重难点29 因式分解的应用

重难点29因式分解的应用第141天功过皆由方程起1.已知,求代数式的值.1.解:由已知,很容勿想到,解一元二火方程求的值,再代入即可,但代值时有更筒便的方法.代数式的值为0.36.第142天公式变形有技巧2.(湖北省黄冈市竞赛题)已知,求的值.2.解:小鹿觉得完全平方公式变形,对于同学们来说,早已不在话下.,且,．的值为41.第143天思来想去解方程3.(江苏省竟赛题)求方程的整数解()3.解:融会贯通起来,前面所学的方程,要派上用场了.原方程可化为,,或方程的整数解为或第144天扩充新数有技巧4.(重庆竟赛题)按下面规则扩充新数:已有两数,可按规则扩充一个新数,在三个数中任取两数按规则又可扩充一个新数,…,每扩充一个新数叫做一次操作现有数1和4.(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数;(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999,并说明理由.4.解：说是要有技巧，其实更需要扎实的基本功.发散思维吧，小可爱们(1)第一次只能得到,要求最大新数,第二次取4和9,得到,同理,第三次取9和49,扩充三次的最大新数为(2)正着来都做到了,反着来有什么可怕的.可以通过上述规则扩充得到数1999,理由如下：取数可得新数，，即，同理取数可得新数，设扩充后的新数为，则可以表示为，式中m、n为整数，当时，,1999可以通过上述规则扩充得到.第145天纸片拼接探新知5,如图①,有足够多的边长为的小正方形(类)、长为宽为的长方形(类)以及边长为的大正方形(类)卡片,发现利用图①中的三种卡片各若干张可以拼出一些长方形来解释某些等式.比如图②可以解释为:.(1)取图①中的若干张(三类卡片都要取到)拼成一个长方形,使它的边长分别为,不画图形,试通过计算说明需要类卡片多少张;(2)若取其中的若干张(三类卡片都要取到)拼成一个长方形,使它的面积等于,画出这个长方形,并根据图形对多项式进行因式分解;(3)现有3张类,4张类,5张类卡片,从中取出若干张卡片,每种卡片至少取一张,把取出的这些卡片拼成一个正方形(无空隙,无重叠地拼接),求拼成的正方形的边长最长为多少.5.解：Maybe，这里也不需要小鹿，小鹿相信各位兄弟们自己一个人完全可以.（1），∴需要C类卡片2张；（2）如解图所示：；（3）3张边长为a的小正方形卡片的面积是，4张边长分别为的长方形卡片的面积是，5张边长为b的大正方形卡片的面积是，∴拼成的正方形的边长最长为.综合强化练291.若实数x满足,则的值为（）1.A【解析】.2.(全国初中数学联赛)方程的整数解的数组为（）2.B【解析】小鹿提示，求方程的整数解，还是分解之后好开展.方程变形得：，34与是偶数，必须是偶数，设，则，.整数解为∴当时，；当时，；当时，；当时，.原方程的整数解共有4组，分别为.3.设,若代数式化简的结果为,则.3.0或-2【解析】题目都说明白了，那就开始化简呗.原式=（,∴或.4.已知为的三边,且满足,则为三角形.4.拐着弯给人送分呀，嘿嘿.等腰或直角【解析】或，即或.为等腰三角形或直角三角形.5.(“希望杯”邀请赛试题)若两个不相等的实数满足则实数的值为.5.题做多了，看一眼就知道怎么解.【解析】两式相减得为不相等的实数，两式相加得6.(“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题)黑板上写有共100个数字,每次操作先从黑板上的数字中选取两个数,然后删去,并在黑板上写上数,则经过99次操作后黑板上剩下的数是6.难搞，也得把分拿下，就只需多摸索摸索多费点时间嘛.100【解析】.每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变，设经过99次操作后，黑板上剩下的数为，则解得，则.7.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:,因此都是“神秘数”.(1)请说明28是否为“神秘数”;(2)下面是两个同学演算后的发现,请选择一个“发现”,判断真假,并说明理由.①小能发现:两个连续偶数和(其中取非负整数)构造的“神秘数”也是4的倍数;②小仁发现：2016是“神秘数”.7.解：（1）是神秘数；（2）成年人的世界是不需要选择的，所以两个小鹿都要看一看.当选择①时，两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数是真命题，理由：，取非负整数，一定能被4整除，∴两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数；当选择②时，2016是“神秘数”是假命题，理由：，令，解得=251.5，取非负整数，∴=251.5不符合题意，∴2016不是“神秘数”8.在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整点,我们经常用整式乘法和因式分解来解决整数和整点问题，如图,在平面直角坐标系中,正方形的顶点坐标分别是,点为正方形内部(边界或者顶点除外)的动点,设点的坐标为.(1)若整数满足,请直接写出点的坐标;(2)设的三边长分别(其中为的长度),整数满足,求周长;(3)若整点满足,则称点为“快乐数学点”,求在正方形部的快乐数学点的个数.8.解：（1）（5，2）或（10，1）；（2）可能会遇到不同情况，要仔细斟酌，不着急下笔.，为整数，且，且为整数，当或2或4或5时，或1250或625或500，为整数，∴或625，当，即时，，不能构成三角形，当，即时，，能构成