(12.5×0.02＋17.5×0.04＋22.5×0.08＋27.5×0.03＋32.5×0.03)×5＝22.75mm.5．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲273830373531乙332938342836(1)画出茎叶图；(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、方差、极差，并推断选谁参与竞赛比较合适？解(1)画茎叶图如下(中间数为数据的十位数)．(2)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(27＋38＋30＋37＋35＋31,6)＝33.eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(33＋29＋38＋34＋28＋36,6)＝33.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的极差为11，乙的极差为10.综合比较以上数据可知，甲、乙平均数相同，但乙的极差、方差相对更小，成果更稳定，故选乙参与竞赛较合适．(2024·湖北黄冈模拟)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发觉其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在